|
|
Логічний підхід до діагностики захворюваньЛогічний аналіз застосовується в медицині для діагностики захворювань. Будь-яке захворювання описується комплексом симптомів, характерних для нього, які дають змогу відкинути схожі захворювання. Наявність симптому в хворого позначається символом І, відсутність симптому - Х. Таким.чином, симптоми відіграють роль аргументів, а діагноз захворювань, який може набувати тільки двох значень (або бути істинним для комплексу симптомів, або бути хибним), є логічною функцією цих аргументів. Найбільш простим діагностичним прийомом є пряме зіставлення значень симптомів у хворого і в еталоні захворювання. При повному збігові значень і здійснюється діагностика захворювання. Такий метод застосовується для захворювань, які розвиваються за класичною схемою. Проте досвідчений лікар знає, що дуже рідко патологічні процеси в організмі протікають у відповідності з описами, поданими в підручнику. Більш складним логічним методом є порівняння всіх можливих комбінацій значень симптомів (наприклад, беруть усі комбінації значень у різних сполученнях з трьох симптомів) з даними, які містяться в перевірених історіях хвороби. При порівнянні кожна така комбінація характерна для певного числа випадків N1якого-небудь захворювання A і певного числа випадків N2 інших захворювань. Якщо N1> N2, то комбінація вважається інформаційною для діагностики захворювання A. Суть даного логічного методу полягає. у визначенні всіх інформаційних, взаємодоповнюючих комбінацій, за якими ставиться діагноз.
Практична частина Завдання 1. Дано логічний вираз: (((А Ù В) ® С) ÚØ А) «(А Ù С). Вирахувати його значення істиннийсті для значень
Завдання 2. Складене (складне) висловлювання «Кит – риба або ссавець» складається з двох простих: А – «Кит – риба»; В – «Кит – ссавець». Представити логічною формулою дане висловлювання.
Завдання 3. П'ятеро одногрупників: Ірина, Андрій, Катерина, Ігор і Тарас стали переможцями олімпіад з фізіології, гігієни, інформатики, гістології і біохімії. Відомо, що: переможець олімпіади з інформатики вчить Ірину і Андрія працювати на комп'ютері; Катерина і Ігор теж зацікавилися інформатикою; Андрій завжди побоювався фізіології; Катерина, Андрій і переможець олімпіади з гістології займаються плаванням; Андрій і Катерина привітали переможця олімпіади з гігієни; Ірина жалкує про те, що у неї залишається мало часу на гістологію. Переможцем якої олімпіади став кожен з цих студентів?
Додаток
ЛІТЕРАТУРА 1. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX). 2. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2. 3. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. Учебник для ВУЗов: в 2 ч.– М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС.– ч. 1 – 312 с., ч. 2 – 344 с. ISBN 5-691-00077-2. ISBN 5-691-00238-4 (I), ISBN 5-691-00239-2 (II). 4. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).
Міністерство охорони здоров¢я України львівський Національний медичний університет Імені данила галицького
«Затверджено» на методичній нараді кафедри медичної інформатики. Завідувач кафедри ________________________ « ___ » _____________ 2011 р.
Методичні рекомендації для самостійної роботи студентів при підготовці до практичного заняття
Львів - 2011
Мета заняття: Інтерпретувати основні поняття формальної логіки. Аналізувати складені висловлювання. Демонструвати вміння використовувати логічні функції для розв’язання медико-біологічних задач Базовий рівень підготовки. Елективний курс «Європейський стандарт комп’ютерної грамотності. Володіти навичками роботи з програмним забезпеченням комп’ютера: вміти завантажувати табличний процесор, вводити дані та формули до таблиць, виконувати елементарні операції над табличними даними. ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ Основи логіки висловлювань Освоєння логічної науки дає можливість свідомо будувати правильні міркування, відрізняти їх від неправильних, уникати логічних помилок, вміло і ефективно обґрунтовувати істинність думок, захищати свої погляди і переконливо спростовувати хибні думки та неправильні міркування своїх опонентів, сприяє удосконаленню стихійно сформованої логіки мислення. Завдяки логіці людина прилучається до новітніх результатів логічних досліджень. Логіку як науку, створену Арістотелем (384-322 до н. е.), упродовж століть використовували для розвитку багатьох галузей знань. По сутті, логіка — це наука про міркування, яка дає змогу визначити істинність або хибність певного твердження, виходячи з первинних припущень, які називають аксіомами. Логіку також застосовують в інформатиці для побудови комп'ютерних програм і доведення їх коректності. Поняття, методи й засоби логіки покладено в основу сучасних інформаційних технологій. Розглянемо основні поняття. Логіка – наука про закони і форми мислення Твердження – думка, яку потрібно довести або спростувати Міркування – ланцюжок висловлювань або тверджень, певним чином зв'язаних один з одним Висновок – логічна операція, в результаті якої з одного або декількох даних думок виходить (виводиться) нова думка. Алфавітом називається будь-яка не порожня множина символів будь-якої природи. Словом у даному алфавіті називається будь-яка кінцева послідовність (можливо порожня) символів даного алфавіту. Алфавіт логіки висловлювань містить наступні символи: букви А, В, С, …, X, Y, Z, … або букви з індексом Алгебра логіки - це математичний апарат, за допомогою якого записують, вираховують, спрощують і перетворюють логічні висловлювання. Логічне висловлювання – записане або усне твердження, в яке, разом з постійними, обов'язково входять змінні величини (об'єкти). Залежно від значень цих змінних логічне висловлювання може приймати одне з двох можливих значень: ІСТИНА (логічна 1) або ХИБНІСТЬ (логічний 0). Логічне висловлювання — це певне твердження, яке може бути доведене або спростоване. Будь-яке речення якоїсь мови, зміст якого можна оцінити як істинне чи хибне. Висловлювання є простим (елементарним), якщо його неможливо розкласти на більш дрібні. Звичайно до них відносяться висловлювання, що не містять логічних зв’язувань. Складне логічне висловлювання – логічне висловлювання, складене з одного або декількох простих (або складних) логічних виразів, зв'язаних за допомогою логічних операцій. Так, наприклад, речення “ 6 — парне число” слід вважати висловлюванням, оскільки воно істинне. Речення “педіатрія – математична наука ” теж висловлювання, проте воно хибне. Не будь-яке речення є логічним висловлюванням. Висловлюваннями не є, наприклад, речення “ учень десятого класу” і “ інформатика - цікавий предмет ”. Перше речення нічого не стверджує про учня, а друге використовує дуже невизначене поняття “цікавий предмет ”. Питальні і окличні речення також не є висловлюваннями, оскільки говорити про їх істинність або хибність не має сенсу. Речення типу “ в місті Aбільше мільйона жителів”, “ у нього блакитні очі ” не є висловлюваннями, оскільки для з'ясування їх істинності або хибності потрібні додаткові відомості: про яке конкретно місто або людину йде мова. Такі пропозиції називаються висловлювальними формами. Висловлювальна форма -це розповідне речення, яке прямо чи не прямо містить хоч би одну змінну, і стає висловлюванням, коли всі змінні заміщуються своїми значеннями. Алгебра логіки розглядає будь-яке висловлювання тільки з однієї точки зору — чи воно істинне, чи помилкове, проте інколи важко встановити істинність висловлювання. Так, наприклад, висловлювання “ площа поверхні Індійського океану дорівнює 75 млн.кв.км ” в одному випадку можна вважати хибним, а в іншому — істинним. Хибним — оскільки вказане значення неточне і взагалі не є постійним. Істинним — якщо розглядати його як деяке наближення, прийнятне на практиці. У логіці висловлювань має значення не зміст висловлювання, а його істинність чи хибність, причому істинність чи хибність складеного висловлювання теж визначається не за змістом складеного висловлювання, а за істинністю чи хибністю його складових. Слова і словосполучення, що вживаються в звичайній мові, такі як " ні”, “і”, “або”, “якщо..., то”, “тоді і тільки тоді” та інші дозволяють з вже заданих висловлювань будувати нові висловлювання. Такі слова і словосполучення називаються логічними зв'язками. Висловлювання, утворені з інших висловлювань за допомогою логічних зв'язків, називаються складеними. Висловлювання, які не є складеними, називаються елементарними.
За допомогою зв'язку “ або” з цих же висловлювань можна отримати складене висловлювання “ Юкало – спортсмен або двієчник”, що розуміється в алгебрі логіки як “ Юкало або спортсмен, або двієчник, або і спортсмен і двієчник одночасно ”. Істинність або хибність отримуваних таким чином складених висловлювань залежить від істинності або хибності елементарних висловлювань. Для звернення до логічних висловлювань призначають імена.
Висловлювання за своїм змістом може бути проблемним, достовірним або умовним Проблемне – це висловлювання, в якому щось стверджується чи заперечується з певним ступенем припущення. Наприклад, “причиною головного болю є, мабуть, підвищений тиск”. Достовірне – це висловлювання, що містить знання, обґрунтовані та перевірені практикою. Наприклад, “ людина дихає киснем”. Умовне – це висловлювання, в якому відображається залежність того чи іншого явища від тих чи інших обставин і в якому причина і наслідок з’єднуються за допомогою логічного сполучника “якщо …, то … ” Наприклад, “якщо діагноз інфаркт міокарда, то спостерігається порушення серцевого ритму». Отже в умовному висловлюванні треба розрізняти причину і наслідок.
Кожний логічний зв'язок розглядається як операція над логічними висловлюваннями і має свою назву і позначення: (1) Операція, що виражається словом “ ні”, називається запереченням і позначається рискою над висловлюванням (2) Операція, що виражається зв'язком “ і”, називається кон'юнкцією (лат. conjunctio - з'єднання) або логічним множенням і позначається крапкою "• " (може також позначатися знаком &, Ù). Висловлювання А•В істинне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання А і В істинні. Наприклад, висловлювання
істинне, а висловлювання “ 10 ділиться на 2 і 5 не більше 3”, хибні. (3) Операція, яка виражається зв'язком “ або” називається диз'юнкцією (лат. disjunctio — розділення) позначається знаком v (або +). Висловлювання А v В хибне тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання А і В хибні. Наприклад, висловлювання
хибне, а висловлювання “ 10 ділиться на 2 або 5 більше 3”, істинні. (4) Операція, що виражається зв'язками “ якщо..., то …”, “з... слідує …” називається імплікацією (лат. implico — тісно зв'язані) і позначається знаком ® (або =>, ®). Висловлювання А ® В хибний тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В — хибне.
4. Аістинне і В істинне, тоді даний чотирикутник квадрат, і біля нього можна описати коло; 5. А хибне і В істинне, тоді даний чотирикутник не є квадратом, але біля нього можна описати коло (зрозуміло, це справедливо не для будь-якого чотирикутника); 6. A хибне і B хибне, то даний чотирикутник не є квадратом, і біля нього не можна описати коло. Хибний тільки один варіант: А істинне і В хибне, тобто даний чотирикутник є квадратом, але біля нього не можна описати коло. У звичайній мові зв'язка “ якщо..., то” описує причинно-наслідковий зв'язок між висловлюваннями. В логічних операціях розглядається тільки їх істинність або хибність. Інколи можуть виникати «абсурдні» імплікації, утворені висловлюваннями, абсолютно не зв'язаними за змістом. Наприклад, такими:
“ якщо діагностичний центр — на вул..Пекарській, то пацієнт є здоровий”. (5) Операція, що виражається зв'язками “ тоді і тільки тоді”, " необхідно і достатньо” “... рівносильно...”, називається еквівалентністю або подвійною імплікацією і позначається знаком <=> (або º, ~). Висловлювання А <=> В істинне тоді і тільки тоді, коли значення А і В збігаються.
“ 24 ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли 24 ділиться на 3” “ 23 ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли 23 ділиться на 3” істинні, а висловлювання “ 24 ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли 24 ділиться на 5”, “21 ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли 21 ділиться на 3” хибні. Висловлювання А і В, які утворюють складене висловлювання, можуть бути абсолютно не зв'язані за змістом, наприклад: “ три більше двох” (А), “ пінгвіни живуть в Антарктиді ” (В). Запереченнями цих висловлювань є висловлювання “ три не більше двох ” ( Імплікацію можна виразити через диз'юнкцію і заперечення: А ® У = Еквівалентність можна виразити через заперечення, диз'юнкцію і кон'юнкцію: А <=> В = ( (6) Нерівнозначністю (додаванням по модулю два) двох висловлювань A і В називається висловлювання, яке є істинне, коли значення A і В не збігаються, а хибне – у протилежному випадку. Позначення: AÅB. (7) Операцією Шеффера (штрих Шеффера) над висловлюваннями A і В називається висловлювання AïB (читається «і – не»), яке хибне тоді і тільки тоді, коли A і В істинні.
(8) Операція Пірса (стрілка Пірса) реалізує функцію, яка набуває істинного значення, тільки у тому випадку, коли всі її аргументи є хибними
Операцій заперечення, диз'юнкції і кон'юнкції достатньо, щоб описати будь-які логічні висловлювання. Порядок виконання логічних операцій задається круглими дужками. Спочатку виконується операція заперечення (“ні”), потім кон'юнкція (“і”), після кон'юнкції - диз'юнкція (“або”) і наприкінці - імплікація. За допомогою логічних змінних і символів логічних операцій будь-яке висловлювання можна формалізувати, тобто замінити логічною формулою. Визначення логічної формули: 4. Будь-яка логічна змінна і символи “істина” (“1”) і “хибність” (“0”) — формули. 5. Якщо А і В — формули, то 6. Ніяких інших формул в алгебрі логіки немає.
Як показує аналіз формули (A v B) Þ C, при певних поєднаннях значень змінних A, B і C вона набуває значення “істина”, а при деяких інших поєднаннях - значення “хибність”. Такі формули називаються здійснимими. Деякі формули набувають значення “істина” при будь-яких значеннях істинності вхідних змінних. Такою буде, наприклад, формула Як інший приклад розгледимо формулу Якщо дві формули А і В “одночасно”, тобто при однакових наборах значень вхідних змінних, набувають однакових значень, то вони називаються рівносильними. Рівносильність двох формул алгебри логіки позначається символом “=” або символом “º”. Заміна однієї формули іншою, рівносильною, називається рівносильним перетворенням даної формули.
Роботу логічних елементів описують за допомогою таблиць істинності. Таблиця істинності - це табличне представлення логічної схеми (формули), в якій перераховані всі можливі поєднання значень вхідних змінних разом із значенням вихідної змінної (результату операції) для кожного з цих поєднань. Таблиця істинності логічної формули виражає відповідність між будь-якими наборами значень вхідних змінних і значеннями формули. Для формули, яка містить дві змінні, таких наборів значень вхідних змінних всього чотири: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Якщо формула містить три змінні, то можливих наборів значень вхідних змінних вісім: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Кількість наборів для формули з чотирма змінними дорівнює шістнадцяти і так далі.
С х е м а АБО
С х е м а НЕ
Схема НЕ (інвертор) реалізує операцію заперечення. Якщо на вході схеми - 0, то на виході - 1. Коли на вході - 1, на виході - 0.
С х е м а І - НЕ
Схема І-НЕ відповідає операції Шиффера. Нуль на виході схеми буде тоді і тільки тоді, коли на всіх входах будуть одиниці. С х е м а АБО - НІ
Схема АБО-НІ відповідає операції Пірса. Одиниця на виході схеми буде тоді і тільки тоді, коли на всіх входах будуть нулі.
Все в одній таблиці:
ОСНОВНІ ЗАКОНИ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ
Зручною формою запису при знаходженні значень формули є таблиця, що містить окрім значень змінних і значень формули містить також і значення проміжних формул. Приклад 1: Складемо таблицю істинності для формули
З таблиці видно, що при всіх наборах значень змінних x і у дана формула набуває значення 1, тобто є тотожно істинною. Приклад 2: Таблиця істинності для формули
З таблиці видно, що при всіх наборах значень змінних x і у формула набуває значення 0, тобто є тотожно хибною.
Приклад 3.
З таблиці видно, що формула в деяких випадках набуває значення 1, а в деяких — 0, тобто є здійснимою.
Спрощення логічних формул. Рівносильні перетворення логічних формул мають те ж призначення, що і перетворення формул в звичайній алгебрі. Вони служать для спрощення формул або приведення їх до певного вигляду шляхом використання основних законів алгебри логіки. Під спрощенням формули, що не містить операцій імплікації і еквівалентності, розуміють рівносильне перетворення, що приводить до формули, яка або містить в порівнянні з початковою менше число операцій кон'юнкції і диз'юнкції і не містить заперечень неелементарних формул, або містить менше число входжень змінних. Деякі перетворення логічних формул схожі на перетворення формул в звичайній алгебрі (винесення загального множника за дужки, використання сполучного закону і т. п.), тоді як інші перетворення засновані на властивостях, якими не володіють операції звичайної алгебри (використання розподільного закону для кон'юнкції, законів поглинання, склеювання, де Моргана та ін.).   Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
0 = ~x
0 = x
0 = ~x
0 = ~x
0 = 1
0 = x
–, що позначають висловлювання; символи логічних операцій 
, 
, 
, 
, 
; символи дужок (,).
Так, наприклад, з елементарних висловлювань “ Юкало — спортсмен”, “Юкало — двієчник” за допомогою зв'язку “і” можна отримати складене висловлювання “Юкало — спортсмен і двієчник”, що відповідає - “Юкало — спортсмен, який погано вчиться”.
Нехай через А позначено висловлювання “Пацієнт хворий на невиліковну хворобу ”, а через В - висловлювання “ Пацієнт проходить діагностування ”. Тоді складене висловлювання “Пацієнт хворий на невиліковну хворобу і проходить діагностування” можна коротко записати як А і В. Тут “і” - логічний зв'язок, А, В - логічні змінні, які можуть набувати тільки два значення, - “ істина” або “ хибність”, що позначаються, відповідно, “1” і “0”
. Висловлювання 
).
“ 10 ділиться на 2 і 5 більше 3”
Наприклад: “ даний чотирикутник - квадрат” (А) і “ біля даного чотирикутника можна описати коло ” (В). Розглянемо складене висловлювання А ® В, яке означає “ якщо даний чотирикутник квадрат, то біля нього можна описати коло ”. Є три варіанти, коли висловлювання А ®В істинне:
“ якщо студент — першокурсник, то в медицина – практична наука”
Наприклад, висловлювання
), “ пінгвіни не живуть в Антарктиді ” (
). Утворені з висловлювань А, В складені висловлювання A <=> В і 
v В
v В) • (
v А).
Як приклад розглянемо висловлювання “ якщо я навчаюсь у медичному університеті або медичному коледжі, то стану медичним працівником ”. Це висловлювання формалізується у вигляді (A v B) Þ C. Така ж формула відповідає висловлюванню “ якщо студент навчається на відмінно або на добре, то він закінчить університет”.
, яка відповідає висловлюванню “ Цей трикутник прямокутний або гострокутний ”. Ця формула істинна і тоді, коли трикутник прямокутний, і тоді, коли трикутник не прямокутний. Такі формули називаються тотожно істинними формулами або тавтологіями. Висловлювання, які формалізуються тавтологіями, називаються логічно істинними висловлюваннями.
, яка відповідає, наприклад, висловлюванню “У пацієнта виявлено саркому і пацієнт не є онкологічним хворим”. Очевидно, що ця формула помилкова, оскільки або А, або 
, яка містить дві змінні x і у. По-перше, у двох стовпцях таблиці запишемо чотири можливі пари значень цих змінних, в подальших стовпцях — значення проміжних формул і в останньому стовпці — значення формули. В результаті отримаємо таблицю:
:
