Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Занятие 4. Работа. Законы сохранения





СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ

1. Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

2. Связь работы с изменением кинетической энергии.

3. Связь работы с убылью потенциальной энергии.

4. Потенциальная энергия, ее виды.

5. Связь силы с потенциальной энергией.

6. Закон сохранения полной механической энергии.

7. Задачи на совместное применение законов сохранения энергии и импульса.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

Работа, совершаемая силой при перемещении тела по произвольной траектории между точками 1 и 2

где – элементарное перемещение; a – угол между векторами .

В случае постоянной силы =const выражение для работы имеет вид

где – перемещение тела между точками 1 и 2; Fs – проекция силы на направление перемещения; a – угол между векторами .

Средняя мощность за интервал времени Dt

Мгновенная мощность

где dA – элементарная работа, совершаемая за интервал времени dt.

Связь работы с изменением кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии тела

А12=Ek2–Ek1,

где m – масса тела; u – скорость, р – импульс тела, индексом 1 и 2 помечены начальное и конечное значение кинетической энергии.

Потенциальная энергия и ее виды.

Потенциальная энергия – это энергия взаимного расположения тел или частей тела, убыль которой равна работе, совершаемой потенциальными (консервативными) силами над телом в силовом поле

А12=U1–U2=–DU,

где индексом 1 и 2 помечены начальное и конечное значение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точечных или сферически симметричных тел

,

где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между центрами масс.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном гравитационном поле (поле силы тяжести)

U=mgh,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

где k – коэффициент упругости тела; x – смещение при деформации тела.

Связь силы с потенциальной энергией

Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке силового поля, связаны соотношением

где – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное)

.

Закон сохранения энергии в механике

Для консервативной системы полная механическая энергия остается постоянной

 

Ek+U=E=const,

где E – полная механическая энергия системы.

Совместное применение законов сохранения энергии и импульса

к прямому центральному удару шаров дает соотношения:

- для скорости движения шаров после неупругого удара

u=(m1u1+m2u2)/(m1+m2),

- для скорости движения шаров после абсолютно упругого удара

где m1 и m2 – массы шаров, а u1 и u2 – их скорости до удара.

 

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Плотность воды r0=1×103 кг/м3.

Плотность льда r=0,9×103 кг/м3.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обусловлены законы сохранения?

2. Какие силы называются внешними, внутренними? Какие системы материальных точек называются замкнутыми, незамкнутыми? Может ли система вести себя как замкнутая в одном определенном направлении?

3. Покажите, что для системы материальных точек , где – импульс системы; – результирующая всех внешних сил.

4. Что называется центром масс системы материальных точек и каковы его свойства?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек, указав на его связь с однородностью пространства. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса, сохранения проекции импульса.

6. Дайте определение: а) механической работы А; б) мощности N. Каковы свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

7. Какие силы называются консервативными, неконсервативными? Какие поля являются потенциальными, непотенциальными?

8. Получите выражение для кинетической энергии движущейся мaтериальной точки. Выведите формулу для потенциальной энергии: а) тела, поднятого над землей; б) упругодеформированной пружины.

9. Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энергии и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью времени.

10. Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры абсолютно упругого и неупругого ударов.

11. Какими законами сохранения определяется соотношение между начальным и конечным состоянием тел, участвующих в соударении?

12. В какие виды энергии может переходить кинетическая энергия соударяющихся тел? Позволяют ли законы сохранения определить, что происходит в процессе соударения?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(2.44) Найти работу A, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m=1 т от u1=2 м/с до u2=6 м/с на пути S=10 м. На всем пути действует сила трения Fтр=2 Н.

Ответ: A=16 кДж.

2.(2.50) Камень падает с некоторой высоты без начальной скорости в течение времени t=1,43 с. Найти кинетическую Ek и потенциальную U энергии камня в средней точке пути. Масса камня m=2 кг.

Ответ: Ek=U=98,1 Дж.

3. (2.57) Тело массой m=3кг, имея начальную скорость u0=0, скользит по наклонной плоскости высотой h=0,5 м и длиной склона l =1 м и приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью u=2,45 м/c. Найти коэффициент трения m тела о плоскость и количество теплоты Q, выделившееся при трении.

Ответ: m=0,22; Q=5,7 Дж.

4.(2.67) Конькобежец массой M=70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m=3 кг со скоростью u=8 м/с. На какое рассстояние s откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед m=0,02?

Ответ: s=0,3 м.

5.(2.68) Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросает в горизонтальном направлении камень массой m=2 кг. Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент после бросания ее скорость была u=0,1 м/с. Масса тележки с человеком M=100 кг. Найти кинетическую энергию Ek брошенного камня через время t=0,5 с после начала его движения.

Ответ: Ek=49 Дж.

6.(2.80) Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l =1 м. Найти скорость u пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a=100.

Ответ: u=550 м/c.

7.(2.80) Стальной шарик массой m=20 г, падая с высоты h1=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту h2=81 см. Найти импульс p, полученный плитой за время удара, и количество теплоты Q, выделившейся при ударе.

Ответ: p=0,17 кг×м/c; Q=37,2 мДж.

8.(2.110) Акробат прыгает в сетку с высоты Н=8 м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на h0=0,5 м, если акробат прыгает в нее с высоты H0=1 м.

Ответ: h=1,23 м.

9.(2.118) Гиря массой m=0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l 0, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гири n=2 об/c. Угол отклонения резинового шнура от вертикали a=300. Жесткость шнура k=0,6 кН/м. Найти длину l 0 нерастянутого резинового шнура.

Ответ: l 0=6,3 см.

10.(2.123) Льдина площадью поперечного сечения S=1 м2 и высотой h=0,4 м плавает в воде. Какую работу A нужно совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Ответ: A=7,84 Дж.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.18) Шар массой m=4 кг движется со скоростью u=1,5 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой M=6 кг. Определить работу A по деформации шара. Удар считать неупругим, центральным.

Ответ: A=2,7 Дж.

2.(1.19) Шар массой M=4 кг движется со скоростью u=2 м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m=3 кг. Определить скорости шаров u1 и u2 после удара. Удар считать упругим, прямым, центральным.

Ответ: u1= 0,286 м/с, u2=2,28 м/c.

3.(1.21) Шар массой M=3 кг сталкивается с покоящимся шаром меньшей массы и теряет при этом 45% первоначальной кинетической энергии. Определить массу m меньшего шара. Удар считать упругим, прямым, центральным.

Ответ: m=0,45 кг.

4.(1.22) Два шара массами M=2 кг и m=1 кг подвешены в одной точке на нитях длиной l =0,8 м так, что шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отклоняют на угол a=450 и отпускают. Определить высоты h1 и h2, на которые поднимутся шары после соударения: 1) если удар упругий, 2) удар неупругий.

Ответ: 1) h1=3 см, h2=11 см; 2) h1=h2=3 см.

5.(1.24) Деревянный шарик массой m=0,1 кг падает вертикально вниз с высоты h=3 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления (отношение скорости тела после удара к скорости тела до удара) при ударе шарика об пол равен 0,5. Найти: 1) высоту h, на которую поднимется шарик после удара об пол; 2) количество теплоты Q, которое выделится при ударе; 3) приращение импульса Dp, полученное шариком при ударе.

Ответ: h=0,75 м, Q=2,2 Дж, Dp=1,66 кгм/с.

6.(1.25) Ящик массой m=25 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l =2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой M=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки, если лоток наклонен под углом a=300 к горизонту.

Ответ: u=0,917 м/с.

7.(1.27) Из ствола автоматического пистолета вылетает пуля массой m=15 г со скоростью u=100 м/с. Затвор пистолета массой M=200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k=30 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

Ответ: l =1,94 см.

8.(1.28) Определить работу A растяжения двух соединенных последовательно пружин с жесткостями k1=300 Н/м и k2=200 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на x1=3 см.

Ответ: A=0,34 Дж.

9.(1.32) Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз, то она сожмется на x0=4 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h=10 см?

Ответ: x1=32,6 мм.

10.(1.34) Налетев на пружинный буфер, вагон массой M=15 т, движущийся со скоростью u=0,5 м/с, остановился, сжав пружину на x=10 см. Определить жесткость k пружины буфера.

Ответ: k=375 кН/м.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину l =1 м и массу m=10 г, лежит на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую линию, перпендикулярно к краю стола. Конец цепочки свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся части составляет h=0,275 части всей длины, цепочка начинает соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по длине, найти: а) коэффициент трения m между цепочкой и столом; б) работу А сил трения цепочки об стол за время соскальзывания; в) скорость u цепочки в конце соскальзывания.

Ответ: a)

б) Дж.

в) м/с.

2. Тело массой m брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью u0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) мгновенную мощность Р(t), развиваемую при полете тела, приложенной к нему силой; б) значение мощности Р в вершине траектории; в) среднее значение мощности <Рпод> за время подъема тела; г) среднее значение мощности <Рпол> за время полета (точка бросания и точка падения находятся на одном уровне).

Ответ: a) P(t)=mg(gt-u0sina); б) P=0;

в) <Pпод>=– mgu0sina; г) <Pпол>=0.

3. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы вниз (см. рис. 1.6). На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно? Радиус сферы равен R. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: .

4. Для определения коэффициента трения можно воспользоваться установкой, представляющей собой вогнутую цилиндрическую поверхность с нанесенными градусными метками. Тело устанавливают на поверхность цилиндра так, чтобы радиус, проведенный в его центр тяжести, составлял с вертикалью угол a, после чего тело отпускают и оно начинает скользить поперек образующей цилиндра. Как определить коэффициент трения, если сила нормального давления значительно больше центробежной силы? Угол подъема тела, прошедшего положение равновесия, равен b.

Ответ: .

5. Два шара претерпевают центральный неупругий удар. До удара шар массой m2 – неподвижен, шар массой m1 – движется с некоторой скоростью. Какая часть h первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если: а) m1=m2; б) m1=0,1m2;
в) m1=10m2.

Ответ: .

6. Водометный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью u=10 м/с относительно катера назад. Масса катера M=1000 кг. Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна mt=10 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера u спустя время t=1 мин после начала движения; б) какой предельной скорости umax может достичь катер?

Ответ:

7. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиусом R, зависит от пройденного пути s по закону T=as2, где a – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от s.

Ответ: .

8. Небольшое тело массой m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения m.

Ответ: A=mg(h+m l).

9. Частица массой m1 испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массой m2. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если: а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения; б) столкновение лобовое.

Ответ: .

10. Какой минимальной скоростью должен обладать нейтрон массой m, чтобы при неупругом столкновении с покоившимся ядром массой М увеличить его внутреннюю энергию на DЕ.

Ответ: где

11. Снаряд, летящий со скоростью u=500 м/с, разрывается на три одинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в h=1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?

Ответ: км/c.








ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.