Занятие 8. Законы распределения

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ

1. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения.

2. Следствия из закона распределения: наиболее вероятная скорость, средняя арифметическая, средняя квадратичная скорости.

3. Барометрическая формула.

4. Распределение Больцмана.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Распределение Больцмана (распределение частиц во
внешнем силовом поле)

где n – концентрация частиц; U(x,y,z) – их потенциальная энергия в силовом поле; n₀ – концентрация частиц в областях, где U(x,y,z)=0;
k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура; e – основание натурального логарифма.

Барометрическая формула (распределение давления идеального газа в однородном поле силы тяжести)

или ,

где P – давление газа на высоте h; P₀ – давление газа на высоте h=0; M – молярная масса; m – масса молекулы; R – универсальная газовая постоянная; g – ускорение свободного падения.

3. Вероятность того, что величина x, характеризующая
какой-либо физический параметр, лежит в интервале значений от x до x+dx, равна

dW=f(x)×dx,

где f(x) – нормированная функция распределения по значениям величины x. Если x играет роль объема, то f(x) – плотность вероятности; если x – координата, то f(x) – вероятность, отнесенная к интервалу длины; если x – скорость, то f(x) – вероятность, отнесенная к интервалу скорости, и т.д.

С другой стороны

,

где N – число молекул в газе. Отношение выражает долю числа молекул, для которых величина x заключена в интервале от x до x+dx. Отсюда количество молекул dN, для которых величина x, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х+dх

dN=NdW=Nf(x)dx.

5. Распределение Максвелла – распределение молекул равновесного газа по модулю скорости (далее везде - по скорости) дает число молекул dN(u), скорости которых заключены в интервале от u до u+du

,

где f(u) – функция распределения молекул по скоростям, выражающая вероятность того, что скорости молекул лежат в интервале от u до u+du, или долю числа молекул, модуль скорости которых лежит в указанном интервале; N – общее число молекул газа; m – масса молекулы.

Условие нормировки функции распределения

.

Интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины x.

Среднее значение физической величины x в общем случае

,

а в случае, если выполнено условие 6:

,

где f(x) – функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Средняя арифметическая скорость молекул

,

где m – масса одной молекулы.

Средняя квадратичная скорость молекул

, где .

.

Наиболее вероятная скорость молекул

.

11. Число молекул dN, скорости которых заключены в интервале от u до u+du

,

где u=u/u_в – скорость, равная отношению скорости молекулы u к наиболее вероятной u_в; f(u) – функция распределения по относительным скоростям движения молекул.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Если выполняется неравенство Du<<u, то соотношение п.11 может быть представлено в виде

где ; u=u/u_в.

При решении задач, в которых выполнено это неравенство, нужно использовать табличные значения функции f(u) (см. табл. №2).

Таблица №2

Примечание: если значение u не подходит ни к одному табличному значению, провести вычисление f(u) на калькуляторе.

2. Для нахождения доли молекул , относительные скорости которых лежат в интервале от u₁<u<¥, расчет проводят по формуле:

.

При решении таких задач нужно использовать табличные значения =f(u₁) (см. табл. №3).

3. Наиболее часто встречающиеся интегралы при вычислении средних значений по функциям распределения:

; ;

; .

Таблица №3

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Проанализируйте выражение для зависимости атмосферного давления от высоты (барометрическая формула).

2. Исходя из барометрической формулы, получите распределение Больцмана.

3. Сформулируйте физический смысл распределения Больцмана.

4. Что характеризует функция распределения?

5. При каких условиях выполняется закон распределения молекул газа по скоростям Максвелла?

6. Напишите аналитическое выражение этого закона и изобразите его графически.

7. Какому условию удовлетворяет нормированная функция распределения?

8. Как вычисляют среднее значение физической величины?

9. Получите соотношение для наиболее вероятной скорости молекул идеального газа.

10. При каких условиях следует пользоваться табл. №2, а при каких – табл. №3?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(5.49) Найти число молекул водорода в объеме V=1 см³, если давление Р=200 мм рт. ст., а средняя квадратичная скорость его молекул при данных условиях <u_ск>=2,4×10³ м/с.

Ответ: N=4,2×10¹⁸.

2.(5.50) Плотность некоторого газа r=6×10^-2 кг/м³, а средняя квадратичная скорость его молекул <u_ск>=500 м/с. Найти давление Р, которое газ оказывает на стенки сосуда.

Ответ: Р=5×10³ Па.

3.(5.56) 1) Найти среднюю квадратичную скорость молекул газа, плотность которого при давлении Р=750 мм рт. ст. равна
r=8,2×10^-2 кг/м³. 2) Чему равна молярная масса этого газа, если значение плотности дано для температуры t=17⁰С?

Ответ: 1) <u_ск>=1,9×10³ м/с; 2) M=2×10^-3 кг/моль.

4.(5.95) Какая часть молекул кислорода (О₂) при t=0⁰С обладает модулем скорости, заключенным в интервале от u₁=100 м/с до u₂=110 м/с?

Ответ: 0,5 %.

5.(5.97) Какая часть молекул водорода (Н₂) при t=0⁰С обладает модулем скорости, заключенным в интервале от u₁=2000 м/с до u₂=2100 м/с?

Ответ: 4,7 %.

6.(5.99) Какая часть молекул азота (N₂), находящегося при температуре Т, имеет скорости, лежащие в интервале от u_в до u_в+Du, где Du=20 м/с? Задачу решить для: 1) Т=400 К, 2) Т=900 К.

Ответ: 1) DN/N=3,4 %; 2) DN/N=2,2 %.

7.(5.100) Какая часть молекул азота N_x/N при температуре t=150⁰С обладает скоростями, лежащими в интервале от u₁=300 м/с до u₂=800 м/с?

Ответ: N₁/N=87 %; N₂/N=17 %; N_x/N=70 %.

8.(5.101) Какая часть общего числа N молекул имеет скорости:
1) больше наиболее вероятной скорости, 2) меньше наиболее вероятной скорости?

Ответ: 1) N₁/N=57 %; 2) N₂/N=43 %.

9.(5.106) Высотная обсерватория расположена на высоте h=3250 м над уровнем моря. Найти давление воздуха на этой высоте. Температура воздуха постоянна и равна 5⁰С. Молярная масса воздуха
m=29×10^-3 кг/моль. Давление воздуха на уровне моря р=760 мм рт. ст.

Ответ: Р=67,8 кПа.

10.(5.111) На какой высоте плотность газа составляет 50 % от его плотности на уровне моря? Температура постоянна и равна 0⁰С. Задачу решить для: 1) воздуха, 2) водорода.

Ответ: 1) h=5,5 км; 2) h=80 км.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(2.21) Определить температуру, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Du=300 м/с.

Ответ: Т=214 К.

2.(2.23) Предположим, что пылинки, взвешенные в воздухе над городом, имеют массу 10^-21 г каждая. На какой высоте их концентрация уменьшится в 100 раз? Температура воздуха 300 К.

Ответ: h=1945 м.

3.(2.25) Определить температуру газа, для которой: 1) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной на Du=400 м/с; 2) функция распределения молекул кислорода по скоростям будет иметь максимум при скорости 420 м/с.

Ответ: 1) Т=376 К; 2) Т=340 К.

4.(2.26) При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на 30 м/с?

Ответ: Т=364 К.

5.(2.31) Найти отношение числа молекул водорода DN₁, скорости которых лежат в пределах от 2200 м/с до 2210 м/с, к числу молекул этого же газа DN₂, имеющих скорости в пределах от 1300 до 1310 м/с, если температура водорода 300⁰С.

Ответ: DN₁/DN₂=1,46.

6.(2.32) В сосуде находится m=10 г водорода (Н₂). Сколько молекул водорода при температуре Т=270 К обладает скоростями в интервале от u₁=300 м/с до u₂=320 м/с?

Ответ: DN=3,6×10²¹.

7.(2.33) Какая часть от общего числа N молекул газа имеет скорости: 1) больше средней квадратичной скорости; 2) больше наиболее вероятной скорости?

Ответ: 1) 38 %; 2) 57 %.

8.(2.35) Какая часть молекул газа имеет скорости в интервале между наиболее вероятной и средней квадратичной скоростями?

Ответ: DN/N=18 %.

9.(2.38) Как изменится число молекул газа, скорости которых лежат в интервале от средней арифметической до средней квадратичной скорости, если температура газа уменьшится в 5 раз?

Ответ: число молекул не изменится.

10.(2.40) Найти отношение числа молекул кислорода DN₁, скорости которых лежат в интервале от 500 м/с до 520 м/с при температуре Т₁=200 К, к числу молекул этого же газа DN₂, скорости которых находятся в пределах от 390 м/с до 400 м/с при температуре Т₂=400 К.

Ответ: DN₁/DN₂=2.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. При каком значении скорости u пересекаются кривые распределения Максвелла для температур Т₁ и Т₂=2×Т₁?

Ответ: , где .

2. Получите формулы для средней арифметической скорости молекул равновесного газа, средней квадратичной скорости молекул того же газа, используя соотношения п.7.

3. Распределение молекул по скоростям в молекулярных пучках, выходящих через отверстия, размеры которых малы по сравнению с длиной свободного пробега молекулы, отличается от максвелловского и имеет вид: . Определите из условия нормировки коэффициент A.

Ответ: A=m²/(2k²T²).

4. Для распределения молекул в задаче 3 найти: 1) наиболее вероятную скорость u_в; 2) среднюю арифметическую скорость <u>.

Ответ: ; .

5. Идеальный газ с молярной массой M находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h. Температура газа Т, его давление на нижнее основание Р₀. Считая, что температура и ускорение свободного падения g не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.

Ответ: .

6. Идеальный газ с молярной массой M находится в однородном поле силы тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h=0 давление газа Р=Р₀, а температура изменяется с высотой по закону Т=Т₀×(1+ah), где a>0. Как зависит от высоты плотность газа r?

Ответ: Р=Р₀×(1+ah)ⁿ, где n=Mg/(aRT₀); .

7. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Длина цилиндра L, площадь основания S. Давление воздуха снаружи Р₀, температура Т, молярная масса воздуха M. Найти: 1) давление воздуха как функцию расстояния r от оси вращения; 2) силу добавочного давления на дно цилиндра.

Ответ: ; .

8. В середине теплоизолированного закрытого с обоих концов цилиндрического сосуда объемом 2V₀ находится тонкий поршень массой m и площадью S. В обеих половинах сосуда находится идеальный газ при давлении Р₀. Определить период малых колебаний поршня, если его слегка сместить от середины и отпустить. Трением пренебречь. Давление и объем газа в обеих половинках связаны соотношением PV=const.

Ответ: .

9. Гармонический осциллятор совершает колебания с амплитудой а. Масса осциллятора m, собственная частота w. Найти: 1) функцию f(x)=dp/dx – распределения вероятностей значения координаты x; 2) среднее значение координаты <x>; 3) среднее значение квадрата координаты <x²>; 4) среднее значение потенциальной энергии осциллятора <U>.

Ответ: 1) ; 2) <x>=0; 3) <x²>=a²/2;

4) <U>= .

10. Из уравнения Максвелла получить закон распределения молекул по энергиям.

Ответ: , где e=mu²/2.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: