Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

8.

Возьмем кривую CAB, выберем на ней точку M и проведем секущую AM. Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому пределу – прямой AT. Другими словами Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точке A.

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT: Данное равенство справедливо, если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB.

Если кривая CAB является графиком функции f (x), то для углового коэффициента k касательной можно записать:

(здесь и далее x ₀ и f (x ₀) – координаты точки касания). Функция f (x) дифференцируема в точке x ₀ тогда и только тогда, когда к графику функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке:

Другими словами, производная функции в точке x ₀ равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b. Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так:

Проходящие через точку A прямые с угловыми коэффициентами и называются, соответственно, левой и правой касательными к графику функции y = f (x) в точке A. Эти касательные совпадают, если функция f дифференцируема в точке A.

Пусть графики функций y = f ₁(x) и y = f ₂(x) пересекаются в точке A. Углом φ между их графиками называется угол, образованный касательными к ним в точке A. В этом случае

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x ₀; y ₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением

что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной касательная в точке x ₀ становится вертикальной и задается уравнением x = x ₀, а нормаль – горизонтальной: y = y ₀.

9. Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором отрезке [ a, b ]. Значения производной f'(x) зависят от х, т.е. производная f'(x) тоже представляет собой некоторую функцию от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y''=(f'(x))'= f''(x). (4.5)

Физический смысл второй производной: вторая производная f''(x) равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в момент времени х.

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f'''(x).

О. Если определена (n -1) -я производная f ^{(n -1)} (x) и существует её произ­водная, то она называется n-й производной функции f(x):

f ⁽ⁿ⁾ (x) = (f ^{(n -1)} (x))'. (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Функцию, имеющую на данном множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на данном множестве.

Дифференциал функции y = f (x) выражается в виде dy = f'(x) dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следующее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d ² y = f''(x) dx ² . (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n -го порядка называется дифференциалом (n +1)-го порядка.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: