|
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функцииСтр 1 из 3Следующая ⇒ Правило Лопиталя Задача 1. Вычислить . Решение: . Задача 2. Вычислить . Решение: . Задача 3. Вычислить . Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа . Логарифмируем выражение , получаем . С учетом последнего равенства находим
= 0. Воспользовавшись непрерывностью функции на вcей естественной области определения, получим: . Отсюда =1. Следовательно, =1. Найти значения пределов:
№1 №2
№3. №4. Перепишем данное выражение в виде . №5 . №6. . В этом случае применение правила Лопиталя ошибочно, лучше сделать преобразования , т.к. №7. . №8. . №9. . №10. . №11. или . №12. . №13. . №14. . №15. . № 16. предел первого множителя предел второго множителя: Таким образом, искомый предел равен . №17. =(логарифмируем заданную функцию, применяем свойство степени, получаем)= . №18 №19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . , Þ , . 3. .
б) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . Þ . 3. .
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . , Þ , , .
б) . 1. Область определения функции D(y): x¹0. 2. ; . Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ ; – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
Найти интервалы монотонности функции Решение. Имеем . Очевидно при и при , т.е. функция убывает на интервале и возрастает на интервале , где. — абсцисса вершины параболы. Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке. , то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: () т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю. Пример. Найти интервалы монотонности функции Решение. Найдем производную . Очевидно, что , при . При производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси. Исследовать на экстремум функцию Решение. 1°. Производная функции 2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции . (Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет —функция определена на всей числовой оси). 3°.
Нанесем критические точки на числовую прямую. Для определения знака производной слева и справа от критической точки выберем значения, например, и найдем и ; следовательно, при всех на интервале . Аналогично устанавливаем, что и на интервале Согласно достаточному условию — точка минимума данной функции. В точке х= 1 экстремума нет. 4°. Находим ► Решение задач 1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: , . Решение: ; . Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ ; , . – не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ . , , . Найдем значения функции в точке и на концах отрезка: ; ; . Наибольшее значение функции равно при ; Наименьшее значение функции равно при . Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, . 2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: , . Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - , , , ; б) с осью ОY: . Следовательно, точка пересечения с осью ОY - . 3) Функция четная, так как (поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY). Функция непериодическая. 4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем =0. Следовательно, точки , , будут подозрительными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки , , , и исследуем функцию для . Информация о поведении функции на интервале необходима для анализа функции в точке . По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: . Находим точки, в которых или не существует. при . Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:
6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось. Найдем наклонную асимптоту : = . Следовательно, наклонных асимптот нет.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1 Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки . Итак, .
2) Найдем точки пересечения с осями координат. а) с осью ОХ: . Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - . б) с осью ОY: . Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .
3) Функция общего вида, так как . Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции. Имеем . Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум. Точка , в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки , , и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: . Находим точки, в которых или не существует: при , не существует при .Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:
6) Найдем вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции в окрестности точки : ; . Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: . Найдем наклонную асимптоту : ; . Следовательно, наклонная асимптота: .
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
Замена переменных 1) Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; Тогда 2) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 3) Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; ; 4) ; Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 5) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 6) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 7) Так как , то или: 8) Положим . Тогда Так как , то 9) = = = = = = . 10) = = 11) .
12) . Определенный интеграл 1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы: 1). 2). = 3). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Частные производные. Задача 1. Найти частные производные от функций: а) . Решение. Частную производную находим как производную функции по аргументу в предположении, что . Поэтому, Аналогично, б) в)
г) Пример 2 . Показать, что .
Пример 3 . Показать, что . Экстремум функции Дана функция . а) исследовать функцию на экстремум; Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: Следовательно, Точка - стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке . Составим дискриминант . Так как , то экстремум есть, так как , то - точка минимума. Решение. 1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора : , где , - направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: , . По условиям задачи вектор имеет координаты , . Тогда его длина равна: . Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: , . Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции : Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции z в точке в формулу производной по направлению в заданной точке:
2. Правило Лопиталя Задача 1. Вычислить . Решение: . Задача 2. Вычислить . Решение: . Задача 3. Вычислить . Решение: Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа . Логарифмируем выражение , получаем . С учетом последнего равенства находим
= 0. Воспользовавшись непрерывностью функции на вcей естественной области определения, получим: . Отсюда =1. Следовательно, =1. Найти значения пределов:
№1 №2
№3. №4. Перепишем данное выражение в виде . №5 . №6. . В этом случае применение правила Лопиталя ошибочно, лучше сделать преобразования , т.к. №7. . №8. . №9. . №10. . №11. или . №12. . №13. . №14. . №15. . № 16. предел первого множителя предел второго множителя: Таким образом, искомый предел равен . №17. =(логарифмируем заданную функцию, применяем свойство степени, получаем)= . №18 №19. Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию. а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . , Þ , . 3. .
б) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . Þ . 3. .
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума: а) . 1. Область определения функции D(y)=R. 2. . Критические точки: . , Þ , , .
©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.
|