|
Непосредственное интегрированиеПримеры: Найти интегралы 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 10) 11) ; 12) Замена переменных 1) Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; Тогда 2) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 3) Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; ; 4) ; Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 5) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 6) . Положим . Продифференцируем обе части полученного равенства ; 7) Так как , то или: 8) Положим . Тогда Так как , то 9) = = = = = = . 10) = = 11) .
12) . Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Пример1: = = = = = . Пример2: = = = = = . Пример 3: = = = . Пример4: I= = = = = . Последний интеграл есть не что иное как исходный интеграл, поэтому можно записать: ; ; . Пример 5: = = = = = Пример 6. . Пример 7. . Положим Отсюда Пример 8. . Выполним сначала замену переменной, положим . Тогда и . Следовательно, , Пусть , . Тогда , и, применяя формулу интегрирования по частям, получаем: . Полагая в формуле интегрирования по частям , , получаем . Окончательно имеем Итак, . Пример 9. . Положим Тогда и, следовательно, применяя формулу интегрирования по частям получим Интеграл вычислим отдельно, интегрируя его по частям. Положив , находим: Следовательно, . Но тогда Пример 10. Положим Тогда вычислим, используя метод разложения Таким образом, получаем: Пример 11. Положим Тогда Вычислим полученный интеграл методом подстановки. Положим , тогда
,
Итак, . Пример 12. Тогда Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен Примеры: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) . 8) 9) 10) 11) Поскольку , то используем замену переменной , Интегрирование рациональных функций. Пример 1. Найти . Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби, для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель. Тогда Разложим дробь на простейшие дроби: ; Отсюда Следовательно, Но тогда: = Пример 2. Найти Решение: Подынтегральную правильную рациональную дробь разложим на сумму простейших дробей: . Приведем правую часть к общему знаменателю и запишем тождественное равенство числителей: . Подставляя в полученное выражение корни знаменателя , , , найдем неизвестные коэффициенты : Следовательно, искомый интеграл представим в виде:
Пример 3. Найти Подынтегральную правильную рациональную дробь раскладываем на сумму простейших: . Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители: . Подставляя два действительных корня в полученное равенство, найдем неопределенные коэффициенты : Для нахождения и в этом же равенстве приравняем коэффициенты при одинаковых степенях : Решаем систему линейных уравнений:
Следовательно, искомый интеграл
Пример 4. Найти интеграл . Пример 5. Найти интеграл ; б) ; в) . найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей. ; ; ; Таким образом, . Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций. Пример 1. Найти неопределенный интеграл . Пример 2. Найти неопределенный интеграл . Пример 3. Найти неопределенный интеграл . Пример 4. Найти неопределенный интеграл . Пример 5. Найти неопределенный интеграл . Пример 6. Найти неопределенный интеграл . Пример 7. Найти неопределенный интеграл . Пример 8. Найти неопределенный интеграл: . Решение: Здесь функция sinx стоит в нечетной степени, поэтому ; Пример 9. Найти неопределенный интеграл Пример 10. Найти неопределенный интеграл = - Пример 11. Найти неопределенный интеграл = . Интегрирование рациональных функций некоторых иррациональностей Пример 1. Найти неопределенный интеграл . Решение:
В подынтегральном выражении выделим целую часть: , . Пример 2. Найти неопределенный интеграл . Решение: Сделаем следующую замену переменных: . Пример 3. Найти неопределенный интеграл . Решение: Замена интеграл примет вид
= = = = = = +С= = +С. Пример 4. Найти неопределенный интеграл . Решение: Замена тогда = . Интеграл примет вид =
= = = = = . Пример 5. Найти неопределенный интеграл . Решение: Замена Тогда интеграл примет вид = = = = = = = = . Определенный интеграл 1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы: 1). 2). = 3). 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|