|
Приложения определенного интеграла ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3). Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: . Отсюда Площадь фигуры вычислим по формуле .
Рис.1 (кв.ед.) Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0. Рис.2 Решение: Построим чертеж к задаче (рис.2). Площадь криволинейной трапеции вычислим по формуле (кв.ед.). Пример 3. Найти площадь фигуры ограниченной линиями и . Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти. Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений: Þ При решении квадратного уравнения системы , получаем два корня х1=-2, х2=1. Рис. 4. Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.
f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). Теперь можно вычислить площадь фигуры: = = = Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми и . Решение. Выполним чертеж. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед ) и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая площадь симметрична относительно оси , следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. . y
2
1 x
Рис. 1 Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой : , согласно формуле, получим: ; (кв. ед.). Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Решение: Так как определяет расстояние до соответствующей точки, то . Следовательно, область определения функции определяется неравенством .Общее решение этого неравенства имеет вид где . Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения , то область допустимых значений функции в полярной системе координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами: Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график функции (рис.3)
Рис.3 В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол . Итак, Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.). Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную линией , . Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой . Пример 8. Вычислить площадь, ограниченную линией . Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой для полярных координат. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию построим по точкам, давая значения через равный промежуток, например, , начиная от до . Вычислим искомой площади.
Рис. 2 (кв. ед.). Пример 9. Найти длину линии от точки до точки . Решение: Линия задается явно в декартовой системе координат. Очевидно, что . Так как на рассматриваемом промежутке , то = = = = = = (ед.). Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:
Пример 10. Найти длину дуги , отсеченную прямой . Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах. y Воспользуемся формулой . Из чертежа видно, что 4 x пределы интегрирования будут и (рис. 3). Рис. 3 . (кв. ед.).
Пример 11. Найти длину кривой . Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что = = = = = = = . Так как на промежутке выполняется равенство = , то = = (ед.). Пример 12. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными осями, прямой и кривой вращается вокруг: а) оси абсцисс; б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения. Решение: а) Ясно, что .
б) На рис.4 изображено тело, объем которого мы будем находить. Так как , то изменяется в интервале . Кроме того, надо явно выразить x через y. Так как , то отсюда . Тогда Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям. В первом случае мы полагали , а во втором случае - . Рис.4 Пример 13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой и осью (рис. 5). Решение. Парабола расположена ветвями вниз, вершина находится в точке , и ось пересекает в точках . Для решения воспользуемся формулой (куб. ед.). y
1
1 x
Рис. 5 Пример 16. Вычислить объем тела, образованного вращением гиперболы , отсеченной прямыми , вокруг оси (рис. 6). Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой y ; , находим из уравнения гиперболы: -3 3 x Рис. 6 (куб. ед.). Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак (двойной факториал) означает произведение целых чисел, начиная с , через одно с убыванием. Например, (только нечетные множители).
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пример 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится. Пример 2.. ; следовательно, интеграл сходится и равен . Пример 3. . Интеграл сходится. Пример 4.. следовательно, интеграл сходится и равен . Пример 5.. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится. Пример 6. следовательно, интеграл сходится и равен Пример 7. . Интеграл сходится. Пример 8. следовательно, интеграл сходится и равен . Пример 9. - интеграл сходится; Пример 10. - интеграл расходится. Пример 11. ; при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл: . Пусть , ; если , то ; если то ; Поэтому (это уже собственный интеграл) ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|