Признаки Вейерштрасса и Дирихле

1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):

Если членыфункционального ряда (2) удовлетворяют в области неравенствам , и сходящийся числовой ряд, . Тогда ФР (2) , при этом числовой ряд называется мажорантой для ФР (2).

( Числовой ряд сходится, значит, по критерию Коши для числовых рядов : , Одновременно с этим
, т.е выполняется критерий Коши равномерной сходимость для ФР.)

Пример:
, x так как мажорантный ряд сходится, то ФР сходится равномерно.

2) Теорема (признак Дирихле РСФР): (2 )

Если выполняются условия:

1)
2) – при каждом фиксированном х монотонно убывает

3) ...+ , – равномерно ограничена, т.е. X, тогда (2 ) сходится равномерно.

Непрерывность суммы РСФР

Теорема (Непрерывность суммы равномерно сходящихся ФР): Пусть члены ФР непрерывны на [a,b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a,b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна на [a,b].

( Докажем [a,b] S(x₀), т.е.

>0 >0: .

Рассмотрим (*). Так как:

а) ФР >0 , [a,b] (в том числе для );

в) =u₁(x)+...+u_n(x)- непрерывна на[a,b]

>0 >0: [a,b]: < , то в силу (*) при выполняется .)

Замечание. = =

Замечание. Условия теоремы носят достаточный, но не обходимый характер (т.е. есть ряды составленные из непрерывных функций сходятся неравномерно, но имеют непрерывную сумму)

Почленное дифференцирование РСФР

Теорема (о почленном дифференцирование РСФР): Пусть непрерывно дифференцируемы на [a;b].

ФР (1) сходится на [a;b], (2) равномерно сходится на [a;b].

Тогда

(Обозначим P = . Из теоремы 3 следует: = ;

= = -

= S(x)-S(a). По теоремеБарроу: ()´=P(x)= S´(x)).

Замечание: = (

Почленное интегрирование РСФР

Теорема 1. (почленное интегрирование РСФР): Пусть члены ФР непрерывны на [a,b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a,b]. , - непрерывны на[a;b]. Тогда ФР можно интегрировать почленно: .

(Так как , S(x) (в силу теоремы 1) - непрерывны на [a;b], то

Докажем: >0 >

=

(т.к. из равномерной сходимости ФР >0 = : x [a;b], n> |S(x)- |< )

Замечание 1: В теореме 1 интегрирование можно проводить по любому отрезку [a,x], где x [a;b]

Замечание 2: =

Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.

Комплексное число является пределом

Критерий сходимости: для того, чтобы ()

и

(Н)

:

(Д)

;

;

Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.

· t f(t)=x(t)+iy(t) – комплекснозначная функция от действительной переменной

· f(t) непрерывна на если x(t) и y(t) непрерывны на

· f’(t)=x’(t)+iy’(t): f(t) дифференц. на если x(t) и y(t) дифференц. на

· Теорема: если на задана непрерывная z=f(t) то говорят что задана непрерывная кривая a=f(a) и b=f(b) – концы. Кривая замкнута если a совпадает с b.

· Z₁=f(t₁) Z₂=f(t₂) если t1 неравно t2 а Z₁=Z₂ и хотя бы одна из z не является ни a ни b то это точка самопересечения

· Кривая не содержащая точек самопересечения называется простой (жардановой)

· Если на кривой то она называется гладкой

· Замкнутая простая кусочно гладкая кривая называется контуром

· Точка z₀ является внутренней точкой множества D если которая целиком лежит в D

· Множество состоящее из внутренних точек называется открытым

· Множество называется связнам если две его точки можно соединить непрерывной кривой лежащей в нём

· Множество D – область если оно открытое и связное

· Область ограниченная γ обозначается D γ и называется контуром

· Область с присоединенной границей называется замкнутой

· Точка z₀ – изолированная если в которой нет точек кроме неё самой

· Область называется односвязной если замкнутую непрерывную кривую можно стянуть в точку не выходя за пределы области

Предел и непрерывность Функции Комплексной Переменной

Пусть W() однозначно определена в окружности z₀

если:

1)

2)

Используя критерий сходимости комплексной последовательности (16)запишем

Основные элементарные ФКП

1) линейная w=az+b – непрерывна на z

2) степенная w=zⁿ

3) дробнолинейная 0

4) w=e^z=e^x(cosy+isiny)

5) логорифмическая w=Lnz=ln|z|+iargz+2nki

6) тригонометрические

7) обратные тригонометрические cosiz=ch siniz=ish

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: