|
Б) единичного круга на единичный круг.
a) Imz>0 на |w|<1 имеет вид W=(z-z0/z- 0)ei (1) где - действительно число. □Пусть дробно-линейная функция w=w(z) Отображает полуплоскость на круг так, что w(z0)=0 (Imz0>0) Тогда в силу сохранения симметрии w( 0)= и w=A(z-z0/z- 0), (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z1 в 0 а z2 в равно w=A(z-z1/z-z2)) покажем что |A|=1. Так как точки действительной оси переходят в точки единичной окружности, то есть |w|<1 при действительных z=x то 1=|A(z-z0/z- 0)|= |A| (так как z-z0=z- 0) Следовательно A=ei ■ Всякое комфорное отображение имеет именно вид (1) – так как по теореме Римана существует единственное такое отображение, удовлетворяющее условиям.б) |z|<1 на круг |w|<1 имеет видw=(z-z0/1-z 0)ei (1) где - действительно число. □Пусть дробно-линейная функция w=w(z) отображает круг |z|<1 на круг |w|<1 так, что w(z0)=0 Тогда в силу сохранения симметрии w(1/ 0)= и имеем w=A(z-z0/1-z 0) (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z1 в 0 а z2 в равно w=A(z-z1/z-z2)). Покажем что |A|=1. Так как точки единичной окр переходят в точки ед окр, то 1=|A(ei -z0/1-ei 0)|=|A| (так как | ei -z0|=|e-i - 0|)Следовательно A=ei ■ 29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z). a) w=z2 = R2ei2 . Однолистная в области, когда в области нет точек связанных равенством z1=-z2 (нет ни одно пары точек, симметричных относительно z=0) Образы лучей argz= и дуг окружностей |z|= . Линии argz=const и |z|=const образуют координатную сетку на плоскости z. (полярные координаты) Образы прямых Rez=с и Imz=с Взаимо однозначно переводит Rez=с в параболу v2=2p(p/2-u) а прямую Imz=с в параболу v2=2p(u+p/2) здесь p=2c2; w=u+iv; б) w= Обратная к функции w=z2: аналитическая плоскости z с выколотыми z=0, , а в плоскости с разрезом, соединяющим 0 и , распадается на две регулярные ветви.
= ei( +2 k)/2 в) w= =| | ei(
30. Конформные отображения функциями еz, Lnz, функцией Жуковского. W=1/2(z+1/z) - функция регулярна в точках кроме 0 и причем (z)=1/2(1-1/z2) а в точках z=0 и z= полюсы первого порядка. Однолистна в след областях 1-|z|>1 2-|z|<1 3-ImZ>0 4-ImZ<0
W=ez =ex+di=|ex|edi w=eceiy c=0 – единичная окружность c<0 – единичный круг, c>0 – внешнось W=LnZ=ln|z|+iargz+2 ki;
Интегральная теорема Коши для односвязной области. Пусть f – функция аналитическая в некоторой области D и её производная непрерывна, тогда для любого замкнутого контура 0
Аналитичность интеграла с переменным верхним пределом. Если определена и непрерывна в D и , то -- аналитична в D и в D f(z) – непрерывная =>
Интегральная теорема Коши для многосвязной области. Аналитическая функция в и f(z) непрерывная => Из данной области делаем односвязную с помощью разрезов, тогда , но Интегральная формула Коши. Функция дифференцируема по в области D с выколотой точкой z. Выберем так, чтобы круг вместе с его границей лежал внутри . Тогда где , так как , то в силу непрерывности f(z)
Теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши. Интеграл Коши есть аналитическая функция в любой области не содержащей точек и имеет производную любого порядка (по индукции)
Поскольку f(t) непрерывная на замкнутом множестве, то она на нём ограничена Т.о. доказали
36.Теорема о -ой дифференцируемости аналитической функции. Пусть аналитична в обл-ти и непрер. в замкн. обл-ти .Тогда во внутренних точках обл-ти производная порядка ф-ии , причём □Для доказательства достаточно повторить следующие суждения соответствующее число раз. С помощью интеграла Коши (*). Рассм. в обл-ти некую замкнутую подобласть , расстояние всех которой от границы обл-ти некого «+» числа . - явл.аналитич-ой ф-ей в , причём -непрерыв.ф-ия своих аргументов. В силу общих св-в интегралов, зав.от параметра, в внут. -ах обл-ти (**). (**) явл. интегралом, завис.от пар-ра,и его подынт. ф-ия имеет те же св-ва, что подынт.ф-ия у (*). явл.аналитич-ой ф-ей в ,причём для её производной верно: .■ Теорема Морера. Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти . □При условиях теоремы ,где -проихвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.
Принцип максимума модуля.
Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области. □ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точка обл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учтя (*): (**). Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■
Теорема Лиувилля. Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■ Основная теорема алгебры Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности). □Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|