Множественная линейная регрессия. Классические предположения. Мнк-оценка параметров модели

На любой экономический показатель практически всегда оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на благо определяется не только ценой блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходами потребителей и многими другими факторами. В этом случае используется множественная регрессия.

Уравнение:

Y=f(b,X) +e

Где Х=(Х1,Х2…Хm) – вектор независимых (объясняющих переменных).

b– вектор параметров (подлежащих определению).

Сначала определяется функция модели зависимости.

Далее оцениваются параметры регрессии. Должно выполняться условие n≥m+ 1, гдеn- количество наблюдений вектора объясняющих переменных и зависимой переменной,

m– количество объясняющих переменных.

Если количество наблюдений больше минимально допустимого возникает необходимость оптимизации (оценивание параметров bi).

v=n-m-1 – число степеней свободы, чем оно выше тем выше статистическая надежность оцениваемой формулы.

На пример, для системы с двумя объясняющими переменными параметры находятся по формуле:

Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова:

1. Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю, т.е. случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную.

2. Дисперсия случайных отклонений постоянна (гомоскедастичность – выполнимость, гетероскедастичность – невыполнение этого условия), т.е. нет причины которая вызывает увеличение погрешности.

3. Случайные отклонения являются независимыми (т.е. отсутствие автокорреляции).

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющей переменной.

5. Модель является линейной относительно параметров.

6. Между объясняющими переменными должна отсутствовать сильная линейная связь (отсутствие мультиколлинеарности)

7. Ошибки е имеют нормальное распределение.

Оценка качества уравнения МНК: уравнение является наиболее точным когда получется наименьшая сумма квадратов отклонений расчитанной объясняемой переменной от фактических значений.

Свойства мнк-оценок линейной регрессии. Теорема Гаусса- Маркова.

Свойства оценок отклонений:

1. Оценки МНК являются функциями от выборки и их легко рассчитывать.

2. Эмпирическая прямая всегда проходит через точку (Хср., Yср).

3. Сумма отклонений (е) и среднее значение отклонения равны нулю.

4. случайные отклонения не коррелированны с наблюдаемыми значениями зависимой и независимой переменной.

Теорема выполняется если предпосылки выполнены, при этом оценки обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т.е. отсутствует систематическая ошибка

2. Оценки состоятельны, т.о. при увеличении объема выборки надежность оценок увеличивается.

3. Оценки эффективны, т.е. имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками

Проверка качества множественной линейной регрессии: значимость параметров, доверительные интервалы, адекватность модели. Прогнозирование.

1. Проверка значимости осуществляется на основании t-статистики, имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободыv=n-m-1:

При требуемом уровне значимости (а) наблюдаемое значениеt-статистики сравнивается с критической точкой

распределения Стьюдента. Если модульt-статистики коэффициентаbбольше этого числа, то коэфициент считается значимым.

Если модуль меньше, значит фактор Хjне значим, и только искажает реальную картину взаимосвязи. Его нужно исключить, при этом возрастет качество модели.

Проверка общего качества модели осуществляется с помощью коэффициента детерминации

Суть данного коэффициента как доли общего разброса значений зависимой переменнойY, объясняется уравнением регрессии.

0≤R²≤1 чем ближе он к единице тем больше уравнение регрессии объясняет поведениеY.

Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок делается поправка на число степеней свободы, вводится скорректированный коэффциент.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: