|
|
Главные оси и главные моменты инерцииСтр 1 из 2Следующая ⇒ Кручение бруса прямоугольного сечения Опыт показывает, что при кручении бруса любого некруглого сечения его поперечные сечения искривляются (депланируют). Это обстоятельство значительно усложняет задачу определения напряжений и деформаций, так как не позволяет принять гипотезу плоских сечений. В то же время нет возможности ввести обоснованные допущения о характере распределения напряжений по сечению, как это удается сделать для тонкостенных брусьев замкнутого контура. Поэтому задачи кручения брусьев некруглых сечений могут бы решены только методами теории упругости. Интересно отметить, что принятие гипотезы плоских сечений для брусьев некруглого сечения привело бы к результатам, прямо противоположным действительным. Согласно этой гипотезе, точки наиболее удаленные от центра сечения, имеют наибольшие перемещения и, следовательно, в них должны действовать наибольшие напряжения. Например, в брусе прямоугольного сечения τmax должны были бы возникнуть в угловых точках. Но легко показал, что на самом деле именно в этих точках касательные напряжения равны нулю. Действительно, если бы на площадке поперечного сечения в угловой точке действовало напряжение (рис. 7.14), то его можно было бы всегда разложить на составляющие, направленные вдоль сторон прямоугольника. Каждая из этих составляющих должна быть равна нулю, так как парные им напряжения на свободной от продольной касательной нагрузки боковой поверхности бруса равны нулю. Следовательно, и напряжение τ =0.
Рис. 7.14.
Рис. 7.15. Решение задачи о кручении бруса прямоугольного сечения полученное в теории упругости Сен-Венаном, показывает, что касательные напряжения в контурных точках сечения возрастают от нулевых значений в углах к серединам сторон по некоторым кривым (рис. 7.15); в центре сечения напряжение равно нулю, а максимального значения напряжения достигают в серединах длинных сторон, причем
Наибольшее напряжение на короткой стороне прямоугольника
Угол закручивания определяется по формуле
где
В этих формулах b - длина короткой стороны; h - длинной сторону прямоугольника; α, β, γ - числовые коэффициенты, зависящие от соотношения сторон h и b. Значения этих коэффициентов приведены в таблице 7.1. Характер изменения касательных напряжений по различным направлениям внутри прямоугольного сечения показан на рис. 7.15. Потенциальная энергия деформации при кручении Потенциальная энергия деформации при кручении определяется подобно тому, как это делалось при растяжении и сдвиге. Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге определяется из уравнении (3.44):
Потенциальная энергия деформации U определится из уравнения (7.13) путем интегрирования по объему:
При этом учитывалось, что
Анализ напряженного состояния при сдвиге Если по граням элемента действуют только касательные напряжения (рис. 5.4), то такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Напряженное состояния при чистом сдвиге можно исследовать с помощью формул (3.25), (3.27), полагая в них равными нулю нормальные напряжения σ11=σx=σ22=σy =0, а σ12= τ =Q/F. Из уравнения (3.25) становится очевидным, что при чистом сдвиге главные напряжения получаются равными по значению и противоположными по знаку:
то есть одно главное напряжение растягивающее, другое – сжимающее (рис. 5.4). Анализ показывает, что при чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние. Из формулы (3.27) следует, что главные площадки наклонены под углом 45о к направлению площадок чистого сдвига (tg2αo =∞).
Рис. 5.4. Напряженное состояние при сдвиге На рис. 5.4. построен также круг Мора для случая чистого сдвига.
Длительная прочность Для оценки прочности деталей, длительное время находящихся в нагруженном состоянии в условиях повышенных температур, вводится понятие предела длительной прочности. Пределом длительной прочности называется напряжение, подсчитанное по первоначальной площади сечения образца, при котором происходит разрушение образца при данной температуре через заранее заданный промежуток времени. Этот промежуток времени называется базой испытания. База испытания назначается исходя из срока службы детали, и колеблется от нескольких часов до нескольких лет. Металлы, применяемые в авиационных двигателях и конструкциях, подвергаются обычно кратковременным испытаниям на базе порядка 100 – 200 ч. Предел длительной прочности на базе 100 ч обозначается через σ100. С увеличением температуры и базы испытания предел длительной прочности, естественно, уменьшается.
Рис. 4.16 Кривая ползучести
Главные оси и главные моменты инерции Из формул (6.29) - (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями, а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2. Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции. Предположим, что оси u и v главные. Тогда
Отсюда
Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:
отсюда
К тому же результату приводит и условие dIv / dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений. Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:
Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1, а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения. Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz =0), а Iy = Iz. Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv =0, а осевые Iu=Iv. Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения. Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.
На рисунке 6.1 изображено произвольное сечение F, отнесенное к некоторой системе координат (y, z), где
Площадь F, ограниченная произвольной кривой, определяется по формуле:
Статические моменты площади F относительно осей y и z определяются по формулам:
Размерность статического момента сечения - [м3]. Если известна величина площади F и координаты ее центра тяжести, то Sy, Sz определяются по формулам:
Отсюда, если известна площадь и статические моменты, то координаты центра тяжести площади F определяются по формулам:
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю. Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси. Осевые моменты инерции площади F определяются по формулам:
Рис. 6.1. Центробежный момент инерции площади F определяется по формуле:
Полярный момент инерции (относительно начала координат) площади F определяется по формуле:
Так как
Размерность моментов инерции - [м4]. Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции. Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей y и z определяются по формулам:
Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты y и z входят в его выражение в первых степенях. Из самого смысла выражений для статических моментов и моментов инерции следует, что моменты инерции и статические моменты фигуры относительно каких-либо осей равны суммам соответствующих моментов всех ее частей относительно тех же осей. Это свойство будет использоваться в дальнейшем при расчете сложных сечений, которые можно разбивать на простые фигуры. Моменты инерции и статические моменты сечения зависят от формы и размеров сечения, а также и от расположения осей координат. Какого-либо геометрического смысла эти величины не имеют. Поэтому формулы (6.1) (6.9) надо рассматривать и как определения этих геометрических характеристик. Названия им даны по формальной аналогии с динамическими моментами инерции тела и моментами сил.
  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
.
,
, 
.
.
.
. В брусе постоянной жесткости GIp при действии постоянного по длине крутящего момента, имеем
.
,
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
:
.
.