Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ





МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

––––––––––––––

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

––––––––––––––––––––––

Кафедра “Персональные компьютеры и сети”

_______________________________________________

 

А.Н. Дорошенко, В.Н. Федоров

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Учебное пособие

 

Москва

 

 

УДК: 519.21(075.8)

 

Моделирование случайных величин/ А.Н. Дорошенко, В.Н. Федоров

– М.: МГАПИ, 2003.– 32 с.

 

ISBN 5-8068-2

 

Рекомендовано Ученым Советом МГАПИ в качестве учебного пособия для специальности 2201.

 

Рецензенты: канд. техн. наук профессор Ладыгин И.И.

канд. техн. наук профессор Рощин А.В.

 

 

Рассмотрены методы генерирования на ЭВМ случайных величин с различными законами распределения и оценки качества полученных распределений. Может быть использовано при выполнении лабораторных и учебно-исследовательских работ, курсовых и дипломных проектов.

Предназначено для студентов специальности 22.03.

___________________

 

ISBN 5-8068-2

 

Ó Дорошенко,

Федоров, 2003

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. моделирование непрерывных распределений.. 4

1.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. 5

1.2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.. 8

1.3. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 8

1.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.. 9

1.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.. 10

1.6. гамма – распределение.. 11

1.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА.. 11

1.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ хи–квадрат. 12

1.9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА.. 13

1.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА.. 14

1.11. БЕТА–РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.. 14

1.12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА.. 15

1.13. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ.. 15

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.. 17



2.1. Распределение Пуассона.. 17

2.2. Геометрическое распределение.. 18

2.3. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.. 19

2.4. распределение Паскаля.. 19

2.5. Биномиальное распределение.. 19

2.6. БЕСПОВТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА.. 20

3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ГЕНЕРИРУЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ.. 22

3.1. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА.. 22

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ НОРМИРОВАННОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ 22

3.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ГЕНЕРИРУЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПО БЛИЗОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ЗНАЧЕНИЯМ 24

3.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ГЕНЕРИРУЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПО БЛИЗОСТИ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ.. 26

4. ЗАДАНИЕ для самостоятельной РАБОТЫ... 28

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ... 30

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 31


ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность распределения вероятностей этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Для получения случайных величин xi, имеющих экспоненциальное распределение, воспользуемся непосредственным решением уравнения (1), в котором нижний предел интегрирования заменен на 0, так как этот закон справедлив только при х>0

.

После интегрирования получим

.

Решая это уравнение относительно xi и, учитывая, что распределения и эквивалентны, будем иметь

.

Алгоритм моделирования экспоненциального распределения сводится к вычислениям согласно данной формулы.

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

При решении практических задач часто приходится оперировать со случайными величинами, минимальное значение которых ограничено некоторой постоянной величиной x=b. Такие величины применяются, например, для описания времени восстановления аппаратуры. Физически это означает, что во всех случаях для устранения неисправности требуется некоторое время .

Плотность вероятности этого распределения имеет вид (так называемая сдвинутая экспонента)

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Рассмотрим, как получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины с таким распределением.

Используем функциональное уравнение

.

После обычных преобразований получим рабочую формулу

.

Второе слагаемое в правой части формулы представляет собой случайную величину, подчиненную экспоненциальному распределению с параметром . Следовательно, формирование случайной величины со сдвинутым экспоненциальным распределением сводится к получению (любым способом) экспоненциально распределенной случайной величины и суммированию ее с константой b.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Воспользуемся центральной предельной теоремой Ляпунова из теории вероятностей. В простейшей форме сущность этой теоремы состоит в том, что

закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же произвольный закон распределения, при неограниченном увеличении числа слагаемых m приближается к нормальному.

В случае равномерно распределенных в интервале (a, b) независимых случайных чисел сумма m таких чисел стремится к нормальному распределению с математическим ожиданием

и дисперсией

.

Если а=0 и b=1, то

; .

Для получения последовательности нормально распределенных случайных чисел с заданными параметрами Mx, представим случайную величину х в виде суммы

, (6)

где zi – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mz=0, .

Рассмотрим, как получить случайную величину zi, располагая последовательностью равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел . Согласно центральной предельной теореме имеем

.

Отсюда

.

Подставив значение zi в (6), получим

.

Принимая m=12, находим

Гамма – распределение

Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

При целом – это распределение Эрланга (см. ниже).

При значения x получают следующим образом.

Пусть – значения независимой случайной равномерно распределенной на интервале (0, 1) величины.

Вычислим

Если то выбираем новую пару чисел , иначе определяем

.

Для произвольных

где [ ] – целая часть числа .

Кроме распределения Эрланга, частными случаями гамма–распределения являются (хи–квадрат) (при β=2 и значениях α, кратных 1/2) и экспоненциальное ( при ) распределения.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА

Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид

,

где k принимает только целочисленные значения (k=1, 2, …).

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Распределение Эрланга непосредственно связано с распределением Пуассона: если начать измерение времени в момент совершения n–го события, то случайная величина x является длительностью интервала между n–ым и n+k–ым событием пуассоновского процесса. Этот интервал равен сумме k подинтервалов, каждый из которых является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с интенсивностью .

Отсюда следует, что случайная величина х, имеющая распределение Эрланга k–го порядка, может быть получена в виде суммы k случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение,

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ хи–квадрат

Плотность распределения вероятностей этого закона описывается выражением

,

где n – число степеней свободы, Г(n/2) – гамма функция.

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Формирование распределения (хи–квадрат) на ЭВМ основано на предельной теореме:

Сумма квадратов n независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием m=0 и дисперсией имеет распределение с n степенями свободы.

Следовательно, процедура получения –распределения сводится к двукратному преобразованию:

· Из равномерного распределения формируется последовательность n независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами по формуле

· Производится суммирование квадратов, полученных случайных величин .

Величина

имеет –распределение с n степенями свободы.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

В математической статистике это распределение называется иногда распределением t с k степенями свободы, так как описывает случайную величину

, (10)

где Z и V – независимые случайные величины, причем Z распределена нормально с параметрами Mz = 0 и Dz = 1, а V подчиняется закону с k степенями свободы.

Плотность вероятностей величины t имеет вид

, (11)

где Г( ) – гамма функция.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t равны

То обстоятельство, что случайная величина t связана функциональной зависимостью (10) с другими случайными величинами, законы распределения которых известны, дает простой способ формирования распределения (11). Для этого необходимо:

· Получить реализацию нормально распределенной случайной величины Z с параметрами mz = 0, Dz = 1

.

· Сформировать реализацию случайной величины V, подчиненной –распределению:

.

· Выполнить вычисления согласно формуле (10).

Таким образом получаем

.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА

Это распределение широко используется в дисперсионном анализе. Оно описывает случайную величину

, (12)

которая функционально связана с двумя случайными величинами U и V, имеющими –распределения с k1 и k2 степенями свободы соответственно.

Плотность вероятности этого закона имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия для этого закона равны

Для реализации случайной величины x, подчиненной распределению Фишера, необходимо, очевидно, сформировать две случайные величины U и V, подчиненные –распределению с k1 и k2 степенями свободы, и воспользоваться формулой (12). Тогда получим

,

где zi – значения нормально распределенной случайной величины с .

БЕТА–РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность распределения вероятностей этого закона имеет вид

(13)

Математическое ожидание и дисперсия этого закона равны

Для случайной величины, имеющей бета–распределение, можно записать:

где – случайная величина, имеющая хи–квадрат распределение.

Так как

,

то для реализации случайной величины x, подчиненной распределению (13), необходимо сформировать две случайные величины, имеющие –распределение с m и m+n степенями свободы, а затем получить

.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Плотность вероятностей распределения Вейбулла имеет вид

,

где – масштабный параметр; k – параметр, определяющий асимметрию и эксцесс.

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Для получения этого распределения может быть непосредственно использовано соотношение

.

Нижний предел интегрирования равен 0, а не , так как область существования x ограничена .

Используя замену переменной, получаем

.

Отсюда

.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ

Распределение Релея является частным случаем рассмотренного выше распределения Вейбулла. Действительно, при и k = 2 получим

, (14)

где s – параметр распределения Релея.

Для получения случайных чисел, распределенных по закону (14), справедливо соотношение

.


Распределение Пуассона

Это распределение описывает поведение редких событий и широко применяется в теории массового обслуживания, в теории надежности и ряде других областей науки и техники. Оно задается рядом распределения

где – вероятность того, что случайная величина x примет значение m .

Для этого распределения справедливо

что используется обычно для предварительной проверки того, что случайная величина x подчиняется закону Пуассона.

Для этого закона неравенство (16) имеет вид

где

Распределение Паскаля

Это распределение задается рядом

Вероятность есть вероятность появления события в m–й раз после точно m+x–1 опытов при вероятности появления события в одном опыте равной p.

При m =1 распределение Паскаля сводится к геометрическому.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения равны

Значение x при заданном m определяется решением неравенства (16), где

Биномиальное распределение

Для этого распределения вероятность того, что в серии из n опытов событие A, имеющее вероятность появления в одном опыте p, произойдет ровно x раз, задается рядом

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны

Моделирование этого распределения сводится к получению последовательности целочисленных значений x при заданных p и n, которые определяются решением неравенства (16), где

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА

Поскольку генерирование случайных чисел базируется на равномерном распределении, то в первую очередь важно оценить качество генерирования случайных равномерно распределенных чисел в интервале (0,1).

Выбирая различные значения a, b, М и в формулах (4) и (5), можно получить последовательности чисел лучше или хуже приближающихся к случайной последовательности чисел, распределенной равномерно.

Оценку качества приближения обычно производят по известным в статистике критериям:

· Близости математического ожидания и дисперсии теоретического и полученного распределения;

· Близости теоретического и полученного распределения в целом, оцениваемой по критерию .

Наличие или отсутствие начального неслучайного участка можно определить на основе анализа нормированной автокорреляционной функции, описывающей взаимосвязь элементов статистической последовательности, так как для случайной последовательности эта функция близка к нулю.

Первые две проверки имеют смысл только для случайных совокупностей без начального неслучайного участка, поэтому проверку качества сгенерированной последовательности целесообразно начать с анализа нормированной автокорреляционной функции.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем заключается сущность теоремы, на которой базируется моделирование случайных чисел на ЭВМ?

2. Какие методы моделирования на ЭВМ случайных чисел с различными законами распределения вы знаете?

3. Приведите рекуррентные формулы генерирования случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале (0, 1).

4. Приведите формулу моделирования равномерного распределения на интервале (a, b).

5. Приведите формулу моделирования экспоненциального распределения.

6. Приведите формулу моделирования нормального распределения с параметрами Mx= 0, Dx= 1.

7. Приведите формулу моделирования распределения Эрланга.

8. Приведите формулу моделирования распределения .

9. Как определяется вероятность k–ого события?

10. Как определяется k–е событие, если его вероятность задана?

11. Почему можно применить односторонний предел в формуле (15)?

12. Приведите формулу распределения Пуассона.

13. В чем различие распределений Паскаля и биномиального?

14. Как генерируются бесповторные случайные числа?

15. Как проверить наличие начального неслучайного участка в программе генерирования случайных чисел? Как избавиться от его влияния?

16. Как определить период последовательности генерируемых чисел?

17. Какие критерии оценки близости распределения Вы знаете?

18. Приведите условия принятия гипотезы об эквивалентности математических ожиданий.

19. Приведите условия принятия гипотезы об эквивалентности дисперсий.

20. В чем заключается сущность критерия ?


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. – 296 с.

2. Айвазян С.А., Мешалкин Л.Д., Енюков И.С. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичной обработки данных. М.: Финансы и статистика, 1985. – 470 с.

3. Давидович М.И., Петрович М.Л. Статистическое оценивание и проверка гипотез. М.: Финансы и статистика, 1989. – 191 с.

4. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. –288 с.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. – 720 с.


 

Учебное издание

 

 

Дорошенко Александр Николаевич,

Федоров Валентин Николаевич

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

––––––––––––––

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

––––––––––––––––––––––

Кафедра “Персональные компьютеры и сети”

_______________________________________________

 

А.Н. Дорошенко, В.Н. Федоров

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.