ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако, исчислив среднюю арифметическую по данным вариационного ряда, мы еще ничего не знаем о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней. В этом отношении наблюдаются существенные различия. В одних случаях отдельные значения признака весьма близки к средней арифметической и мало чем от нее отличаются. В этом случае средняя хорошо представляет всю совокупность. В другом случае, наоборот, отдельные значения далеки от средней, и тогда средняя не будет представлять всю совокупность. Возьмем, например, средний уровень доходов населения. Он может быть исчислен как средняя арифметическая из доходов граждан какой-либо страны. Однако значение средней величины для стран, в которых нет резких различий в уровне доходов, буцет гораздо выше, чем для стран, в которых наблюдаются резкие различия.

Поэтому нельзя ограничиться вычислением одной средней величины. Надо изучать не только среднюю, но и отклонения от нее, потому что именно в отклонениях виден весь процесс явления в его диалектическом развитии. Отклонение в одну сторону от средней для некоторых показателей следует рассматривать как ростки нового, отклонения в противоположную сторону - как пережитки старого. Для вариационного ряда важно изучать степень сплоченности всех отдельных значений признака вокруг его среднего значения, степень разбросанности этих значений, степень колеблемости их. Для этого в теории статистики используются показатели вариации.

Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям вариации относятся: коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др. Относительные показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической (или медиане).

Вариационный размах. Вариационный размах (R) (или, как еще говорят, амплитуда колебаний) показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Размах рассчитывают как разность между наибольшим (хmax ) наименьшим (хmin) значениями варьирующего признака, т.е.:

Пример. Рассмотрим возраст студентов какого-нибудь вуза: самому молодому студенту - 17 лет, самому старшему - 25 лет. Разность составляет 8 лет.

Значение подобного рода величины необходимо в практической и хозяйственной деятельности, а также в научных исследованиях. Например, размах вариации применяется для контроля качества продукции при определении влияния систематически действующих причин на производственный процесс. Дня этого через определенные промежутки времени отбирают несколько деталей и проводят их измерение. Рассчитав по данным этих выборок показатели размаха вариации и сопоставив результаты вычислений, судят об устойчивости режима производственного процесса.

В учебной литературе по статистике обычно указывается, что размах имеет существенный недостаток. Его величина всецело зависит от крайних значений признака, и он не учитывает всех изменений варьирующего признака в пределах совокупности. Этот упрек в адрес размаха является не совсем верным. Какой же это недостаток, когда именно в этом заключается суть показателя.

Размах вариации для того и существует, чтобы измерять расстояние между крайними точками. Другое дело, что в изучении вариации нельзя ограничиться определением одного лишь ее размаха. Но это не исключает необходимости определения величины этого показателя, не умаляет его значения.

К действительным недостаткам размаха вариации можно отнести следующее: очень низкое и очень высокое значения признака по сравнению с основной массой его значений в совокупности могут быть обусловлены какими-либо сугубо случайными обстоятельствами, т.е. эти значения являются аномальными в совокупности. В этих случаях размах вариации даст искаженную амплитуду колебания признака против, так сказать, нормальных его размеров, так как в данную совокупность включены единицы другой совокупности с аналогичным признаком. Поэтому прежде чем определить величину размаха вариации, следует очистить совокупность от аномальных наблюдений. Например,

нельзя вычислять размах вариации заработков работников какого-либо частного предприятия, если наряду с заработками наемных работников в совокупность включен «заработок» владельца.

Итак, размах вариации - важный показатель колеблемости признака, но он не исчерпывает характеристику вариации.

Среднее линейное отклонение. Для анализа вариации необходим показатель, который бы отражал все колебания варьирующего признака и давал обобщенную его характеристику. Для многих варьирующих признаков возможно допущение, что при прочих равных условиях все единицы совокупности в соответствии с основными законами своего развития имеют одинаковую и при том вполне определенную величину в данных условиях места и времени. Вполне логично в качестве такой величины условно принять среднюю величину из всех значений признака, поскольку в ней более или менее погашаются случайные отклонения от закономерного развития явления, и средняя тем самым отражает типичный размер признака у данной однородной совокупности единиц. Но условия существования и развития отдельных единиц совокупности в определенной степени различны, что сказывается на различии значений признака. Средняя величина отражает эти средние условия.

Следовательно, средняя применяется в качестве своего рода центра тяжести, вокруг которого происходит колебание, рассеяние значений признака. При обобщении этих колебаний необходимо прибегать к методу средних величин - искать среднюю величину этих отклонений.

Такая средняя называется средним линейным отклонением (3). Эта величина вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант х и х (простая (формула 7.12) или взвешенная (формула 7.13), в зависимости от исходных условий):

ой' Поскольку сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, приходится все отклонения брать по модулю, на что указывают прямые скобки в числителе формул.

Пример. Покажем расчет среднего линейного отклонения по данным табл. 7.5.

Таблица 7.5 Обеспеченность населения города общей жилой площадью

Алгоритм расчета среднего линейного отклонения следующий:!

1. Найдем середину интервалов (х\) по исходным данным (гр^ фа А) и запишем в таблицу (графа 2).

2. Определим произведения значений середины интервалов (х[) на соответствующие им веса (^) (графа 3). В итоге получим 1 206. Рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной:

3. Для расчета линейного отклонения найдем абсолютные отклонения середины интервалов, принятых нами в качестве вариантов признака (х,) от средней величины (х) (графа 4).

4. Наконец, вычислим произведения отклонений \х'i-х\ на их веса (Л и подсчитаем сумму их произведений. Она равна 236,6. Результаты записываем в графу 5.

Делим эту сумму на сумму весов, чтобы получитьискомую величину 3:

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 9,694 кв. м. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя - типична.

Таким образом, среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности. Однако при его исчислении приходится допускать некорректные с точки зрения математики действия, нарушать законы алгебры. Математики и статистики искали иной способ оценки вариации для того, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Был найден очень простой выход - возвести все отклонения во вторую степень. Это столь простое решение привело в последующем к большим научным результатам. Оказалось, что обобщающие показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений, обладают замечательными свойствами; позднее на их основе были разработаны новые методы исследования, а также новые показатели количественной характеристики большого класса явлений. Полученную меру вариации назвали дисперсией и обозначили D или о².

Дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой дисперсии (формула 7.14) и взвешенной дисперсии (формула 7.15);

Расчет дисперсии может быть упрощен. В случае равных интервалов в вариационном ряду распределения используется способ отсчета от условного нуля (способ моментов). Для его понимания необходимо знать математические свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет величины дисперсии:

Значит, средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа.

3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в А-² раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз:

Значит, все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число:

4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины Л, в той или иной степени отличающейся от средней арифметической (х), то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической:

Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину - на квадрат разности средней и этой условно взятой величины, т.е. на (х-А)¹:

Значит, дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин, т.е. она имеет свойство минимальности.

В случае когда А приравнивается нулю и, следовательно, отклонения не вычисляются, формула принимает такой вид:

Значит, средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

На приведенных математических свойствах дисперсии основан Метод расчета дисперсии по способу моментов, или способу отсчета от условного нуля, который применялся при исчислении средней величины. Расчет производится по формуле

условный нуль, в качестве которого удобноиспользовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;

_ Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений, а вари-| анты признака выражены в первой степени. ;

Среднее квадратическое отклонение (<т). Среднее квадратичео| кое отклонение равно корню квадратному из дисперсии. Оно может! быть простым (формула 7.23) или взвешенным (формула 7.24).

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное от-' клонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Они выражаются в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. В зарубежной литературе этот показатель называется нормированным, или стандартизованным, отклонением.

По свойству мажорантности средних величин (см. глава 6) среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то между с и d существует взаимосвязь: ~а = 0,8о или ст = 1,25 ~а .

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе вариационных рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

• в пределах х ± 1о располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

• в пределах х ± Зо - 0,997, или 99,7% количества наблюдений. В действительности на практике почти не встречаются отклонения, которые превышают ±3ст. Отклонение 3(7 может считаться максимально возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

Пример. Рассмотрим расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения по данным табл. 7.6 о выпуске промышленной продукции фирмами отрасли.

Вычисление о² и а по несгруппированным данным

1. Определим среднюю величину по исходнымданным (графа 1) по формуле средней арифметической простой:

2. Найдем отклонения (^ - х) и запишем их в графе 2. Возведем отклонения во вторую степень и запишем в графе 3. Определим их сумму. Она равна 448.

3. Разделив эту сумму на число единиц совокупности, пол> дисперсию:

4. Извлечем из дисперсии корень второй степени ^/74,67 = 8,64 ] руб. и получим среднее квадратическое отклонение.

Степень вариации в данной совокупности невелика, таккак средняя величина равна 50 млн руб. Это говорит об однородности рассматриваемой нами совокупности.

Пример. Рассмотрим вычисление дисперсии и среднего квадра-тического отклонения по данным распределения сотрудников двух фирм по тарифному разряду (табл. 7.7).

Среднее квадратическое отклонение в фирме Б более чем в два раза превышает среднее квадратическое отклонение фирмы А. До сих пор говорилось о показателях вариации, выраженных в абсолютных

величинах. Но для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V). Коэффициент осцилляции (V.):

Наиболее часто в практических расчетах применяется показатели относительной вариации - коэффициент вариации. ;

Пример. По данным,привешенным в табл. 7.7,рассчитаем коэффициенты вариации:

На основе полученных коэффициентов можно сделать вывод,чтопо тарифному разряду совокупности рабочих фирмы А и фирмы Б являются однородными. Однако вариация колеблемости тарифного разряда в фирме Б несколько выше, чем вариация в фирме А.

Характеристика степени вариации ряда может быть определена также по формуле квартального отклонения (0, предложенной английским биологом и антропологом Ф. Гальтоном:

где б, и б, - соответственно 1 -я и 3-я квартили распределения (см. раздел 7.6).

Эта формула дает абсолютный квартильный показатель вариации. В симметричных или умеренно асимметричных распределениях 0 = 2/3о. Так как на квартальное отклонение не влияют отклонения всех значений признака, то его использование следует ограничить случаями, когда определение среднего квадратического отклонения затруднено или невозможно. В частности, этот показатель может быть рекомендован для рядов распределения с открытыми интервалами.

В целях сравнения вариации в различных рядах вычисляется относительный квартильный показатель вариации по формуле

ВАРИАЦИИ АЛЬТЕРНАТИВНОГО ПРИЗНАКА. ЭНТРОПИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В ряде случаев возникает необходимость в измерении дисперсии так называемых альтернативных признаков, тех, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Примером таких признаков являются: бракованная продукция, ученая степень преподавателя вуза, работа по полученной специальности и т.д. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении нуля у единицы, которая этим признаком не обладает, или единицы у той, которая данный признак имеет.

Пусть/? - доля единиц в совокупности, обладающих данным признаком (р = min); q - доля единиц, не обладающих данным признаком, причем р+ q = 1. Альтернативный признак принимает всего два значения - 0 и 1 с весами соответственно q и р. Исчислим среднее значение альтернативного признака по формуле средней арифметической:

Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на число, дополняющее эту долю до единицы. Корень квадратный из этого показателя, т.е. ^[pq, соответствует среднему квадратическому отклонению альтернативного признака. Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25 при/?= 0,5.

Показатели вариации альтернативных признаков широко используются в статистике, в частности, при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции, в ряде других случаев.

Пример. В трех партиях готовой продукции, представленной на контроль качества, была обнаружена годная и бракованная продукция (табл. 7.8).

Таблица 7.8 Продукция, представленная на контроль качества

Определим в целом для всех партий следующие показатели:

1) средний процент годной продукции и средний процент брака;

2) дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации годной продукции.

Произведем расчет данных показателей на нашем примере. Средний процент годной продукции в трех партиях равен:

Средний процент бракованной продукции составш»:

Среднее квадратическое отклонение удельного веса годной продукции;

Коэффициент вариации удельного веса годной продукции в общем выпуске продукции:

Обобщенной характеристикой различий внутри рада может служить энтропия распределения. Применительно к статистике энтропия - это мера неопределенности данных наблюдения, которая может иметь различные результаты. Энтропия зависит от числа градаций признака и от вероятности каждой из них. Энтропия показывает, имеется ли закономерность в концентрации отдельных градаций у наименьшего числа позиций или, напротив, заполненность распределения одинаковая. При этом сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице. Энтропия измеряется в битах.

Показатель энтропии Я, представляет собой отрицательную сумму произведения вероятностей различных значений случайной величины (р) на логарифмы (при основании два) этих вероятностей:

Если все варианты равновероятны, то энтропия максимальна. Если же все варианты,за исключением одного, равны нулю, то энтропия равна нулю.

Энтропияальтернативного признака (я =2) при равновероятном распределении (р = 0,5)равна единице:

Пример. Расчет энтропии распределения можно показать на выпуске продукции различных сортов на одном из предприятий точного машиностроения (табл. 7.9).

Таблица 7.9 Вероятность выпуска различных сортов продукции

где р - вероятность любого возможного состояния сложной системы.

Показатель энтропии позволяет также измерять количество информации. Чем больше информации о случайном событии, тем определеннее его состояние. Чем больше вероятность случайного события ^, тем меньше информации несет его осуществление. В случае р^= 1

Следовательно, данное испытание не содержит никакой информации. Аналогично и при/» =0.

Энтропия распределения интерпретируется как мера рассредоточенное™ вариантов случайной переменной по ее возможным значениям, или как мера неопределенности значения реализации. Неопределенность значений реализации случайной переменной предусматривает наличие некоторого наблюдателя, находящегося в том или ином отношении к источнику неопределенности. Очевидно, можно представить ситуацию, когда для двух наблюдений степени неопределенности результата одного и того же наблюдения со случайными исходами существенно различаются. Например, различны результаты голосования при экспертных опросах для наблюдателя - участника голосования и наблюдателя, не участвующего в голосовании.

В связи с тем что верхнего предела энтропия распределения не имеет, целесообразно вычислить наряду с абсолютной и относительную величину неопределенности.

Относительная энтропия определяется как отношение ее фактической величины к максимальной, т.е.

Это отношение изменяется от 0 до 1 и может быть интерпретировано. Чем меньше относительная энтропия, тем меньше неопределенность и выше однородность.

ВИДЫ ДИСПЕРСИЙ В СОВОКУПНОСТИ, РАЗДЕЛЕННОЙ НА ГРУППЫ. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ

Изучая вариацию по всей совокупности в целом и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака. Это можно сделать при помощи аналитической группировки, разделив изучаемую совокупность на однородные группы по признаку-фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: дисперсию общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия о² измеряет вариацию признакаво всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловившихэту вариацию:

Межгрупповая дисперсия (5²) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле

Внутригрупповая дисперсия (ст²) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

По совокупности в целом вариация значений признака подвлиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий (о²):

Между общей дисперсией о²₀ средней из внутригрупповых дисперсий сигма ср² и межгрупповой 5² дисперсией существует соотношение, определяемое правилам сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (г|²):

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (Т():

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если Т} = 0, то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если т) = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Пример. Рассмотрим правило сложения дисперсий. Имеются данные об объеме выполненных работ проектао-изыскательными организациями на предприятиях разных форм собственности (табл. 7.10).

1. Определим среднийобъем выполненных работ на предприятиях двух форм собственности:

2. Определим средние объемы выполненных работ по предприятиям каждой формы собственности:

3. Рассчитаем внутригрупповые и общую дисперсии:

4. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых и межгрупповую дис- Ц Персии по данным, представленным в табл. 7.11.

Таблица 7.11 Расчет о² и У по предприятиям двух форм собственности

5. Найдем общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

Сопоставив межгрупповую дисперсию с общей дисперсией, рассчитаем коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации показывает, что дисперсия объема выполненных работ зависит от формы собственности предприятия на 88,9%. Остальные 11^1% определяются множеством других неучтенных факторов.

Извлекая квадратный корень из коэффициента детерминации, определим эмпирическое корреляционное отношение:

Полученное значение эмпирического корреляционного отношения позволяет утверждать, что существует тесная связь между формой собственности предприятия и объемом выполненных проектно-изыскательных работ.

Для проверки существенности связи между группировочным признаком и вариацией исследуемого признака часто используется дисперсионное отношение F (критерий Фишера).

где V, и v, - число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом

Расчетное значения критерия Фишера (F ^) сравнивается с критическим (F ), которое определяется по таблице приложения 4 в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости. Если F>F, наличие связи доказано, так как проверяется нулевая гипотеза об отсутствии взаимосвязи признаков, т.е. об отсутствии влияния группировочного признака на исследуемый признак. В нашем примере F ^=24, а F =10,13 при уровне значимости 0,05, т.е. это говорит о наличии связи между объемом выполненных проектно-изыс-кательных работ и формой собственности предприятий.

Правило сложения дисперсий для доли признака. Рассмотренное правило сложения дисперсий распространяется и на дисперсии доли признака, т.е. доли единиц с определенным признаком в сово-

купности, разбитой на группы. При этом изучение вариации происходит непосредственно при вычислении и анализе видов дисперсий для доли признака.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

где р, - доля изучаемого признака в отдельных группах.

Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет следующий вид:

Формула межгрупповой дисперсии имеет следующий вид:

где я, - численность единиц в отдельных группах;

р - доля изучаемого признака во всей совокупности.

Доля признака в совокупности определяется по формуле средней арифметической взвешенной: •^?-.

Три вида рассмотренных дисперсий связаны между собой следующим образом:

Это соотношение дисперсий называется правилом сложения дисперсий доли признака.

Зная любые два вида дисперсий из трех, входящих в формулу (7.50), можно определить дисперсию третьего вида или проверить правильность ее расчета.

Пример. Имеются следующие данные удельного веса основных рабочих в трех цехах фирмы (табл. 7.12).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: