|
Обработка результатов прямых измерений
В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет). Случай 1. Число измерений меньше пяти. 1) По формуле (6) находится средний результат x, определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.
2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений
3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность
4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений
5) Записывают окончательный результат по следующей форме:
Случай 2. Число измерений свыше пяти. 1) По формуле (6) находится средний результат 2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений
3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения
4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).
5) Записывается окончательный результат по следующей форме
Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности
Оценка достоверности результатов измерений В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся. Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например, Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях. Пусть, например, произведено По формуле с учётом (7) вычисляют Затем для заданных значений n и
При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр
Таблица 2.Значение параметра и доверительной вероятности
Таблица 3Значение доверительной вероятности
Обработка результатов косвенных измерений Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Большей частью искомая величина является функцией нескольких других величин. Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин (аргументов), связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений. Существует несколько способов обработки косвенных измерений. Рассмотрим следующие два способа. Пусть по методу косвенных измерений определяется некоторая физическая величина. Результаты прямых измерений ее аргументов х, у, z приведены в табл. 4. Таблица 4
Первый способ обработки результатов заключается в следующем. С помощью расчетной (17) формулы вычисляют искомую величину по результатам каждого опыта
Далее обычным методом можно вычислить её наивероятнейшее — значение Описанный способ обработки результатов применим, в принципе, во всех без исключения случаях косвенных измерений. Однако наиболее целесообразно применять его тогда, когда число повторных измерений аргументов небольшое, а расчётная формула косвенно измеряемой величины сравнительно проста. При втором способе обработки результатов опытов вначале вычисляют, используя результаты прямых измерений (табл. 4), средние арифметические значения каждого из аргументов, а также погрешности их измерения. Подставив
и выполняют оценку результатов косвенных измерений величины. Второй способ обработки результатов применим лишь к таким косвенным измерениям, при которых истинные значения аргументов от измерения к измерению остаются постоянными. Погрешности косвенных измерений величины Если систематические погрешности измерений аргументов исключены, а случайные погрешности измерения этих аргументов не зависят друг от друга (некореллированы), то ошибка косвенного измерения величины
где Относительная погрешность вычисляется по формуле
В ряде случаев значительно проще (с точки зрения обработки результатов измерений) вычислить вначале относительную погрешность При этом формулы для вычисления относительной погрешности результата составляются в каждом отдельном случае в зависимости от того, каким образом искомая величина связана своими аргументами. Имеются таблицы формул относительных погрешностей для наиболее часто встречающихся видов (структуры) расчётных формул (табл. 5).
Таблица 5Определение относительной погрешности
Изучение нониусов Измерение длины производится с помощью масштабных линеек. Для увеличения точности измерения пользуются вспомогательными подвижными шкалами — нониусами. Например, если масштабная линейка разделена на миллиметры, т. е. цена одного деления линейки 1 мм, то с помощью нониуса можно повысить точность измерении по ней до одной десятой или более мм. Нониусы бывают линейными и круговыми. Разберем устройство линейного нониуса. На нониусе
Из рис. 3 видно, что искомая длина тела равна:
где k— целое число делений масштабной линейки; Обозначим через п — число делений нониуса, совпадающее с любым делением масштабной линейки. Следовательно: Таким образом, длина измеряемого тела равна целому числу k мм масштабной линейки плюс десятые доли числа миллиметров. Аналогично устроены и круговые нониусы. Нижняя шкала наиболее распространенного микрометра представляет собой обычную миллиметровую шкалу (рис. 4).
При отсчёте по микрометру необходимо учитывать целое число рисок верхней и нижней шкалы
Для того чтобы измерить длину предмета или диаметр отверстия штангенциркулем (рис. 3), следует поместить предмет между неподвижной и "подвижной ножками В микрометре для измерения длины предмет зажимают между упором Длину измеряемого предмета находят с помощью формулы (23), используя показания линейной шкалы
Порядок выполнения работы Задание 1. Измерение диаметра проволоки с помощью микрометра. 1. Измерьте не менее 7 раз диаметр проволоки в разных местах. Результаты занести в табл. 6.
Таблица 6
2. Определите границу допускаемой абсолютной ошибки микрометра 3. Вычислите среднее значение диаметра 4. Определите границу доверительного интервала для заданной доверительной вероятности Сравните приборную погрешность с доверительным интервалом. В окончательный результат запишите большее значение Задание 2. Определение объема цилиндра с помощью микрометра и штангенциркуля. 1. Измерьте не менее 7 раз диаметр цилиндра микрометром, а высоту штангенциркулем. Результаты измерений запишите в таблицу (табл. 7). Таблица 7
2. Определите объем цилиндра для каждого отдельного измерения
3. Определите 4. Определите доверительный интервал
5. Оцените границу абсолютной допускаемой ошибки микрометра и штангенциркуля 6. Вычислите относительную приборную ошибку для объёма цилиндра по формуле
где 7. Вычислите абсолютную приборную погрешность объема
8. Сравните абсолютную приборную погрешность и доверительный интервал. Если они одного порядка, то ошибка измерения объема
Если они отличаются хотя бы на порядок, то берется наибольшая ошибка. 9. Окончательный результат запишите в виде:
Примечание. При расчёте приборной ошибки по формуле (25) одновременно учитывается и ошибка, обусловленная округлением чисел, так как они подчиняются одному и тому же закону распределения.
Контрольные вопросы 1. Опишите известные Вам виды измерений. 2. Дайте определение систематической и случайной ошибкам. В чём состоит их основное различие? 3. Какие виды ошибок подчиняются равномерному распределению? 4. Опишите порядок обработки результатов прямых (косвенных) измерений. 5. Почему при измерении объема цилиндра Вам рекомендовалось диаметр измерять микрометром, а высоту — штангенциркулем? 6. Относительная ошибка измерения массы тела составляет 1%, а его скорости—2%. С какой относительной ошибкой можно по таким данным вычислить кинетическую энергию тела?
Лабораторная работа №2 ![]() ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|