Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Обработка результатов многократных измерений





Точечная оценка результатов измерений.В практике многократ­ных измерений наибольшее распространение получили точечные и интервальные оценки результатов измерений.

Оценку – числовой характеристики закона распределения случайной величины Xi изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оценкой. В отличие от числовых характерис­тик, оценки являются случайными величинами, значения кото­рых зависят от числа измерений.

Для производственных условий наиболее характерными явля­ются однократные измерения либо многократные измерения, при­чем количество многократных измерений одной и той же величи­ны невелико (n = 5–6 измерений).

Можно говорить лишь о точечной оценке результата измерения. Число измерений невелико, поэтому отделить случайную погреш­ность от систематической не представляется возможным. Посколь­ку измерения осуществляют, как правило, в нормальных услови­ях, то вероятность промахов можно считать достаточно малой.

Результат измерения или среднее значение неоднократно изме­ряемой величины (при n = 5–6 измерений) принимается в каче­стве истинного, а решение о годности размера выбирают исходя из условия, что результат измерения не выходит за предел некото­рой заранее заданной величины, например допуска на изготовле­ние. При этом предельная погрешность средства измерения ±Δlim не должна превышать допускаемой погрешности измерения δ, за­даваемой ГОСТ 8.051–81 в зависимости от допуска на измеряе­мую величину ±Δlim ≤ δ. К точечным оценкам предъявляются тре­бования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она приближается (сходится по вероятности) к значе­нию оцениваемого параметра, X → при n → ∞.



Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожи­дание равно оцениваемой величине, т.е. X = .

Оценка называется эффективной, когда её дисперсия является наименьшей S2 = min.

Из теории вероятностей известно, что среднее арифметическое значение измерений является несмещенной оценкой истинного значения, а СКО среднего арифметического значения – S – состоятельной и эффективной и определяется по формуле (2.4).

В этом случае точечная оценка результата измерения должна быть представлена в виде:

= …; S = …; n = …,

что позволяет сделать определенные, хотя и достаточно прибли­женные выводы о точности проведенных измерений.

Пример 3. При измерении размера вала Ø55u8 получены следующие результаты, мм:

X1 = 55,01; Х2 = 55,13; Х3 = 55,12; Х4 = 55,12; Х5 = 55,12.

Провести точную оценку результатов измерений:

мм;

мм.

Таким образом, результат измерений

= 55,12 мм; σ = 0,02 мм; n = 5.

Результат измерения представляем в форме: ± S = (55,12 ± 0,02) мм.

Интервальные оценки результатов наблюдений. Действительный размер – это размер, полученный в результате измерения с допу­стимой погрешностью измерения. Точечные оценки результатов измерения не позволяют в должной мере оценить достоверность измерения. Формулы (2.1) – (2.3) определяют статистические оцен­ки размеров, т.е. приближенные значения их истинных величин, имеющих место в действительности. Степень приближения истин­ных величин, или точность каждой из оценок, определяется поло­виной ширины построенного для нее доверительного интервала.

Доверительным интервалом параметра X основной совокупно­сти, т.е. совокупности всех возможных значений погрешности, называется интервал вида

где – математическое ожидание параметра X, определяемое по формуле (2.1);

S – СКО, определяемое по формуле (2.2);

n – число измерений; tβ – коэффициент, определяемый из таблиц рас­пределения Стьюдента при n ≤ 30 при заданной доверительной вероятности Р и k = n –1, называемым числом степеней свободы.

Результат измерений в этом случае записывается в виде:

при доверительной вероятности Р.

Значения доверительных интервалов увеличиваются с увеличением доверительной вероятности Р и уменьшаются с увеличением количества наблюдений.

Пример 4. В результате измерений вала, выполненного по Ø50b10 получены следующие результаты, мм:

X1 = 49,72; Х2 = 49,74; Х3 = 49,79; Х4 = 49,80; Х5 = 49,82.

Определить доверительный интервал результатов измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95.

мм;

мм;

tβ = 0,27 – при k = 4, Р = 0,95.

Граница доверительного интервала

мм.

Результат измерений записывают в виде:

± εβ = (49,78 ± 0,05) мм (при n = 5; Р = 0,95).

Это означает, что истинное значение измеряемого размера с вероятностью 0,95 находится в пределах от 49,73 до 49,83 мм при заданном числе измерений.

Методы проверки нормального закона распределения случайных величин. При статистической обработке результатов измерений осо­бую роль играет проверка соответствия распределения случайных величин нормальному закону, которому чаще всего подчиняются результаты большинства случайных измерений, что необходимо для обоснованного выбора доверительных границ результатов из­мерений и оценки точности измерений. В наибольшей степени этой цели соответствует критерий χ2 (критерий Пирсона).

При использовании критерия Пирсона количество измерений должно быть не менее 40.

Обычно принимается следующий порядок решения задачи.

1) Диапазон полученных результатов измерений делят на г ин­тервалов шириной ΔXj (i = 1, 2, ..., г).

2) Для каждого интервала подсчитывают частоты mi, равные количеству результатов, лежащих в каждом i-м интервале.

3) Определяют частость появления величин Рi* в каждом интервале:

Рi* = mi / n,

где n – общее количество измерений, индекс «*» означает статическую оценку.

4) Находят оценку средней плотности распределения рi* случай­ной величины Xi в каждом интервале Δ Xi:

,

где ni – количество измерений в i – м интервале.

5) Строят гистограмму распределения величины Xi откладывая по оси абсцисс результаты наблюдений в виде интервалов Δ Xi в порядке возрастания индекса i, а по оси ординат – оценку сред­ней плотности распределения рi, получая тем самым прямоуголь­ник с высотой рi*.

Естественно, что площадь всех построенных прямоугольников равна единице, поскольку в нее входят все 100 % наблюдений

.

При построении гистограммы число интервалов г выбирают в зависимости от числа измерений и исходя из соотношений: при n = 40...100 г = 7...9, а при n = 100...500 г = 8...12, а масштабы по осям гистограммы рекомендуется принимать такими, чтобы отно­шение ее высоты к основанию составляло 5:8.

6) Соединяя середины отрезков, получают полигон распределе­ния. Характер ломаной линии позволяет сделать предположение о виде распределения, что дает возможность с большей долей веро­ятности подобрать соответствующую кривую распределения.

Если СКО и математическое ожидание полигона распределе­ния близки к значениям СКО и математическому ожиданию кри­вой нормального распределения, то этот вид распределения мож­но положить в основу гипотезы о правомерности такого предполо­жения.

Поскольку предположение основано на результатах опытных данных случайных величин, оно должно быть подтверждено обыч­ными методами математической статистики по критериям согла­сия. При числе наблюдений более 40 рекомендуется принимать критерий согласия χ2 – Пирсона.

При этом возможны два вида ошибок: ошибка первого рода, со­стоящая в том, что в силу случайного характера результатов измерений отвергают верную гипотезу. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости q = 1 – α., где α – уровень доверительной вероятности, и выбирают в пределах 0,05…0,10.

Принимая неверную гипотезу, совершают ошибку второго рода, – qi, значение которой колеблется в пределах 0,95…0,9 соответственно. Физический смысл которой состоит в том, что принимают ошибочное решение о несоответствии распределения случайной величины Xi правильно выбранному теоретическому распределению.

Пример 5. При контроле размера Ø было сделано 100 из­мерений, причем все они оказались лежащими в диапазоне 8,911...8,927, т.е. зона разброса размера составляет 8,911 – 8,927 = 0,016 мм. В этом случае весь диапазон целесообразно распреде­лить на 8 интервалов равной длины через 0,002 мм.

Значения величин, полученных при вычислениях, представле­ны в виде табл. 2.5.

Таблица 2.5

Результаты расчётов

i x, мм xi+1, мм mi Pi* Pi*, мм-1
8,911 8,913 0,01
8,913 8,915 0,05
8,915 8,917 0,14
8,917 8,919 0,27
8,919 8,921 0,24
8,921 8,923 0,18
8,923 8,925 0,09
8,925 8,927 0,02

 

По результатам расчетов строим гистограмму и полигон рас­пределений.

Характер распределения позволяет высказать предположение о нормальном законе распределения, однако эта гипотеза должна быть проверена по критерию χ2 – Пирсона. С этой целью:

проводят группировку данных измерений аналогично ранее описанному принципу. Если в интервале оказывается менее 5 из­мерений, его объединяют с соседним;

определяют среднее арифметическое значение и оценку СКО S, которые принимают за параметры теоретического нормально­го распределения с плотностью вероятности РХ(Х);

находят вероятность попадания в интервал результатов измере­ний по формуле

,

где хi и хi+1 – результаты измерений в i-м и (i +1)-м интервалах;

вычисляют величину χi2 (i = 1, 2, …, r) для каждого интервала, затем меру расхождения χ2 при числе степеней свободы k = r – 3.

Задавая уровень значимости q = 1 – α, значения и находят по таблицам интегральной функции распределения χk2 (таблицы интегральной функции χ2 – распределения Пирсона, значения χ2х, Р для различных k и P).

Если расчётное значение оказывается в найденных пределах – распределение результатов измерений принимают нормальным.

Пример 6. Проверить на соответствие нормальному закону по­лученное распределение в предыдущем примере (табл. 2.5) и пред­ставленного гистограммой (рис.2.2). Статистические характерис­тики наблюдений:

= 8,91936 мм и S = 0,0028 мм.

Вычисления запишем в табл. 2.6. Плотности нормированного нормального распределения Р(ti) взяты из таблицы дифференци­альной функции нормированного нормального распределения, а число степеней свободы k = 8 – 2 –3 = 3, поскольку два первых и два последних интервала объединены в один (в пер­вом и последнем частота наблюдений mi < 5).

Задавая уровень значимости q = 0,10, находим по таблице ин­тегральной функции χ2

Поскольку соблюдается соотношение 0,352 < 1,1252 < 7,815, то опытное распределение можно считать нормальным.


 

 
 
Рисунок 2.2 – Полигон и гистограмма результатов измерений

 









ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.