Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Классическое определение вероятности





 

Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Событие – это такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти. События будем обозначать буквами , ,

Пример 6. Стрелок стреляет по мишени.

Тогда – «выстрел» – это испытание, а ={попадание} – это событие.

Если событие неизбежно произойдет при любых условиях, то оно называется достоверным. Если событие не может произойти при любых условиях, то его называют невозможным.

Если событие при реализации некоторых условий может произойти, а может не произойти, то оно называется случайным.

Сумма (объединение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении или , или , или и одновременно (хотя бы одного из них). Обозначается .

Произведение (совмещение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении и , и (оба наступают). Обозначается .

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Полной группой событий называется несколько попарно несовместных таких событий, что в результате испытания появится одно и только одно из этих событий (как правило, это всевозможные исходы испытания). Обозначается .

Пример 7. Бросают две монеты.

Тогда множество W состоит из трех событий – , , :

= {обе выпали орлом},

= {обе выпали решкой},

= {одна выпала орлом, а другая – решкой}.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Обозначают и .

Пример 8. Подбрасывают одну монету. Тогда = {выпал орел}, а

= {выпала решка}.

Замечание. Событие – достоверное событие, а событие – невозможное.



Для количественной оценки появления случайного события А вводится понятие вероятности.

Вероятностью события называют отношение числа благоприятных для исходов испытания к общему числу исходов. Если обозначить – число благоприятных для исходов, а – число всевозможных, то

(классическое определение вероятности).

Пример 9. Найти вероятность выпадения «герба» при одном бросании монеты.

Решение. (так как при одном бросании «герб» может выпасть только один раз), а (общее количество исходов испытания).

Значит, .

Ответ: 0,5.

 

Свойства вероятности:

1. Пусть – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению , т. е. , тогда .

2. – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. , тогда .

3. – случайное событие, , тогда , т. е. .

4. .

Замечание. Вероятности противоположных событий удобнее обозначать буквами и : , .

Пример 10. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть один черный шар?

Решение. Вообще один шар можно достать 12 способами Þ , а черный шар можно достать 4 способами . Тогда , где ={достали черный шар}.

Ответ: .

Пример 11. В урне 5 белых и 8 черных шаров. Вынули сразу два шара. Какова вероятность того, что оба они белые.

Решение.Число всевозможных исходов испытания равно

(взять 2 из 13),

а число благоприятных для события = {оба шара белые} равно

(взять 2 белых из 5 белых).

Тогда .

Ответ: .

Пример 12. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам отобраны 7 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц будут три женщины.

Решение. Число всевозможных исходов испытания равно:

    6 м 4 ж     4 м 3 ж
(выбрать 7 человек из 10);

а число благоприятных для А={из 7 отобранных 3

женщины} равно:

(выбрать трех женщин из четырех и четырех мужчин из

шести). Тогда .

Ответ: 0,5.

 

Теоремы сложения и умножения

Условная вероятность

Теорема 1 (сложения)

Если события и несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий: .

Теорема 2 (сложения)

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: .

Событие называется независимым от события , если появление события не зависит от появления события . В противном случае события называются зависимыми.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже произошло.

Теорема 3 (умножения)

Вероятность совместного появления двух событий и равна

(причем неважно, которое из событий считать первым, а которое – вторым).

Если события и независимы, то теорема умножения примет вид:

.

Аналогично теорема умножения распространяется на случай нескольких событий:

для зависимых: ,

для независимых: .

Пример 13. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения первым равна 0,8, а вторым – 0,7.

Решение. Обозначим: А={поражение первым орудием}, В={поражение вторым орудием}. Тогда = 0,8 × 0,7= 0,56 по теореме умножения для независимых событий.

Ответ: 0,56.

Пример 14. Два орудия произвели залп по цели. Вероятность поражения цели одним из них равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятность того, что цель была поражена только одним орудием.

Решение. По условию = 0,8 = 0,2; = 0,7 = 0,3.

Очевидно, что , где ={цель поражена только одним орудием}, ={цель поражена только первым}, ={цель поражена только вторым}. По теореме сложения для несовместных событий . Причем , a – по теореме умножения для независимых событий. Тогда = 0,8 × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,38.

Ответ: 0,38.

Пример 15. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула окажется:

1) только в одном справочнике;

2) только в двух справочниках;

3) во всех трех справочниках.

Решение.По условию ;

;

.

1. Пусть ={формула только в одном справочнике}, тогда

=0,6 × 0,3 × 0,2 + 0,4 × 0,7 × 0,2 + 0,4 × 0,3 × 0,8= = 0,188.

2. Пусть ={формула только в двух справочниках}, тогда =0,6 × 0,7 × 0,2+0,4 × 0,7 × 0,8 + 0,6 × 0,3 × 0,8 = =0,452.

3. Пусть ={формула во всех трех справочниках}, тогда

= 0,6 × 0,7 × 0,8 = 0,336.

Ответ: 1) 0,188; 2) 0,452; 3) 0,336.

Теорема 4 (вероятность появления хотя бы одного события).

Пусть известны вероятности появления каждого из независимых событий: , , …, , тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна , где .

Пример 16. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула окажется хотя бы в одном справочнике.

Решение.По условию ;

;

.

Пусть ={формула хотя бы в одном справочнике}, тогда

=1 – 0,4 × 0,3 × 0,2 = 0,976.

Ответ: 0,976.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.