Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Вычисление интеграла по методу левых прямоугольников





На отрезке [a, b] с заданной точностью eps методом левых прямоугольников вычислить интегралы двух функций:

 
 

 


Вычислить интеграл для заданной функции f(x) на заданном отрезке [a, b] – это значит вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой f(x) и осью х. Самый простой способ – метод левых прямоугольников – предполагает разбиение отрезка [a, b] на n отрезков длины h и вычисление требуемой площади фигуры как суммы площадей полученных прямоугольников f(xi)* h.

Вычисление интеграла предполагает последовательное выполнение действий:

1. вычисление суммы S1 площадей прямоугольников с шагом h;

2. вычисление суммы S2 площадей прямоугольников с шагом h/2;

3. если |S1 - S2| >= eps, то S1=S2; и переход на выполнение очередной итерации (выполнение п.2 с новым шагом); завершение вычислений – при |S1 - S2| < eps.

 

Мы представим весь процесс вычисления интеграла в виде последовательных вызовов функций:

функция main() обеспечивает: ввод-вывод данных и вызов функции двойного пересчета, которой в качестве параметров передаются границы отрезка интегрирования, требуемая точность вычисления интеграла, подынтегральная функция, две переменные (для вычисления значения интеграла и количества совершаемых для этого итераций);

Процедура вычисления интеграла по критерию двойного пересчета предполагает реализацию п.3. (см. выше алгоритм вычисления интеграла) и будет представлена в виде функции Vych_Int_lpram,которой передается набор соответствующих параметров, и которая имеет прототип:

void Vych_Int_lpram(double a, double b, double eps, double (*pf )(double), double*I, int *k);

 

Здесь a,b – отрезок интегрирования; eps – требуемая точность вычислений; pf – указатель-переменная на функцию заданной сигнатуры и возвращаемого значения; I и k – переменные, предназначенные для получения из функции результата (I – значение интеграла, k – количество итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности вычисления).



 

В свою очередь, функция Vych_Int_lpram вызывает функцию Sum, вычисляющую одноразово требуемую площадь по методу левых прямоугольников. При этом функции передается набор следующих параметров:

void Sum(double a, double b, double h, double (*pf) (double), double *S);

//прототип функции вычисления суммы по методу левых прямоугольников

Здесь a,b – отрезок интегрирования; h – шаг интегрирования; pf – указатель-переменная на функцию заданной сигнатуры и возвращаемого значения; S – переменная, предназначенная для получения из функции значения площади.

 

Чтобы вычислить значение подынтегральной функции f(x) в требуемой точке xi, функция Sum организует вызов подынтегральной функции, передавая ей в качестве параметра значение этой точки. Прототип подынтегральной функции выглядит так:
double f1 (double);

 

Запишем теперь текст программы:

//прототип функции вычисления интеграла по критерию двойного пересчета

void Vych_Int_lpram(double a, double b, double eps, double (*pf) (double), double *I, int *k);

//прототип функции вычисления суммы по методу левых прямоугольников

void Sum (double a, double b, double h, double (*pf) (double), double *S);

double f1 (double); //прототипы подынтегральных функций

double f2 (double);

 

int main ()

{ double a, b, eps; //отрезок интегрирования, точность

double Int; //переменная, в которой возвращается значение интеграла

int K_iter; //переменная, в которой возвращается количество итераций

 

cout << "Input a, b, eps\n";

cin >> a >> b >> eps;

 

Vych_Int_lpram(a, b, eps, &f1, &Int, &K_iter); //вычисление интеграла для f1

// или Vych_Int_lpram(a, b, eps, f1, &Int, &K_iter);

 

cout << "Integral for f1 =" << Int << " K_iter= "<< K_iter << endl;

 

Vych_Int_lpram(a, b, eps, &f2, &Int, &K_iter); //вычисление интеграла для f2

// или Vych_Int_lpram(a, b, eps, f2, &Int, &K_iter);

 

cout << "Integral for f2 =" << Int << " K_iter = " << K_iter << endl;

_getch();

return 0;

}

 

void Vych_Int_lpram(double a, double b, double eps, double (*pf) (double),
double *I, int *k)

{int n=20; //инициализация начального количества разбиений

double h=(b-a)/n; //определение шага интегрирования

double S1=0, S2=0; //переменные для значений сумм с шагом h и с шагом h/2

 

//вызов функции Sum1 c шагом h: в S1 возвращается сумма

Sum (a, b, h, (*pf), &S1); //вызов функции для запуска процесса двойного пересчета

//или Sum (a, b, h, pf, &S1);

*k=0;

do

{ S2= S1;

n *=2; //увеличение количества отрезков разбиения и

h=(b-a)/n; //уменьшение шага интегрирования в 2 раза

//вызов функции Sum1 с шагом h=h/2

Sum (a, b, h, pf, &S1); //повторное вычисление суммы в S1

//или Sum (a, b, h, (*pf), &S1);

*k +=1;

}while (fabs(S1-S2) > eps) ;

*I=S1;

}

 

void Sum(double a, double b, double h, double (*pf) (double), double *S)

{ double x, sum;

x=a;

sum=0;

while (x<b+h/2)

{

sum=sum+(*pf)(x); //накопление суммы высот

//или sum=sum+pf(x);

x=x+h;

}

*S=h*sum; //вычисление площади

}

 

double f1 (double x)

{return cos(x)/exp(0.333333*log(x));}

 

double f2 (double x)

{return cos(x*x*x)/sqrt(sqrt(x)); }

 

Если в функции main определить переменную типа «указатель на функцию», то вызов функций будет возможно организовать иначе.Для улучшения читаемости программы с помощью ключевого слова typedef зададим синоним для описания типа «указатель на функцию»:

typedef double (*pfunc) (double);//pfunc–синоним типа «указатель на функцию»

 

Тогда имеем:

typedef double (*pfunc) (double x); //pfunc – синоним типа «указатель на функцию»

//прототип функции вычисления интеграла по критерию двойного пересчета

void Vych_Int_lpram(double a,double b,double eps, pfunc pf,double *I,int *k);

//прототип функции вычисления суммы по методу левых прямоугольников

void Sum (double a, double b, double h, pfunc pf, double *S);

 

double f1 (double); //прототипы подынтегральных функций

double f2 (double);

 

Int main ()

{ double a, b, eps; //отрезок интегрирования, точность

double Int; //переменная, в которой возвращается значение интеграла

int K_iter; //переменная, в которой возвращается количество итераций

 

cout << "Input a, b, eps\n";

cin >> a >> b >> eps;

pfunc pf=f1; //определение указателя на функцию pf и его инициализация

//или pfunc pf=&f1;

 

Vych_Int_lpram(a, b, eps, (*pf), &Int, &K_iter); //вычисление интеграла для f1

// или Vych_Int_lpram(a, b, eps, pf, &Int, &K_iter);

 

cout << "Integral for f1 =" << Int << " K_iter= "<< K_iter << endl;

pf=f2; // присваивание указателю на функцию нового значения

//или pfunc pf=&f2;

 

Vych_Int_lpram(a, b, eps, (*pf), &Int, &K_iter); //вычисление интеграла для f2

//или Vych_Int_lpram(a, b, eps, pf, &Int, &K_iter);

 

cout << "Integral for f2 =" << Int << " K_iter = " << K_iter << endl;

_getch();

return 0;

}

 

void Vych_Int_lpram(double a,double b,double eps, pfunc pf, double *I,int *k)

{int n=20; //инициализация начального количества разбиений

double h=(b-a)/n; //определение шага интегрирования

double S1=0, S2=0; // переменные для значений сумм с шагом h и с шагом h/2

 

//вызов функции Sum1 c шагом h: в S1 возвращается сумма

Sum (a, b, h, (*pf), &S1); //вызов функции для запуска процесса двойного пересчета

//или Sum (a, b, h, pf, &S1);

*k=0;

do

{ S2= S1;

n *=2; //увеличение количества отрезков разбиения и

h=(b-a)/n; //уменьшение шага интегрирования в 2 раза

//вызов функции Sum1 с шагом h=h/2

Sum (a, b, h, (*pf), &S1); //повторное вычисление суммы в S1

//или Sum (a, b, h, pf, &S1);

*k +=1;

}while (fabs(S1-S2) > eps) ;

*I=S1;

}

 

void Sum(double a, double b, double h, pfunc pf, double *S)

{ double x, sum;

x=a;

sum=0;

while (x<b) {

sum=sum+(*pf)(x); //накопление суммы высот

//или sum=sum+pf(x);

x=x+h;

}

*S=h*sum; //вычисление площади

}

 

double f1 (double x)

{ return cos(x)/exp(0.333333*log(x));}

 

double f2 (double x)

{return cos(x*x*x)/sqrt(sqrt(x)); }

 

 

Как мы видим в рассмотренных случаях, в вызове функции Vych_Int_lpram всегда присутствует переменная pf, но содержит она разные функции.

 









Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.