Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Математическое приложение 1: Линейные конечно-разностные уравнения второго порядка30





Динамика объектов различной природы часто описывается уравнениями вида

 

xt = F(xt-1, xt-2, ¼, xt-n,t), (1)

 

связывающими состояние объекта xt в любой момент времени t с состояниями в предшествующие моменты времени. Решение уравнения (1) n-го порядка определено однозначно, если заданы n так называемых начальных условий. Обычно в качестве начальных условий рассматриваются значения xt при t = 0, 1,..., n – 1.

Подставляя начальные значения xn-1, ¼, x1, x0 и t = n в качестве аргументов функции в правой части (1), находим xn; используя найденное значение и подставляя теперь xn, xn-1, ¼, x2, x1 и t = n+1 в качестве аргументов функции, находим xn+1, и т.д. Процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут исчерпаны все представляющие интерес значения t.

В 9.2 используются конечно-разностные уравнения вида xt = a1xt-1 + a2xt-2 + f(t) – линейные конечно-разностные уравнения второго порядка, являющиеся частным видом уравнения (1). Они называются однородными, если f(t) = 0 при любых t, неоднородными – в противном случае. И для нахождения, и для исследования свойств решения однородного уравнения

 

xt = a1xt-1 + a2xt-2 (2 )

 

используется так называемое характеристическое уравнение

 

l2a1l – a2 = 0. (3)

 

Обозначим его корни l1, l2 и запишем

 

.

 

В теории конечно-разностных уравнений31 доказывается, что при l1 ¹ l2 решение уравнения (2) описывается равенством

 

, (4)

 

где A1 и A2 – постоянные, определяемые начальными условиями.

Если же l1 = l2 = l, то решение имеет вид

 

. (5)

 

Решение уравнения (2) зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения (3).

Рассмотрим возникающие при этом случаи.

1. D > 0. Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня. Решение описывается равенством (4); если оба корня положительны, то обе компоненты решения – монотонные геометрические прогрессии. Если имеются отрицательные корни, то каждому из них отвечает знакочередующаяся составляющая решения (4).



2. D = 0. Характеристическое уравнение имеет совпадающие вещественные корни, и решение имеет вид (5).

3. D < 0. Характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных корней: l1,2 = = a ± ib.

Равенство (4) при этом справедливо, но неудобно для использования, так как вещественный процесс при этом описывается как сумма комплексных составляющих. Более удобную форму решения можно получить, используя тригонометрическое представление корней: l1,2 = g(cosw ± ± sinw), где g= |l1| = |l 2| = ; tgw = b/a. Такое представление позволяет описать решение уравнения (2) равенством

 

, (6)

 

где B1 и B2 – постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1); если частота выражена в радианах, то период колебаний T = 2p/w.

На рисунке парабола AOB, описываемая уравнением , соответствует случаю D = = 0. Левее параболы располагается область, соответствующая случаю D > 0, правее – случаю D < 0.

Рисунок (к мат.прил.1)

Решение уравнения (2) называют равновесным, если значение xt не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (2) можно убедиться, что xt = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если xt ® 0 при t ® ¥; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (4) и (5) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как g = |l1| = |l 2|; при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a2 > – 1. По теореме Виета l1l 2 = -a2, так что условие a2 > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств

 

 

дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство |a1| < 2.

Систему можно заменить одним неравенством

 

или .

 

Последнему неравенству отвечают точки внутри угла ACB на рисунке.

Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства

 

–1 < a2 < 1–|a1|, (7)

 

которому соответствуют внутренние точки треугольника ACB.

Уравнение (9.2) имеет вид уравнения (2), при этом a1 = Cy + h; a2 = –h.

Заметим, что Cy ³ 0 и h ³ 0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета,

 

. (8)

Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид

.

При характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров Cy и h и равенств (8) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (4) изменяются монотонно. При решение носит колебательный характер.

Условие устойчивости (7) теперь принимает вид

 

–1 < – h < 1– (Cy + h),

 

т.е. представляет собой систему неравенств

 

 

На рис. 9.2 устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.

Моделям, рассмотренным в 9.1.2, соответствует однородное конечноразностное уравнение вида

,

 

где m = l для уравнения (9.8) и m = – h для уравнения (9.9). Вследствие этого парабола AOB смещается (см. рисунок, правая часть).

Обозначим . Тогда уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению (9.2):

 

.

 

Таким образом, все приведенные выше условия относительно параметров Cy и h переносятся на параметры и h*. Кривая, разделяющая области монотонного и колебательного решений, теперь описывается уравнением

 

.

 

Условие устойчивости принимает вид системы неравенств:

 

 

Графически при m > 0 это соответствует сдвигу всех построений на m единиц влево и на такую же величину вверх; значениям m < 0 соответствует сдвиг в противоположном направлении.

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.