Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Непрерывность функции в точке





 

Справочный материал

§ Если и , то - левосторонний предел функции в точке ; если и , то - правосторонний предел функции в точке .

§ Функция называется непрерывной в точке , если функция удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при ; 3) значение предела совпадает со значением функции в этой точке, т.е. . Если хотя бы одно из условий не выполняется, то - точка разрыва.

  • Элементарные функции непрерывны на своей области определения.
  • Если в точке функция имеет конечные равные односторонние пределы но значения пределов не равны значению функции в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Если в точке функция имеет конечные неравные односторонние пределы , причем значения не имеет, совпадает ли значение функции в точке с одним из этих пределов), то точка называется точкой разрыва с конечным скачком функции.

Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком функции называются точками разрыва первого рода.

Все другие точки разрыва функции называются точками разрыва второго рода. Каждая точка разрыва второго рода функции характеризуется тем, что в этой точке функция не имеет конечного предела, по крайней мере, с одной стороны, - слева или справа

Примеры

1.Исследовать непрерывность функции , найти точки разрыва, определить их характер.

Решение.

Область определения функции:

Функция элементарная, является непрерывной на своей области определения. Функция непрерывна при .

Точка х0 =2 – точка разрыва графика функции. Установим характер точки разрыва, для этого найдем односторонние пределы функции в этой точке:

;

.

Односторонние пределы бесконечны, х0 = 2 – точка разрыва второго рода.



 

2. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер и построить график функции.

Решение.

Функция задана тремя различными формулами на промежутках изменения аргумента (внутри каждого промежутка функция определена и непрерывна).

Исследуем непрерывность функции в точках: , .

Проверим точку :

1) ;

- функция определена в точке .

Найдем односторонние пределы в этой точке:

; .

В точке значение функции, левый и правый пределы совпадают, следовательно, функция непрерывна в этой точке.

2) Проверим точку :

;

; .

Односторонние пределы функции в точке конечны и не равны, следовательно,  точка разрыва первого рода, точка скачка графика функции.

 

 


Задания для самостоятельного решения

№1. Вычислить односторонние пределы

; ;

Ответы.1) 3; 2) -1;

№2. По графику функции y=f(x) определить точки разрыва, провести их классификацию.

 

 

y=f(x)

 

                   
   
   
 
 
   
   
 

y=f(x)

       
 
   
 


-2
-1

 

а) б)

 

 

№3. Исследовать непрерывность функции в указанной точке:

3)

№4. Исследовать непрерывность функции, найти точки разрыва, определить их характер.

1) ; 2)

№5.* Исследовать непрерывность функции , найти точки разрыва, определить их характер.

.

№6. Исследовать непрерывность функции и построить график:

1) 2)

 

3) 4)

 


№7. Исследовать непрерывность функции в указанных точках 2) , а – число букв имени, в – число букв фамилии.

№8. Исследовать непрерывность функции и построить график:

а – число букв имени, в – число букв фамилии.

Дифференцирование функции

Справочный материал

§ Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , если , при условии, что этот предел существует: .

§ Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

§ Правила дифференцирования:

u=u(x), v=v(x), w=w(x) - дифференцируемые на некотором числовом множестве функции.

§ Производная сложной функции:

Если y=f(u), u=u(x), т.е. y=f(u(x)), где f(u), u(x) – имеют производные, то .

§ Формулы дифференцирования основных элементарных функций

1) , С-const; , х – аргумент; ;

u– промежуточный аргумент:

2) = ; =

3) = ; = ;

4) = ; = ;

5) = ; 6) = ;

7) = ; 8) = ;

9) = ; 10) = ;

11) = ; 12) = .

Примеры

1. Найти производную функции в точке пользуясь определением производной.

Решение.

-приращение аргумента, - приращение функции.

 

=

=

2. Вычислить производные функций:

а) б)

Решение.

а) Применяем правило дифференцирования дроби: .

 

б)

Это сложная функция, ее производную найдем по формуле:

, где .

= = == = =

= =

= = .

3. Вычислить производную второго порядка функции .

Решение.

По правилу дифференцирования произведения: .

= .

Производную второго порядка найдем, применяя правила дифференцирования суммы и произведения:

.

4. Вычислить производную функции

Решение.

Прологарифмируем равенство по основанию : , тогда

Далее продифференцируем полученное равенство по переменной (левая часть представляет сложную функцию, правая - произведение). По таблице производных: .

.

 

=

 

Заменяя на выражение и умножив равенство

= на , получим

.

5. Найти производную функции , заданной неявно:

Решение.

Дифференцируем равенство по переменной х:

Вычисляем производную суммы и произведения.

;

;

Сгруппируем относительно и вынесем за скобки:

;

;

Выразим :

.

6. Найти производную функции, заданной параметрически:

 

Решение.

Найдем производную функции по формуле: .

Вычислим производные .

.

.

 

.

Задания для самостоятельного решения

 

№1. Вычислить производные функций, применяя формулы:

1) 2)

2. Вычислить производные функций и выбрать правильный ответ из предложенных:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Ответы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

№3. Найти производные указанных функций:

1)2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) ; 9)

10) 11) ; 12)

13) ; 14) ; 15) 16)

17) ; 18) ;

19)* ; 20)* .

№4. Найти производную функции: и вычислить .

№5. а) Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

б) Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

в) Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

№6. При каких значениях x выполняется условие если ?

№7. Вычислить если .

№8. Вычислить значение производной функции в точках, в которых значение этой функции равно 0.

№9.Вычислить производную функции, заданной неявно:

1) ;2)

№10. Найти производную показательно-степенной функции:

1) 2) ; 3)

(Замечание. Производную показательно-степенной функции можно также найти по формуле: )

№11.Вычислить производную функции, заданной параметрически:

№12. Вычислить производную второго порядка заданной функции.

1) ; 2) .

№13.* Доказать, что производная функции равна

Ответы.

№3. 4) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ;

20)

№4. .

№6. или .

№7. .

№8. .

№9. 1) ; 2) .

№10. 1) ; 2) ;

3) .

№11.

№12. 1) ; 2) .









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.