Кинематика поступательного и вращательного движения

1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X

,

где – некоторая функция времени.

2. Средняя скорость за промежуток времени Dt

<v_x> = ,

где Dx = x₂ - x₁; x₁ – положение точки в момент времени t₁; x₂– положение точки в момент t₂;Dt = t₂ - t₁.

3. Мгновенная скорость

v_x = .

4. Среднее ускорение

< a_x > = .

5. Мгновенное ускорение

.

6. Уравнение движения точки при вращательном движении твёрдого тела

j = j(t),

где j – угловое положение точки в момент времени t.

7. Среднее значение угловой скорости

<w> = ,

где – угол поворота твёрдого тела за время .

8. Мгновенное значение угловой скорости

.

9. Угловая скорость при равномерном движении по окружности

w = 2pn,

где n – число оборотов в секунду.

10. Среднее значение углового ускорения

,

где – изменение угловой скорости за промежуток времени .

11. Мгновенное значение углового ускорения

.

12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности

v = wR,

a_t = bR,

a_n = w²R,

где v – линейная скорость точки (направлена по касательной к окружности), a_t – тангенциальное ускорение (направлено по касательной), a_n – нормальное ускорение (направлено к центру окружности), R – радиус окружности.

Полное ускорение

.

Примеры решения задач

Задача 1

Уравнение движения материальной точки вдоль оси Х имеет вид Х = A + Bt + Ct³, где A = 2 м; В = 1 м/с; С = – 0,5 м/с³.

Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени 2с.

Дано:	Решение:
X = A + Bt + Ct3 A = 2 м В = 1 м/с С = – 0,5 м/с3 t = 2 c	Координату точки найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени, x = ( 2 + 1 × 2 – 0,5 × 23 ) м = 0. Так как требуется найти скорость и ускорение в определенный момент времени (t = 2 c), то это значит, нужно определить мгновенные величины и ax.
x - ? v - ? a - ?

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени

v_x = = B + 3Ct² .

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени

a_x = = 6Ct .

Произведя вычисления для момента времени t = 2 c, получим:

v_x = ( 1 – 3 × 0,5 × 2² ) м/с = – 5 м/с ,

а_x = 6 (– 0,5 ) × 2 м/с² = – 6 м/с² .

Задача 2

Диск радиусом 0,1 м, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорение 0,5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска через две секунды после начала вращения.

Дано:	Решение:
R = 0,1 м b = 0,5 рад/с2 t = 2с	Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражаются формулами at = bR, (1) an = w2R, (2) где w – угловая скорость тела, b – его угловое ускорение, R – радиус диска.
аt - ? an - ? a = ?

В условии задано угловое ускорение, которое определяется выражением

b = . (3)

Следовательно, угловая скорость равна

w = w₀+ bt, (4)

причем по условию начальная угловая скорость w₀ = 0. Учитывая соотношения (2) и (4), получаем формулу для нормального ускорения

a_n = w²R = b²t²R.

В момент времени t = 2 с нормальное ускорение

a_n = b²t²R = 0,5² × 2² × 0,1² = 0,1 м/с²,

тангенциальное ускорение

а_t = bR = 0,5 × 0,1 = 0,05 м/с²,

полное ускорение

м/с²

Динамика. Законы Ньютона

1. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью

= m

2. Второй закон Ньютона в общем случае

,

где – результирующая всех сил, приложенных к материальной точке.

3. Второй закон Ньютона в случае средней силы, действующей за время :

,

4. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть записан в виде:

.

5. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = - kx,

где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная деформация;

б) сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих материальных точек; r – расстояние между материальными точками;

в) сила трения скольжения

F = fN,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

Примеры решения задач

Задача 1

Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30^о под действием силы 7 кН. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью шоссе равен 0,1. Определить ускорение автомобиля.

Дано:	Решение:
m = 1 т = 103 кг = кН = Н f = 0,1	На автомобиль действуют сила тяжести , сила нормальной реакции шоссе , сила тяги , сила трения . По условию задачи вектор направлен вверх по наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
a = ?

.

Спроецируем обе части этого уравнения на выбранные направления осей Х и У (см. рис. 1).

. (1)

. (2)

Из уравнения (2) находим .

Учитывая, что , запишем уравнение (1) в виде:

,

откуда

. (3)

Подставив в формулу (3) числовые значения, получим:

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: