Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Основные законы и формулы. Примеры решения задач





4.2.1.Электростатика

1. Закон Кулона

,

где F – модуль силы взаимодействия точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между зарядами; e – относительная диэлектрическая проницаемость среды; e0 – электрическая постоянная (e0 = 8,85 Ф/м).

 

2. Напряженность и потенциал электростатического поля

,

где – сила, действующая на точечный положительный (пробный) заряд q, помещенный в данную точку поля; W – потенциальная энергия этого заряда.

3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

; ,

где – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

5. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен-ной плоскостью

Е =

где s – поверхностная плотность заряда (заряд единицы площади).

6. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряжен-ной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра),

Е =

где t – линейная плотность заряда, r – расстояние от нити или от оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность. Внутри цилиндра Е = 0.

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого металлической заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R)

; ;

б) вне сферы (r R)

; ,

где q – заряд сферы.

8. Связь потенциала с напряженностью в случае однородного поля

E = (j1 – j2)/d,

где d – расстояние между точками с потенциалами j1 и j2.

9. Работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки поля с потенциалом j1 в точку поля с потенциалом j2



A= q (j1 – j2).

10. Поток напряженности и электрического смещения (индукции) :

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

и – проекции векторов и на направление нормали ; – угол между векторами или и нормалью .

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное поле,

, .

Поток векторов и через любую замкнутую поверхность (теорема Гаусса):

; ,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S; m – число зарядов.

 

 

Электрическое поле рассматривается в вакууме.

11. Связь электрического смещения (индукции) с напряженностью в случае изотропных диэлектриков

.

12. Электроемкость

,

где j – потенциал уединённого проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U = (j1 – j2) – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

13. Электроемкость плоского конденсатора

где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; e – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

15. Электроемкость сферического конденсатора

где и – радиусы двух концентрических сфер; – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами.

16. Электроемкость цилиндрического конденсатора

где и – радиусы двух коаксиальных цилиндров; l - высота цилиндров; – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между цилиндрами.

 

 

17. Электроемкость параллельно и последовательно соединенных конденсаторов

; ,

где n – число конденсаторов в батарее.

18. Энергия заряженного конденсатора

19. Объемная плотность энергии электрического поля

Для однородного электрического поля w = W/V, где V – объем.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Два точечных заряда 2 нКл и –1 нКл находятся в воздухе на расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал электростатического поля в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 6 см и от второго заряда на 4 см.

Дано: Решение:
q1 = 2 нКл = 10-9 Кл q2 = –1 нКл = –10-9 Кл e = 1; 1/4pe0 = 109 м/Ф d = 5 см = 10-2 м r1 = 6 см = 10-2 м r2 = 4 см = 10-2 м Рис. 1
Е - ?j- ?
 

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Напряженность результирующего поля . Напряженности полей, создаваемых в воздухе (e = 1)зарядами q1 и q2:

E1 = , ( 1 )

 

E2= . ( 2 )

Направления векторов и указаны на рис.1. Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

E = ( cosa)1/2,

где a – угол между векторами и . Из рис. 1 видно, что b=p - a.Тогда cosb = - cosa.

Следовательно,

E = ( cosb)1/2 . ( 3 )

Из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов находим

cos b = ( r12 + r22 - d2)/(2r1r2). ( 4 )

Произведя вычисления по формулам (1), (2), (4), получим:

В/м,

В/м, cosb = .

При вычислении Е2 знак заряда q2 опущен, так как знак минус определяет направление вектора , а направление было учтено при его графическом изображении (cм. рис.1).

Напряженность результирующего поля будет равна

В/м.

По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов j1 и j2, т. е. j = j1 + j2 или

. ( 5 )

Произведя вычисления, получим:

В.

 

 

Задача 2

Тонкий прямой стержень длиной 10 см равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 1 нКл/см. На продолжении оси стержня, на расстоянии 20 см от ближайшего конца, находится точечный заряд 20 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.

Дано: Решение:
q1= 20 нКл = 10-8 Кл = 1нКл/см = 10-7 Кл/м l = 10 cм = 0,1м а = 20 см = 0,2 м     Рис. 2
F = ?

Так как заряженный стержень не является точечным зарядом, то закон Кулона непосредственно применить нельзя. Разобьём стержень на малые элементы и выделим на стержне (рис. 2) элемент с зарядом . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда по закону Кулона

,

Так как силы взаимодействия заряда и зарядов на разных элементах стержня направлены в одну сторону, то геометрическую сумму сил можно заменить алгебраической. Силу взаимодействия точечного заряда и стержня найдём интегрированием выражения (1):

.

Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений

.

Произведем вычисления с учётом того, что м/Ф:

Н.

 

Задача 3

Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. Определить работу сил поля по перемещению точечного заряда 25 нКл из точки, находящейся на расстоянии 1 см, в точку, находящуюся на расстоянии 3 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Дано: Решение:
R = 1 см = 10-2 м t =20 нКл/м = 10-8 Кл/м q = 25 нКл = -8 Кл a1 = 1 см = 10-2 м a2 = 3 см = 10-2 м Работа сил поля по перемещению заряда равна А = q(j1 – j2). Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, можно записать: Е = или .
А - ?

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов между двумя точками, отстоящими на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра,

, ( 1 )

где r1 = a1 + R, r2 = a2 + R.

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром,

. ( 2 )

Подставив (2) в (1), получим:

ln

или

ln . ( 3 )

Таким образом,

ln .

Проверим, дает ли расчетная формула единицу работы. Для этого в правую часть вместо символов величин подставим их единицы

Произведем вычисления с учетом того, что . Так как величины r2 и r1 входят в формулу (3) в виде отношения, их можно выразить в сантиметрах.

Таким образом,

А = ln = Дж.

Задача 4

Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью заряда 20 нКл/м. На расстоянии 40 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом 1 см. Определить поток вектора напряженности через площадку, если её плоскость составляет угол 30о с линией напряженности, проходящей через середину площадки.

Дано: Решение:
t = 20 нКл/м = 10-8 Кл/м a = 40 см = 0,4 м R = 1 см =10-2 м b = 30о     Рис. 3
NЕ - ?

Поле, создаваемое нитью (очень тонким цилиндром), является неоднородным, так как модуль напряженности изменяется от точки к точке:

. (1)

Поэтому поток вектора равен

cosadS,

где a – угол между векторами и (рис. 3). Так как линейные размеры площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (а>>R), то Е в пределах площадки меняется незначительно. Тогда

,

где S = pR2 .

Scosa = EpR2cosa. (2)

 

 

Из рис. 3 следует, что cosa = cos(p/2- b) = sinb.С учетом этого фор-мула (2) примет вид

sinb sinb.

Произведя вычисления с учетом того, что 1/2pe0= м/Ф, получим:

Задача 5

Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной 5 мм и эбонита толщиной 3 мм. Площадь каждой пластины 200 см2. Определить: а) напряженность поля, индукцию и падение потенциала в каждом слое; б) электроемкость конденсатора.

Дано: Решение:
U = 600 В (стекло) d1 = 5 мм = 10-3 м (эбонит) d2 = 3 мм = 10‑3 м S = 200 см2 = 10-2 м2 При переходе через границу раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора в обоих слоях диэлектриков имеет одинаковые значения D1n = D2n. В конденсаторе силовые линии вектора перпендикулярны к границе раздела диэлектриков, следовательно, D1n = D1 и D2n = D2. Поэтому D1= D2= D. ( 1 )  
Е - ? D - ? U 1 - ? U2- ? С - ?

Учитывая, что , и сокращая на e0, из равенства (1) получим:

e1E1 = e2Е2, ( 2 )

где Е1и E2 – напряженности поля в первом и во втором слоях диэлект­риков; e1 и e2 – диэлектрические проницаемости слоев.

Разность потенциалов между пластинами конденсатора, очевидно, рав­на сумме напряжений на слоях диэлектриков:

U = U1+ U2 . ( 3 )

В пределах каждого слоя поле однородное, поэтому U1= E1d1 и U2= Е2d2. С учетом этого равенство (3) примет вид

U = Е1 d1+ E2d2. ( 4 )

Решая совместно уравнения (2) и (4), получим:

, .

Произведя вычисления, получим:

 

;

;

 

; ;

 

Кл/м2.

 

Определим электроемкость конденсатора

С = q / U, ( 5 )

где q = sS – заряд каждой пластины конденсатора. Учитывая, что поверхностная плотность зарядов s на пластинах конденсатора численно равна модулю электрического смещения, т. е. s = D, получим:

.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу электроемкости. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений

.

Произведя вычисления, получим:

пФ.

4.2.2. Постоянный электрический ток

 

1. Сила и плотность постоянного тока

I=q/t, j=I/S,

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t; S – площадь поперечного сечения.

2. Закон Ома

а) (для участка цепи, не содержащего ЭДС),

где I – сила постоянного тока; j1–j2 = U – разность потенциалов на концах участка цепи; R – сопротивление участка цепи;

б) (для замкнутой цепи),

где – ЭДС источника тока; R – сопротивление внешней цепи; R0 – внутреннее сопротивление источника тока.

3. Сопротивление R и проводимость G однородного цилиндрического проводника постоянного диаметра

где r – удельное сопротивление проводника; g = 1/r – удельная электропроводность; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

4. Работа и мощность тока

A= IUt, P = IU.

5. Закон Джоуля-Ленца

,

для постоянного тока

Q = I2Rt,

где Q – количество теплоты, выделяющейся на участке цепи сопротивлением R за время t, когда по проводнику течет ток силой I.

7. Закон Ома в дифференциальной форме

,

где I/S – плотность тока в проводнике; – напряженность электрического поля в проводнике.

8. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

где w= удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяю-щейся в единице объема проводника за единицу времени).

 

Примеры решения задач

Задача 1

ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, 5 А. Определить максимальную мощность, которая может выделиться во внешней цепи.

Дано: Решение:
= 12 В Imax = 5 А По закону Ома для полной цепи , (1)
Pmax = ?

где R0 – внутреннее сопротивление аккумулятора; R – сопротивление внешней цепи (сопротивление нагрузки).

Максимальная сила тока будет при коротком замыкании (R = 0)

. (2)

Из формулы (2) находим внутреннее сопротивление:

. (3)

Мощность, которая выделяется во внешней цепи (полезная мощность),

P=I2R. (4)

C учетом закона Ома (1) получим:

(5)

Исследуя функцию (5) на максимум, найдем сопротивление нагрузки, при котором мощность максимальна:

. (6)

 

Из равенства (6) следует, что

R=R0. (7)

Подставив (7) в формулу (5), найдем выражение для максимальной мощности:

. (8)

C учетом формулы (3) получим:

.

Произведя вычисления, получим:

Вт.

 

Задача 2

Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно нарастает от 0 до 4 А в течение 2 с. Определить количество теплоты, выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.

Дано: Решение:
R = 20 Ом I1= 0 А, I2= t1 = 0, t2 = 2 c, t3= 1,5 c Согласно закону Джоуля-Ленца, тепловая мощность, выделяющаяся на сопротивлении R, равна Р = I2R . Количество тепла dQ, выделяющегося за время dt на сопротивлении R, равно
Q - ?

dQ = Pdt = I2Rdt . (1)

По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т. е. является линейной функцией времени

I = at + b . (2)

В начальный момент t1 = 0 ток I1 равен нулю, поэтому в уравнении (2) имеем b = 0. Таким образом,

I = at . (3)

Коэффициент "а" найдем из условия, что I2 = 4 А при t2= 2 с:

I2 = at2.

Откуда получаем

A/c.

Подставляя в формулу (1) выражение (3) и интегрируя по времени от 0 до t3, найдем количество выделившегося тепла:

. (4)

Подставляя в формулу (4) значения входящих в нее параметров, получим:

Дж.

 

 

Магнитостатика

 

1. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

,

где m – относительная магнитная проницаемость изотропной среды (в вакуумеm = 1); m0 – магнитная постоянная (m0 = 10-7 Гн/м).

2. Магнитная индукция в центре кругового витка с током

,

где R – радиус кругового витка; I – сила тока.

3. Магнитная индукция поля длинного прямого проводника с током

,

где r0 – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током, (рис. 4)

(cosa1- cosa2).

 
 

 

 


Рис. 4

 

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора обозначено точкой – это значит, что вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка "к нам".

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется индукция: cosa1 = -cosa2 = cosa. Тогда

B = cosa.

4. Магнитная индукция поля внутри длинного соленоида с током:

а) в центре соленоида В = mm0In,

б) на краю соленоида В = mm0In/2,

где n = N/l – число витков, приходящееся на единицу длины (N – число витков соленоида, l – длина соленоида).

5. Закон Ампера

или sina,

где a – угол между направлением тока в элементе проводника и вектором магнитной индукции .

В случае однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника длиной l модуль силы Ампера

F=IBl sina.

6. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из двух длинных прямолинейных параллельных проводов с токами I1 и I2,

F= ,

где d – расстояние между проводами.

7. Магнитный момент плоского контура с током

,

где – единичный вектор нормали к плоскости контура; I – сила тока, протекающего по контуру; S – площадь контура.

8. Вращающий момент, действующий на контур с током в однородном магнитном поле,

или sina,

где a – угол между векторами и .

9. Сила (сила Лоренца), действующая на движущийся заряд в магнитном поле,

или sina,

где – скорость заряженной частицы; a – угол между векторами и .

10. Магнитный поток:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

,

где ; – единичный вектор нормали к элементу поверхности dS; cosa – проекция вектора на направление нормали ; a – угол между вектором и нормалью ;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное магнитное поле,

.

11. Потокосцепление катушки индуктивности (полный магнитный поток)

,

где N – число витков катушки; Ф – магнитный поток через один виток.

Формула верна для соленоида и тороида, когда N витков плотно прилегают друг к другу.

12. Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле

А = IDФ = I(Ф2 - Ф1),

где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки через контур в начальном и конечном положениях.

Примеры решения задач

Задача 1

По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи силой 15 и 10 A. Расстояние между проводами 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А (рис.5), удаленной от первого провода на расстояние r1 = 10 см и от второго провода на расстояние r2 = 15 см.

Дано: Решение:  
I1 = 15 A I2 = 10 A m=1 d = 10 см r1 = 10 см = 0,1 м r2 = 15 см = 0,1 м    
А
Рис. 5

 
В - ?  
   

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей и , созданных каждым током в отдельности

= (1)

где B1=µµ0I1/(2pr1) и B2=µµ0I2/(2pr2). На рис. 5 проводники с токами I1 и I2 перпендикулярны плоскости чертежа (токи направлены от наблюдателя). Векторы и изображены на рисунке так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Векторы и в точке А направлены по касательной к силовым линиям.

Модуль вектора на основании теоремы косинусов равен

B= ( cosa )1/2, (2 )

где a – угол между векторами и . Из рис. 5 видно, что углы a и b равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из треугольника со сторонами r1, r2и d по теореме косинусов находим cosa:

cosa = .

Вычислим отдельно

Подставляя выражения для B1 и B2 в формулу (2) и вынося mm0/(2p) за знак корня, получаем

.

Произведем вычисления

 

Задача 2

Попроводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами 8 см и 12 см, течет ток силой 5 А. Определить магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Дано: Решение:  
a = 8 см = 10-2 м b = 12 см = 10-1 м I = 5 A; m= 1   Рис. 6  
B = ?  
   

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей

, (1)

где B1,B2, B3, B4 – магнитные индукции полей, создаваемых токами, протекающими по каждой стороне прямоугольника (рис. 6).

В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции направлены перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме того, из соображений симметрии следует, что B1 = B3 и B2 = B4 . Поэтому векторное равенство (1) заменим скалярным

B = 2B1 + 2B2, (2)

где B1 и B2 – индукции магнитных полей, создаваемых соответственно токами, текущими по проводникам со сторонами длиной b и а.

Используя формулу для магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током,

,

получим:

, . (3)

Из рис. 6 следует, что

и . (4)

Подставив формулы (3) и (4) в равенство (2), после алгебраических преобразований получим:

.

Проверим, дает ли расчетная формула единицу магнитной индукции. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений:

;

Тл мкТл.

 

Задача 3

Виток радиусом 3 см, по которому течёт ток силой 5 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90о вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается постоянной.

Дано: Решение:
R = 3 см = 10-2м I = 5 A = const B = 20 мТл = 10-2Тл a = На виток с током, помещённый в магнитное поле, действует вращающий момент , где – магнитный момент витка; – угол между векторами и .
A = ?

В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, и совпадают по направлению, т. е. и . Чтобы повернуть виток на некоторый угол , внешние силы должны совершить работу против момента сил Ампера, так как он стремится возвратить виток в исходное положение. Так как момент сил переменный и зависит от угла поворота , то

или .

Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

. (1)

Так как и , то

. (2)









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.