Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема множення ймовіріностей залежних подій





 

Нехай події і - залежні, причому відомі ймовірності появи події , а також появи події за умови, що подія вже відбулася, . Необхідно знайти ймовірність одночасної появи подій і , тобто ймовірність добутку цих подій .

Теорема. Ймовірність одночасної появи двох залежних подій і дорівнює добутку ймовірності появи однієї із них на умовну ймовірність другої, знайдену за умови, що перша подія вже відбулася, тобто

 

. (1)

 

Доведення дамо, виходячи з класичного означення ймовірності. Нехай - число всіх випадків, при яких може появитись випадкова подія , - число сприятливих для події випадків, - число випадків, які сприяють одночасній появі обох подій і , тоді

,

тобто

.

Аналогічно

.

Із останніх двох співвідношень маємо:

 

. (2)

 

Приклад 1. В урні 3 білих і 4 чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. Знайти ймовірність, що одна з кульок біла (подія ), а друга чорна (подія ), незалежно від порядку їх появи

Розв’язання розділимо на дві частини, як це зроблено у прикладі 1 параграфа 3.4.

1) Знайдемо ймовірність вибору спочатку чорної кульки (подія )

,

а тоді умовну ймовірність білої кульки, за умови, що чорна кулька появилась,

.

За теоремою

,

2) Знайдемо ймовірність появи білої кульки

,

а тоді умовну ймовірінсть чорної, за умови, що біла кулька появилась,

.

За теоремою

.

Оскільки за умовою задачі шукається ймовірінсть незалежно від порядку появи білої чи чорної кульок, далі застосовується теорема додавання несумісних подій, тобто

.

Зауважимо, що у процесі розв’язання ми отримали підтвердження формули (2), тобто

.

ІІ-й спосіб розв’язання прикладу 1. Розглянутий приклад можна розв’язати за допомогою комбінаторики. Із 7 кульок вибирається по дві, кількість виборів це число комбінацій із 7 по 2, тобто .

Сприятливих випадків буде . За класичним означенням ймовірності

.

Зауваження. Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість сумісної появи залежних подій

 

. (3)

 

Приклад 2. Є набір із 5-ти карточок, серед них дві з буквами а і по одній з буквами к, р і т. Знайти ймовірінсть того, що при випадковому виборі по одній букві можна буде викласти слово “карат”

Розв’язання. Спочатку вибираємо букву к, вона одна із п’яти карточок , потім з решти чотирьох карточок вибираємо букву а (їх дві), за умови, що буква к вже вибрана, тобто

.

Аналогічно

;

;

Відповідь. Ймовірність слова “карат” .

 

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Нагадаємо, що дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи другої при одному і тому ж випробуванні.

Наприклад, нехай подія - поява 5-ти очок при підкиданні грального кубика, подія - поява непарного числа очок, тоді події і - сумісні.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи цих подій без ймовірності їх сумісної появи, тобто

. (1)

Доведення. Оскільки події і сумісні, то подія наступить, якщо наступить хоча б одна із трьох несумісних подій , тобто , тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:

. (2)

Подія відбувається, якщо наступить одна із двох несумісних подій: або , тоді

.

Аналогічно подія наступить, якщо наступить одна з двох несумісних подій або , тоді

.

Підставляючи вирази для і у (2), отримаємо формулу (1).

Якщо ж події і незалежні, то із (1) маємо:

. (3)

Якщо ж події і - залежні, то із (1) отримаємо:

. (4)

Приклад. Ймовірність попадання в мішень для першого стрільця , для другого - . Стрільці роблять по одному вистрілу незалежно один від одного. Яка ймовірність, що будуть влучення в мішень?

Розв’язання. Нехай подія - влучення в мішень І-го стрільця, подія - ІІ-го стрільця, - подія, що означає влучення в міщень хоча б одним стрільцем, тоді за формулою (3) маємо:

.

Формула повної ймовірності

 

Нехай подія може наступити за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, причому відомі ймовірності появи кожної з них . Нехай також відомі ймовірності події за умови появи кожної із подій . Необхідно знайти ймовірність появи події .

Теорема. Ймовірність події , яка може відбутися лише за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, обчислюється за фомулою:

(1)

Формула (1) називається формулою повної ймовірності.

 

Доведення. Ймовірність події , яка може наступити, якщо з’явиться одна із несумісних подій , тобто настання означає здійснення однієї, байдуже якої із несумісних подій , або ж

.

Тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:

, (2)

а за теоремою множення ймовірностей залежних подій

.

Враховуючи (2) і останні співвідношення отримаємо формулу (1).

Події по відношенню до події називаються гіпотезами.

Приклад 1. На склад надходять однотипні деталі з трьох автоматів, причому перший автомат дає 20%, другий – 30%, третій – 50% всієї продукції за зміну. Серед продукції першого автомата може бути 0,2% браку, другого – 0,3%, третього – 0,1%. Знайти ймовірність, що навмання взята деталь буде бракованою.

Розв’язання. Позначимо через події “деталь відповідно виготовлена на першому, другому і третьому автоматах”. Їх ймовірності

 

Подію “бракована деталь” позначимо через . Згідно із змістом задачі відомі умовні ймовірності

За формулою (1) повної ймовірності маємо:

.

Приклад 2. Один цар, якому надоїв його провісник із своїми не завжди правдивими віщуваннями, вирішив його казнити, але будучи справедливим, вирішив дати провіснику останній шанс. Йому велено було розкласти по двох урнах чотири кульки, із яких дві чорні і дві білі. Кат вибирає наугад одну із урн і з неї навмання виймає кульку, якщо кулька чорна – стратять, біла – помилують. Яким чином провісник росподілив кульки в урнах, щоб забезбечити собі максимальну ймовірність на спасіння.

Розв’язання зрозуміло зі схеми

 
 

Вважається, що вибір кожної з урн – рівноможливий: . Умовна ймовірність появи білої кульки із першої урни , для другої - .

Нехай подія - “вийняти навмання з будь якої урни білу кульку”, тоді .

Отже, максимальний шанс на спасіння для просвісника - .

 


Задачі на повну ймовірність

1. У групі 20 плавців, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для плавця 0,9, для велосипедиста – 0,8 і для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність, що спортсмен, вибраний наугад, виконає кваліфікаційну норму.

2. Складальник отримує 3 коробки деталей виготовлених заводом №1, і 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена заводом №1, стандартна дорівнює 0,8, а заводом №2 – 0,9. Складальник наугад дістає деталь із наугад взятої коробки. Знайти ймовірність того, що деталь – стандартна.

3. У телевізійному ателье є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий наугад кінескоп витримає гарантійний термін служби.

4. В ящик, який містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а тоді наугад вийнята одна деталь. Знайти ймовірність того, що вийнята деталь стандартна, якщо рівноможливі всі можливі припущення про число стандартних деталей, які знаходяться в ящику напочатку.

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. .

 

Формула Бейєса

 

Нехай подія може наступити за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, тоді має місце формула (1) (див. 3. 7.). Припустимо, що подія вже відбулася, необхідно знайти умовні ймовірності здійснення подій . За теоремою множення залежних подій (див. 3.5, формула (2)), наприклад, для гіпотези маємо:

,

звідки

,

де обчислюється за формулою повної ймовірності (див. 3.7. формула (1)). У загальному вигляді для -тої гіпотези запишемо:

. (1)

Рівність (1) називається формулою перерахунку ймовірностей гіпотез або просто формулою Бейєса. Формула Бейєса показує, яку відносну частину складає ймовірність окремо взятого доданка у загальній сумі всіх доданків, які складають значення повної ймовірності всіх подій, тобто, якщо подія вже відбулася, то ми знаходимо ймовірність того, що це могло статися завдяки появі конкретної події .

Приклад 1. На склад поступають однотипні деталі із трьох автоматів, причому, за зміну 50% виробляє перший автомат, 30% - другий, і 20% - третій. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому автоматі 0,1%, на другому – 0,2%, на третьому – 0,05%. Взята навмання деталь виявилась бракованою. Знайти ймовірність, що бракована деталь виготоовлена 1) на першому автоматі; 2) на другому автоматі; 3) на третьому автоматі.

Розв’язання. Нехай подія - виявлення бракованої деталі, - події “деталь виготовлена відповідно на першому, другому, або на третьому автоматі”. Ймовірності цих подій за умовою задачі ; ; , умовні ймовірності події ; ; . Знайдемо повну ймовірність браку

 

.

 

Тепер за формулою Бейєса знаходимо ймовірність того, що бракована деталь виготовлена першим автоматом ,

другим автоматом ,

третім автоматом .

Порівнюючи ймовірності отриманих гіпотез, ми бачимо, що більшої уваги щодо покращення загальної якості продукції вимагає другий автомат.

 

Приклад 2. На полюванні двоє мисливців, зробивши по одному пострілу, одним влученням застрелили ведмедя. Ймовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,8, для другого – 0,7. За шкуру ведмедя була виручена сума 570 умовних одиниць. У яких розмірах мисливці повинні розділити виручену суму?

Розв’язання. Нехай подія - “ведмідь застрелений одним влученням”, події і влучення у ціль відповідно першим і другим мисливцями, і - їхні промахи. За умовою задачі ймовірності цих подій дорівнюють , , .

Подію можна виразити так:

,

Тоді ймовірність події

.

Знайдемо ще ймовірності гіпотез

і .

Тепер виручену суму 570 умовних одиниць потрібно розділити пропорціонально числам . Сума, яка належить першому мисливцю дорівнює (ум. од.), другому - (ум. од.)

Задачі на формулу Бейєса

1. При відхиленні від нормального режиму роботи автомата спрацьовує сигналізатор із ймовірністю 0,8, а сигналізатор спрацьовує із ймовірністю 1. Ймовірності того, що автомат обладнаний сигналізатором або відповідно дорівнюють 0,6 і 0,4. Поступив сигнал про розлад автомата. Знайти ймовірності: а) автомат обладнаний сингалізатором ; б) автомат обладнаний сигналізатором .

2. Для участі у спортивних студентських відбіркових змаганнях виділено з І групи курсу – 4, з ІІ-ої – 6, із ІІІ-ої – 5студентів. Ймовірність того, що студент І-ої, ІІ-ої, ІІІ-ої групи попаде у збірну університету, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Наугад вибраний студент попав у збірну. Знайти ймовірності що це студент: а) з І-ї групи; б) з ІІ-ї групи; в) з ІІІ-ї групи.

Відповіді. 1. а) ; б) . 2. а) ; б) ; в) .

 

Задачі до глави ІІІ

1. За допомогою 6 карточок складено слово “карета”. Карточки перемішали. Знайти ймовірність того, що за допомогою цих карточок випадково можна скласти слово “ракета”.

2. В урні міститься 6 чорних і 5 білих куль. Навмання виймаються 5 куль. Знайти ймовірність того. Що серед них будуть:

а) 3 білих кулі;

б) менше ніж 3 білих куль;

в) хоча б одна біла куля.

3. Два стрільці, для яких ймовірності влучення у мішень відповідно 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Знайти ймовірність одного влучення в мішень.

4. Із повного набору карт доміно навмання вибирають 2 карти. Знайти ймовірність того, що другу карту можна приєднати до першої.

5. У ящику знаходяться 15 тенісних м’ячів, з яких 9 нових. Для першої гри навмання беруть 3 м’ячі, які після гри знову повертаються у ящик. Для другої гри теж буруть 3 м’ячі. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, взяті для другої гри, нові.

6. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній один виріб – бракований. Виріб взятий із І партії і перекладений у другу, після чого вибирається виріб із другої партії. Визначити ймовірність вибору бракованого виробу із другої партії.

7. В групі, де навчається 20 дівчат і 10 юнаків, була проведена контрольна робота. За заявами студентів до контрольної не підготувались 4 дівчини і 3 юнаки. Випадково взята зашифрована робота виявилась невиконаною. Знайти ймовірність того, що це була робота юнака.

8. На склад може поступити протягом години замовлення від кожного з 4-х цехів із ймовірностями: 0,4; 0,6; 0,7 і 0,8 відповідно. Знайти ймовірность того, що із трьох можливих замовлень, які можуть поступити протягом години, буде відсутнє замовлення із 4-го цеху ( з причини складності його виконання).

9. Для здачі екзамена студентам необхідно підготувати 30 питань. Із 25 студентів 10 підготовили всі питання, 8 – 25 питань, 5 – 20 питань, 2 – по 15. Визваний відповідає на поставлене питання. Знайти ймовірність того, що цей студент а) підготовив всі питання б) підготовив тільки половину питань.

10. Допускається, що серед 100 мікросхем може бути з однаковою ймовірністю 0, 1, 2, 3 бракованих мікросхем. Серед 10 взятих наугад мікросхем всі виявилися доброякісними. Яка ймовірність, що всі 100 мікросхем виявилися доброякісними.

11. В області 30 комерційних банків із них 12 знаходяться в обласному центрі. Міністерством фінансів для перевірки ліквідності (здатності своєчасно виконувати свої боргові забов’язання) випадково відібрані 6 ощадбанків області. Знайти ймовірність того, що серед відібранних банків виявляться: а) 4 банки із обласного центру; б) хоча б один банк із центру?

12. На митницю поступило 10 упаковок , і можливо дві із них з контрабандним товаром. Яку мінімальну кількість упаковок потрібно розкрити, щоб із ймовірністю не менше 90% виявити контрабанду?

13. В автомагазині 20 автомобілів , причому 15 із них імпортні. Знайти ймовірність того, що серед 8 проданих протягом тижня автомобілів не менше 3 виявляться вітчизняними, припускаючи, що ймовірність реалізації різних марок однакова.

14. На підприємстві працюють 6 економістів, із яких 3 — вищої кваліфікації, і 4 бухгалтери, один із яких головний. На курси підвищення кваліфікації потрібно відрядити двох економістів і двох бухгалтерів. Яка ймовірність того, що в цій групі не буде головного бухгалтера і економістів вищої кваліфікації, якшо кожний із спеціалістів має рівні можливості поїхати у відрядження?

 

15. Дослідження показали, що курс валюти А зростає в 75% випадків, якщо курс валюти В зростає; в 30% випадків, якщо курс В снижується, і 45% випадків, якщо курс В не змінюється. Припускаючи, що всі три гіпотези про зміну курсу валюти В рівноможливі, оцінити ймовірності цих гіпотез, якщо курс А підвищився.

16. Ймовірність отримання прибутку на ринку цінних паперів в середньому на одну акцію складає 0,4. Скільки потрібно придбати акцій різних фірм, щоб із ймовірністю, не менше 95% очікувати прибутку хоча б по одній із них?

17. В торгову фірму поступили комп’ютери від трьох постачальників у відношенні 2:3:5. Дослідження показали, що комп’ютери, які не потребують ремонту протягом гарантійного терміну відповідно в 98, 95 і 92% випадків. Знайти ймовірність того, що комп’ютер, який поступив в торгову фірму, може потребувати ремонту протягом гарантійного терміну.

Відповіді. 1. . 2. а) ; б) ; в) . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. а) ; б) . 10. . 11. а) 0,127; б) 0,968. 12.7 . 13. 0,2076. 14. 0,3. 15. . 16. 6. 17. 0,059.

 

 







Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2023 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.