Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Методические указания к решению задач по определению положения центров тяжести однородных тел





Методические указания к решению задач по определению положения центров тяжести однородных тел

При решении задач на определение центра тяжести однородных тел сложной формы следует придерживаться следующего порядка:
1. Выбрать метод, который наиболее применим к данной задаче (метод разбиения или метод дополнения).
2. Разбить сложное тело на простые элементы, для которых центры тяжести известны.
3. Выбрать оси координат. При этом необходимо помнить, что: если тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит в этой плоскости; если тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии.
4. Определить координаты центров тяжести отдельных простых тел относительно выбранных осей.
5. Используя формулы, соответствующие выбранному методу, определить искомые координаты центра тяжести заданного тела.




 

Методы нахождения центра тяжести

Наиболее часто для нахождения центра тяжести тела или фигуры применяют следующие методы:

· метод симметрии;

· метод разбиения;

· метод отрицательных масс.

Рассмотрим приемы, применяемые в каждом из перечисленных методов.

***

Метод симметрии

Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси x и z лежали в плоскости симметрии (см. рисунок 1).

В этом случае каждой элементарной частице силой тяжести Gi с абсциссой yi = +a соответствует такая же элементарная частица с абсциссой yi = -a, тогда:

yC = Σ(Gixi)/ΣGi = 0.

Отсюда вывод: если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.



Аналогично можно доказать и следующие положения:

· Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

· Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела находится в точке их пересечения;

· Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

***

Метод разбиения

Этот метод заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют приведенные ранее формулы для определения общего центра тяжести тела.

Допустим, что мы разбили тело силой тяжести G на три части G', G'', G''', абсциссы центров тяжести этих частей x'C, x''C, x'''C известны.
Формула для определения абсциссы центра тяжести всего тела:

xC = Σ(Gixi)/ΣGi.

Перепишем ее в следующем виде:

xCΣGi = Σ(Gixi) или GxC = Σ(Gixi).

Последнее равенство запишем для каждой из трех частей тела отдельно:

G'x'C = Σ(G'x'i), G''x''C = Σ(G''ix''i), G'''x'''C = Σ(G'''ix'''i).

Сложив левые и правые части этих трех равенств, получим:

G'x'C + G''x''C + G'''x'''C = Σ(G'ix'i) + Σ(G''x''i) + Σ(G'''ix'''i) = Σ(Gixi).

Но правая часть последнего равенства представляет собой произведение GxC, так как

GxC = Σ(Gixi),

Следовательно, xC = (G'x'C + G''x''C + G'''x'''C)/G, что и требовалось доказать.
Аналогично определяются координаты центра тяжести на координатных осях y и z:


yC = (G'y'C + G''y''C + G'''y'''C)/G,
zC = (G'z'C + G''z''C + G'''z'''C)/G
.

Полученные формулы аналогичны формулам для определения координат цента тяжести, выведенные выше. Поэтому в исходные формулы можно подставлять не силы тяжести элементарных частиц Gi, а силы тяжести конечных частей; под координатами xi, yi, zi понимают координаты центров тяжести частей, на которые разбито тело.

***

Метод отрицательных масс

Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, считают сплошным, а массу свободных полостей – отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести тела при этом не меняется.

Таким образом, при определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но считать массу полостей отрицательной.

***

Теоретический материал.

Сила, с которой тела притягиваются к Земле, называется силой тяжести.

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли (рис.). Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Любое тело состоит из большого количества элементарных частиц.

Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (кольцо, цилиндр с отверстием).

Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил: ; ; ; где - координаты центра тяжести тела, – координаты частицы.

Очень часто приходится определять центры тяжести геометрических плоских фигур сложной формы. Координаты центра тяжести вычисляются по формулам: ; . Координаты центра тяжести обозначаются :

Для вычисления координат центра тяжести геометрических плоских фигур используются следующие методы:

1. метод симметрии:

· если однородное тело имеет ось симметрии , то центр тяжести лежит на оси симметрии;

· если однородное тело имеет две оси симметрии , то центр тяжести лежит в точке их пересечения;

· центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на минимальное количество простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Решение.

1. Выбираем оси координат, так как показано на рисунке.

2. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблицы необходимые данные:

1. – швеллер №10; высота h=100 мм; ширина b=46 мм; площадь сечения ;

2. - двутавр №16; высота h=160 мм; ширина b=81 мм; площадь сечения ;

3. – лист 5х100; толщина 5 мм; ширина 100 мм.

3. Вычисляем координаты центра тяжести каждой фигуры. Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата . Результаты вычислений заносим в таблицу

№ фигуры Площадь фигуры А, Координаты центра тяжести
Х, см У, см
=10,9

4. Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(0; 10)

Лабораторная работа №1

«Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Цель: Определить центр тяжести заданной плоской сложной фигуры опытным и аналитическим способами и сравнить их результаты.

Порядок выполнения работы

1. Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.

2. Определить центр тяжести аналитическим способом.

1. Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых, мы знаем, как определить.

2. Указать номера площадей и координаты центра тяжести каждой фигуры.

3. Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры.

4. Вычислить площадь каждой фигуры.

5. Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры):

;

1. Записать координаты центра тяжести.

2. Определить центр тяжести опытным путем на установке для определения координат центра тяжести.

1. Вырезать данную фигуру из тонкого картона.

2. Определить центр тяжести своей фигуры на установке.

Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (см. рис.), к которой прикреплена игла 2. Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие. Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга). Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести Сфигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

1. Приклеить фигуру с определенным центром тяжести в тетрадь.

2. Записать значения координат центра тяжести, найденных при подвешивании фигур:

2. Сравнить результаты: ;

3. Сделать вывод:

Задание для лабораторной работы. Номер схемы соответствует Вашему порядковому номеру в журнале.

 

Практическая работа №5

«Определение центра тяжести плоской фигуры».

Цель:Научиться определять координаты центра тяжести сечений, составленного из стандартных профилей.

Задание: Найти координаты центра тяжести сечений, составленного из стандартных профилей.

Вид профиля Варианты
  Схема 1
  Схема 2
  Схема 3
Двутавр №  
Швеллер №   6,5
Угловой профиль №   3,2 4/2,5 5/3,2 6,3/4 8/5

 

Методические указания к решению задач по определению положения центров тяжести однородных тел

При решении задач на определение центра тяжести однородных тел сложной формы следует придерживаться следующего порядка:
1. Выбрать метод, который наиболее применим к данной задаче (метод разбиения или метод дополнения).
2. Разбить сложное тело на простые элементы, для которых центры тяжести известны.
3. Выбрать оси координат. При этом необходимо помнить, что: если тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит в этой плоскости; если тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии.
4. Определить координаты центров тяжести отдельных простых тел относительно выбранных осей.
5. Используя формулы, соответствующие выбранному методу, определить искомые координаты центра тяжести заданного тела.




 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.