|
Этапы решения задачи на построение
Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности. 1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами. 2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения. 3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. 4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение). Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере. Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте h и одной из диагоналей d. Согласно условию, данными являются отрезки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис.). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется. 1. Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСD уже построен (рис.). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а, ВН = h, DВ=d.
Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АВ и DС лежат на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте h. Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллелограмма АВСD. Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры: 1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга. 2) На прямой МК откладываем отрезок АD = а. 3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ. 4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а. 5) Строим отрезки АВ и СD. 2. Построение. Все этапы алгоритма построения выполняем циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием заданных элементов (рис. 157). 3. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположные стороны АD и ВС параллельны, так как лежат на параллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению: АD = ВС = а. Значит, АВСD - параллелограмм, у которого АD = а, ВD = d, а высота равна h, так как расстояние между параллельными прямыми МК и РQ равно h (по построению). Следовательно, АВСD -искомый параллелограмм. 4. Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения. 1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h всегда можно построить, и притом единственным образом. 2) Построить отрезок АD = а на прямой МК также всегда можно, и притом единственным образом. 3) Окружность, проведенная из центра D радиусом d, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d ≥ h. Если d = h, то получится одна общая точка В, если же d > h, то две общие точки В и В'. 5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ≥ h. Если d = h, то задача имеет единственное решение, если же d > h, то два решения. Упражнения
1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно? 2. Даны отрезок р, два угла α и β. Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны α и β. 3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и в. 4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте: а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон; б) квадрат со стороной р; в) квадрат, диагональ которого задана. 5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой? 6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними. 7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте. 8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по: а) известным диагоналям; б) известной стороне и одному из углов при его вершине; в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; г) стороне и диагонали. 9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам. 10. По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения. ![]() ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|