Вращение вокруг оси, параллельной к плоскости проекций

Натуральную величину плоской фигуры можно определить вращением вокруг оси, параллельной плоскости проекций, одним поворотом приведя фигуру в положение, параллельное плоскости проекций.

На рисунке 8 показано определение истинной величины треугольника АВС вращением вокруг горизонтали.

При этом все точки треугольника (за исключением точек, лежащих на оси вращения) вращаются вокруг оси по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Треугольник займет положение, параллельное плоскости проекций π₁, радиусы вращения его точек окажутся параллельными этой плоскости, т.е. будут проецироваться на плоскость π₁ в натуральную величину.

В качестве оси вращения взята горизонталь СN. Точка С на оси вращения остается неподвижной. Для изображения горизонтальной проекции треугольника после поворота надо найти положение проекций двух вершин А и В. Эти вершины перемещаются в плоскостях β и γ , перпендикулярных к горизонтали СN.

Рис. 8

Горизонтальной проекцией О – центра вращения вершины А является О′ - точка пересечения горизонтальной проекции CN с горизонтальным следом плоскости β, по которой найдена фронтальная проекция – О''. Отрезки О'А' – горизонтальная, О''А'' – фронтальная проекция радиуса вращения точки А. Натуральная величина радиуса вращения точки А найдена способом прямоугольного треугольника. По катетам О'А' и А'А₀ (А'А₀ = А''2′′) построен треугольник О′А′А₀, гипотенуза которого равна радиусу вращения точки А.

От проекции О′ центра вращения точки А радиусом, равным О′А₀ (истинная величина радиуса вращения точки А), проводим дугу до пересечения с перпендикуляром, проведенным из вершины А к горизонтали CN, получаем горизонтальную проекцию А′₁, вершины А треугольника АВС, провернутого в положение, параллельное плоскости π₁.

Проекцию – В′₁ находим как и точку А′₁, которая получена в пересечении А′N′ со следом – h_оβ.

Горизонтальная проекция А₁В₁С₁ выражает натуральную величину ∆АВС.

Если требуется повернуть геометрическую фигуру до положения, параллельного к плоскости π₂ , то за ось вращения выбирают фронталь.

Поворот плоскости вокруг собственного следа (способ совмещения)

Если плоскость вращать вокруг её следа до совпадения с плоскостью проекций, в которой расположен этот след, то отрезки линий и фигуры, расположенные в плоскости, изобразятся без искажения. Это построение по своему содержанию аналогично повороту плоскости вокруг ее горизонтали или фронтали до параллельности соответствующей плоскости проекций, т.к. следы плоскости – это ее нулевая горизонталь и нулевая фронталь.

На рисунке 9 показан поворот фронтально-проецирующей плоскости α вокруг горизонтального следа до совмещения с плоскостью π₁. При этом треугольник АВС, лежащий в этой плоскости α, спроецируется на плоскость π₁ в натуральную величину.

Рис. 9

В данном примере при вращении горизонтальный след h_oα остается неподвижным, перемещается фронтальный след, а вместе с ним проекции А'', В'' и С'' вершин треугольника, расположенного в плоскости α.

Фронтальный след ƒ_oα перемещаясь в плоскости π₂ совместится с осью х. Вместе со следом перемещаются фронтальные проекции А'', В'' и С'', описывая при своем движении дуги, радиусами Х_αА'', Х_αВ'', Х_αС'' соответственно. А₁''В₁''С₁'' – фронтальная проекция ∆ АВС в совмещенном положении плоскости α с плоскостью π₁ будет расположена на оси х. При этом координата «у» вершин треугольника останется неизменной, поэтому из горизонтальных проекций вершин А, В и С проводят горизонтальные линии до пересечения с линиями связи опущенными из А₁'', В₁'' и С₁''. На пересечении этих линий получаются новые горизонтальные проекции точек А₁', В₁' и С₁'. Полученные проекции соединяют прямыми линиями, и, таким образом, получена истинная величина ∆АВС (∆А₁'В₁'С₁'= ∆АВС).

Нахождение совмещенного положения точки С, лежащей в плоскости общего положения β, с плоскостью π₁ показано на рисунке 10.

Рис. 10

Через точку С' проведена прямая, перпендикулярная к h_oβ. Радиус вращения М'N₀ найден как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет С'М', а другой С'N₀=С''Сх. Радиусом М'N₀ проводим из точки М' дугу и продолжаем ее до пересечения с проведенным перпендикуляром из точки С' к горизонтальному следу h_оβ и отмечаем здесь точку С₁' – это положение точки С в плоскости π₁.

На рисунке 11 показано построение совмещенного положения плоскости α с плоскостью π_1.

Рис. 11

На следе ƒ_оα выбрана произвольная точка – N (она совпадает со своей фронтальной проекцией –N''); через ее горизонтальную проекцию – N' проведена линия связи N'М', перпендикулярная к оси вращения –h_oα. На ней должна быть расположена точка N после совмещения с плоскостью π₁ на расстоянии Х_αN'' от точки Х_α. Поэтому из точки Х_α проводим дугу радиусом Х_αN'', получаем на прямой N'М' совмещенное с плоскостью π₁ положение точки N – точку N₁'. Проведя через точки Х_α и N₁' прямую, получим фронтальный след плоскости α в совмещенном с плоскостью π₁ положении, обозначим его – f₁''_оα.

На рисунке 12 показано нахождение истинной величины ∆АВС, лежащего в плоскости β общего положения методом совмещения.

Рис. 12

Плоскость β вращаясь вокруг горизонтального следа h_оβ совмещается с плоскостью π₁. На плоскость π₁ ∆АВС отразится в истинную величину.

С помощью точки N, взятой произвольно на фронтальном следе плоскости β, находится новое совмещенное с плоскостью π₁ положение этого следа – ƒ_1оβ. Затем строим фронтальные проекции горизонталей, проходящих через вершины треугольника, в совмещенном положении плоскости β с плоскостью π₁. Из горизонтальных проекций вершин треугольника, т.е. из точек А', В' и С' проводим перпендикулярно к h_оα линии до их пересечения с построенными фронтальными проекциями горизонталей. В пересечении получены точки А₁'', В₁'', С₁''. В итоге мы получили истинную величину ∆АВС (∆А₁''В₁''С₁''=∆АВС).

Контрольные вопросы

1. Что называют осью, центром, радиусом вращения?

2. В чем заключается сущность способа вращения?

3. В чем заключается способ плоскопараллельного перемещения?

4. Когда применяется способ совмещения?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №7

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: