Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Линейные операции над векторами





Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

 

Сложение векторов

При нахождении суммы векторов используются несколько внешне отличающихся способов: правила параллелограмма, треугольника и многоугольника.

3.1.1 Правило параллелограмма:

Пусть даны векторы и (рис. 2.а). Отложим оба этих вектора от произвольной точки О, = и и достроим треугольник ОАВ до параллелограмма ОАСВ. Суммой векторов и является вектор , соединяющий начальную точку векторов с противолежащей вершиной построенного параллелограмма;

A

 

 


3.1.2 Правило треугольника :

Пусть даны векторы и (рис.2.б). От произвольной точки О отложим вектор = , а затем из точки А отложим вектор = . Вектор = , соединяющий начало вектора с концом вектора , является суммой векторов и и обозначается + . Таким образом = + , или = + .

 

 


Рис. 2(б)
3.1.3 Для нахождения суммы трех и большего числа векторов применяют правило многоугольника: суммой несколь­ких векторов является вектор, по величине и направлению равный направленному отрезку, замыкающему пространственную ломаную линию, построенную на данных векторах, т. е. начало вектора суммы совпадает с началом первого вектора, а его конец - с концом последнего. На рис.3 изображен вектор = + + + + .

 
 

 

 


 

 

Свойства суммы векторов

3.1.4.1 Свойство коммутативности: + = + ;

3.1.4.2 Свойство ассоциативности: ( + )+ = +( + );

3.1.4.3 Свойство существования вектора, нейтрального от­носительно

операции сложения: + = .

       
 
   
 

 

 


Свойство коммутативности следует непосредственно из рис.4.а, а свойство ассоциативности - из рис.4.б. Для доказательства третьего свойства положим = и = , тогда по правилу треугольника получим + = + = = ;



3.1.4.4 Сумма векторов не зависит от способа построения. Суммы векторов, найденные по правилам параллелограмма, треугольника и многоугольника для одинаковых векторов дают совпадающие результаты.
3.2 Вычитание векторов

Опр.10Для вектора противоположным ему называется вектор . Вектор, про­тивоположный вектору , обозначается - . Из определения следует, что противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления (рис. 5).

Пусть = , тогда - = . Так как + = = , то +(- )= .

 

Опр.11 Разностью векторов и называется вектор

и обозначается .

 

Из определения - = +(- ) следует: чтобы вычесть из вектора

вектор ,нужно к вектору прибавить вектор - , противополож­ный

вектору (рис. 6).

 
 

 

 


Разность двух векторов, отложенных от одной точки, является вектором, соединяющим конечную точку вычитаемого (который вычитаем) с конечной точкой уменьшаемого (из которого вычитаем).

Из рис.7 видно, что если на векторах и , отложенных от одной точки, построить параллелограмм и провести его диагонали, то одна из его диагоналей равна сумме + ,а другая - разности - векторов.

Умножение вектора на число

Опр.12 Вектором , умноженным на число l, называется вектор, длина которого равна |l|×| | и направление совпадает с направлением вектора , если l>0, либо противоположно направлению вектора , если l<0. Умножение вектора на число l обозначается l× или l .

 

По определению l× = для любого l и 0× = для любого . Отметим, что векторыl× и коллинеарные и |l× |=|l|×| |.

На рис. 8 изображены векторы , 2 , и .

 
 

 


3.3.2 Свойства умножения вектора на число

3.3.2.1 Свойство ассоциативности относительно числовых множителей:

a×(b× )=(a×b)× ;

3.3.2.2 Свойство дистрибутивности векторного множителя относительно

операции сложения чисел: (a+b)× =a× +b× ;

3.3.2.3 Свойство дистрибутивности числового множителя относительно

операции сложения векторов: a×( + )= + .

 

Предлагаем читателю самостоятельно доказать эти свойства.

 

Вектор, длина которого равна единице, называется единичнымвектором.

Рассмотрим ненулевой вектор и единичный вектор °того же направления, что и вектор . Тогда из определе­ния умножения вектора на число следует, что =| °, откуда °= .

 

Таким образом, чтобы получить единичный вектор того же направления, что и данный вектор , нужно данный вектор умножить на число .

 

Пример 1

Для равностороннего треугольника АВС со стороной 2 построить вектор

и найти его модуль.

Решение:

Построение вектора по правилу многоугольника показано на рис.9, учитывая , , . В результате .

 
 

 


Нетрудно доказать, что треугольник EFK (К – пересечение прямых DE и FG) правильный и подобный треугольнику АВС (имеет два угла в 600 как и в треугольнике АВС, из ). Получили, что т.к. =1.

Пусть М – середина DK, тогда треугольник KMG равносторонний со стороной 1 (равный треугольнику EFK). В треугольнике DMG две стороны DM и MG совпадают и равны 1, угол между ними 1200 (дополняет угол в 600). Искомую сторону DG найдём как хорду окружности радиуса R=MD=MG=1, опирающуюся на центральный угол в 1200,

тогда искомый модуль вектора .

Пример 2

Для правильного пятиугольника ABCDE построить векторы

, , , .

 

 

Построение данных векторов показано на рис.10,

. Вектор по правилу многоугольника.

 

 
 

 

 

4 Базис векторного пространства

Опр.13 Линейной комбинацией векторов 1 , 2 , … , n называется

вектор вида (1) х1× 1+x2× 2++xn× n , где x1, x2, …, xn - числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

 

Например, для вектора можно говорить, что он представлен в виде линейной комбинации векторов и с коэффициентами х1=2 и х2= -3 . Можно сказать, что вектор разложен по векторам и .

 

Опр.14Векторы 1 , 2 , … , n называются линейно зависимыми, если найдутся коэффициенты, среди которых хотя бы один отличен от нуля, при которых линейная комбинация таких векторов является нулевым вектором т.е. х1× 1+x2× 2++xn× n =0 при .

Опр.15Векторы 1 , 2 , … , n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым вектором только при всех нулевых коэффициентах.

Утверждения:

Утв.1 Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из этих

векторов является линейной комбинацией других .

Пусть х1× 1+x2× 2++xn× n =0 при ,

тогда = - х1× 1 - x2× 2 -- xn× n , разделив равенство на

получим = y1× 1+y2× 2++yn× n ( где , ).

Вектор является линейной комбинацией других векторов;

Пусть вектор раскладывается по другим, =y1× 1+y2× 2++yn× n .

В линейную комбинацию векторов х1× 12× 2+…+ × ++ хn× n

подставим разложение вектора , получим

х1× 12× 2+…+ ×( y1× 1+y2× 2++yn× n )++ хn× n =

= (х1+ ×y1 1+(х2+ ×y2 2+…+ (хn+ ×yn n .

Потребовав одновременное равенство нулю коэффициентов при каждом из n-1 слагаемом, получим систему n-1 линейных уравнений от n переменных. Данная система имеет хотя бы одно нетривиальное решение – набор x1, x2, …, xn при . При таких коэффициентах линейная комбинация векторов нулевая (по построению).

Из определения следует, что в таком случае векторы линейно зависимы;


Утв.2 Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то такие векторы

линейно зависимы.

В этом случае достаточно взять коэффициент при нулевом векторе

равным 1 и все остальные коэффициенты нулевыми, чтобы линейная

комбинация векторов стала нулевой;

Утв.3 Любые два коллинеарных вектора и линейно зависимы.

В этом случае , их линейная комбинация , которая равна нулю при =0 . Достаточно взять х1=1 и х2= - , чтобы линейная комбинация обратилась в ноль (нулевой вектор).

Получили линейную зависимость векторов и ;

Утв.4 Три и более компланарных вектора линейно зависимы.

Если среди векторов есть хотя бы один нулевой либо пара коллинеарных векторов, то данные векторы линейно зависимые (по Утв.2 и Утв.3).

Пусть даны три попарно неколлинеарных ненулевых компланарных вектора . Покажем, что если векторы и не коллинеарны, то любой вектор , компланарный с и , можно представить единственным образом в виде (1) =x× +y× , где х и у — некоторые числа.

Выполним построение (рис.11) :

а) Отложим все три вектора от одной точки О;

б) Из конечной точки вектора проведем прямые, параллельные направлениям

векторов и ;

в) Найдем точки M и N пересечения построенных прямых с прямыми,

проходящими через О в направлении векторов и ;

г) Из коллинеарности и получим ,

из коллинеарности и получим .

В результате получили т.е. один из трёх компланарных векторов выражается через другие и по Утв.1 они линейно зависимы.

 

Утв.5 Если среди векторов имеется два линейно зависимых , то все

такие векторы являются линейно зависимыми.

 

Под векторным пространством будем понимать множество векторов, рассматриваемых в данном случае, множество всех точек, в котором лежат начальные и конечные точки векторов при их параллельном переносе. Векторным пространством может служить прямая, плоскость, обычное пространство и др.

Опр.16 Размерностью векторного пространства называется наибольшее количество линейно независимых векторов данного пространства. Размерность обычно обозначается буквой n.

 

Опр.17 Афинным базисом (просто базисом, репером) векторного пространства называются некоторые n его линейно независимых векторов, взятые в определенном порядке.

 

Векторы, соединяющие точки одной прямой являются коллинеарными т.е. линейно зависимыми (Утв.3). Получаем, что на прямой невозможно найти два линейно независимых вектора и размерность данного векторного пространства (прямой) равна 1 (т.к. один ненулевой вектор является линейно независимым, =0 только при ). Базисом данного пространства (прямой) можно взять любой ненулевой вектор данного пространства.

 

На плоскости любые три вектора компланарные и по Утв.5 они линейно зависимы, n . Два неколлинеарных вектора плоскости линейно независимы, т.е. n=2. Векторным базисом на плоскости можно взять любые два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке.

В плоскости существует бесконечное множество базисов.

 

Базисом обычного (трёхмерного) пространства можно взять любые три некомпланарных и ненулевых вектора, взятых в определенном порядке.

 

Утв.7Если задан базис векторного пространства размерности n, то любой вектор такого пространства единственным образом раскладывается по базисным, .

Упорядоченные числа х1 , х2 , … , хn (коэффициенты разложения) при этом называются афинными координатамивектора в базисе ( ).


При n=2

Пусть ( ; ) - один из базисов некоторой плоскости. Тогда можно показать, что любой вектор этой плоскости может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е.

(2) =x× +y× .

Это означает, что если на плоскости выбран базис ( ; ), то каждому вектору этой плоскости однозначно сопоставлена упорядоченная пара чисел х и у и, наоборот, каждой упорядоченной паре чисел х и у соответствует на плоскости единственный вектор , определяемый равенством (2). Числа х и у являются афинными координатами вектора в базисе ( ; ), при этом пишут: = (х; у).

Процесс разложения показан на Рис.10, где в качестве базиса взяты два неколлинеарных вектора , и по ним разложен вектор .

Афинные координаты вектора в базисе ( ; ) находятся следующим образом:

1) , при противоположных направлениях векторов и

коэффициент х становится отрицательным (пишем знак “ – “);

2) , при противоположных направлениях векторов и

коэффициент y становится отрицательным (пишем знак “ – “).

 

 

При n=3

Пусть ( ; ; ) - произвольный базис пространства. Так как базисные векторы , , некомпланарны, то можно показать, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде

(3) =x× +y× +z× , где х, у, z - некоторые числа.

Это означает, что для любого вектора существует и притом только одна тройка чисел (х; у; z), удовлетво­ряющих равенству (3). Справедливо и обратное утверждение: тройка чисел (х; у; z) в данном базисе ( ; ; ) по формуле (3) определяет единственный вектор . Числа х, у и z являются афинными координатами вектора в базисе ( ; ; ). Если вектор пространства задан своими координатами х, у и z, то пишут = (х; у; z).

 

 


К
Пример 3

В параллелограмме ABCD угол А острый, К – середина стороны ВС (Рис.10.а).

Найти разложение вектора по базису , .

 

Решение:

1 способ

Выполним дополнительные построения показанные на Рис.10.б :

1) Отложим вектор от вершины А,

от которой отложены базисные векторы.

Получим вектор ;

2) Из точки Е (конечной точки для

вектора ) проведём прямые ЕN

и ЕМ, параллельные прямым АВ

и AD соответственно;

Рис.10.б
3) Точка N – пересечение прямых

АВ и NE. Точка М

пересечение прямых АD

и ME .

 

Разлагаемый вектор является суммой векторов и по правилу параллелограмма. Вектор равен вектору т.к. равны их модули и их направления совпадают, следовательно = . Вектор сонаправлен с вектором , | |=0,5×| |, следовательно =0,5× .

Получили = = + = +0,5× , т.е. = ,

= .

 

2 способ

По правилу треугольника = + .

= , т.е. = +0,5× .

= .

 

Ответ: Вектор в базисе имеет координаты х1= -1 и х2=0,5.









ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2021 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.