Теорема об изменении энергии

Умножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение, описывающие изменение плотности энергии среды:

.

Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:

.

Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:

.

В итоге левая часть уравнения принимает вид:

(а)

Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде воспользуемся первым началом термодинамики

,

которое, с учетом уравнения непрерывности, можно записать в виде:

.

Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаем

.

Отсюда для адиабатных процессов мощность сил определяется выражением

. (б)

Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению

,

которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля:

Здесь - плотность энтальпии.

Это выражение можно проинтегрировать по некоторому фиксированному объему. Используя тензорную форму записи, получим

.

Преобразуя интеграл, стоящий справа, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, получим выражение, которое допускает простую интерпретацию:

.

Подынтегральное выражение слева представляет собой плотность энергии и определяется суммой внутренней энергии и кинетической энергии макроскопического движения среды. Это выражение аналогично соответствующему выражению в механике системы точек, которое определяется по теореме Кенига.

Подынтегральное выражение справа представляет собой плотность потока энергии среды через поверхность, а также учитывает мощность поверхностных сил, действующих на систему.

9. Вихревое движение жидкости

С помощью уравнения Эйлера в форме Громеки-Лэмба можно получить уравнение движение вихря в баротропной среде, применяя операцию к левой и правой частям:

,

где -вихрь скорости.

Для несжимаемой среды дополнительно выполняется соотношение

.

Если , то движение является вихревым, а не потенциальным.

Совокупность жидких частиц, составляющих вихрь, как бы отделена от остальной части жидкости поверхностью раздела. Векторное поле можно изобразить с помощью вихревых линий, уравнение которых имеет вид:

.

Совокупность вихревых линий, натянутых на замкнутый контур , ограничивающий выделенную элементарную поверхность , образует вихревой шнур (трубку вихря), что позволяет определить поток вихря или его интенсивность:

.

Преобразуя это выражение по теореме Стокса, получим:

.

Здесь - циркуляция вектора скорости.

Замечание. Теорема Стокса применима лишь в односвязной области, в которой контур путем непрерывной деформации может быть стянут в точку. Если движение жидкости происходит в неодносвязной области, то течение может характеризоваться отличной от нуля циркуляцией и в случае .

Примером такого движения является обтекание цилиндра двумерным потоком с циркуляцией. Это пример рассматривается далее.

Теорема Томсона о сохранении циркуляции

Циркуляция скорости по контуру, проводимому через одни и те же частицы идеальной жидкости, не изменяется с течением времени , если процессы являются баротропными, а силы потенциальными.

Доказательство

Преобразуем первое слагаемое в правой части с помощью уравнения Эйлера

.

Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку контур образован жидкими частицами и , так что

.

Теоремы Гельмгольца

Первая теорема.

Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени.

Доказательство

Рассмотрим жидкость, заключенную в трубке вихря между сечениями и в некоторый момент времени и вычислим поток вихря через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем, воспользовавшись теоремой Гаусса:

.

Поскольку , полученный результат означает, что циркуляция вектора скорости в любом сечении трубки, вычисленная в некоторый момент времени, остается постоянной:

.

Отсюда следует, что вихревая трубка может быть либо замкнутой, образуя вихревые кольца, либо опираться на границы жидкости.

Вторая теорема

Если внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какой-то момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моменты времени.

Доказательство

Любой контур, образованный частицами жидкости на поверхности вихревой трубки, остается на этой поверхности.

Действительно, циркуляция вектора скорости в некоторый момент времени по контуру на поверхности трубки равна нулю

,

ибо на поверхности трубки вихря. Но так как для контура, связанного с жидкостью, то значение циркуляции остается равным нулю для любого контура. Это значит, что вектор вихря остается перпендикулярным элементарной площадке, натянутой на контур, т.е. площадка принадлежит поверхности вихревой трубки. Следовательно, вихрь движется вместе с жидкостью.

Третья теорема

При действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все время движения остается постоянным.

См. теорему Томсона.

Вторая и третья теоремы Гельмгольца составляют принцип сохранения вихряили устойчивость вихревой трубки:

Если в начальный момент вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они и не могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновения вихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: