|
Теорема об изменении энергии ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Умножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение, описывающие изменение плотности энергии среды:
Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:
Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:
В итоге левая часть уравнения принимает вид:
Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде
которое, с учетом уравнения непрерывности, можно записать в виде:
Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаем
Отсюда для адиабатных процессов
Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению
которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля: Здесь Это выражение можно проинтегрировать по некоторому фиксированному объему. Используя тензорную форму записи, получим
Преобразуя интеграл, стоящий справа, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, получим выражение, которое допускает простую интерпретацию:
Подынтегральное выражение слева представляет собой плотность энергии и определяется суммой внутренней энергии и кинетической энергии макроскопического движения среды. Это выражение аналогично соответствующему выражению в механике системы точек, которое определяется по теореме Кенига. Подынтегральное выражение справа представляет собой плотность потока энергии среды через поверхность, а также учитывает мощность поверхностных сил, действующих на систему.
С помощью уравнения Эйлера в форме Громеки-Лэмба можно получить уравнение движение вихря в баротропной среде, применяя операцию
где Для несжимаемой среды дополнительно выполняется соотношение
Если Совокупность жидких частиц, составляющих вихрь, как бы отделена от остальной части жидкости поверхностью раздела. Векторное поле
Совокупность вихревых линий, натянутых на замкнутый контур
Преобразуя это выражение по теореме Стокса, получим:
Здесь Замечание. Теорема Стокса применима лишь в односвязной области, в которой контур путем непрерывной деформации может быть стянут в точку. Если движение жидкости происходит в неодносвязной области, то течение может характеризоваться отличной от нуля циркуляцией и в случае Примером такого движения является обтекание цилиндра двумерным потоком с циркуляцией. Это пример рассматривается далее.
Теорема Томсона о сохранении циркуляции Циркуляция скорости по контуру, проводимому через одни и те же частицы идеальной жидкости, не изменяется с течением времени
Доказательство Преобразуем первое слагаемое в правой части с помощью уравнения Эйлера
Второе слагаемое также обращается в нуль, поскольку контур образован жидкими частицами и
Теоремы Гельмгольца Первая теорема. Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени. Доказательство Рассмотрим жидкость, заключенную в трубке вихря между сечениями
Поскольку
Отсюда следует, что вихревая трубка может быть либо замкнутой, образуя вихревые кольца, либо опираться на границы жидкости. Вторая теорема Если внешние силы потенциальны, то жидкая масса, составляющая вихревую трубку в какой-то момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моменты времени. Доказательство Любой контур, образованный частицами жидкости на поверхности вихревой трубки, остается на этой поверхности. Действительно, циркуляция вектора скорости в некоторый момент времени по контуру на поверхности трубки равна нулю
ибо Третья теорема При действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вихревой трубки во все время движения остается постоянным. См. теорему Томсона. Вторая и третья теоремы Гельмгольца составляют принцип сохранения вихряили устойчивость вихревой трубки: Если в начальный момент вихри в жидкости отсутствуют (течение потенциально), то они и не могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновения вихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ. ![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|