|
|
Методы исследования функций классического анализа(Аналитические методы) Методы исследования функцийклассического анализапредставляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. Дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает лишьнеобходимые условияоптимальности. Поэтому все решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на достаточность.В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи. Методы исследования при наличии ограничений на область изменения независимых переменных можно использовать только для отыскания экстремальных значений внутри указанной области. В особенности это относится к задачам с большим числом независимых переменных (практически больше двух), в которых анализ значений критерия оптимальности на границе допустимой области изменения переменных становится весьма сложным. Метод множителей Лагранжаприменяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений. Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных ураавнений. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи. При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид функционалов, применяют множители Лагранжа, что дает возможность перейти от условной задачи к безусловной.Наиболее значительные трудности при использовании вариационных методов возникают в случае решения задач с ограничениями типа неравенств. Заслуживают внимания прямые методы решения задач оптимизации функционалов, обычно позволяющие свести исходную вариационную задачу к задаче нелинейного программирования, решить которую иногда проще, чем краевую задачу для уравненийЭйлера. Методы вариационного исчисленияобычно используют для решения задач, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статической оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации. Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экстремума функционала. Поэтому полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений функции должны быть проверены на экстремум функционала.
Необходимые и достаточные условия безусловного экстремумафункции 1)Функцияу =f (х)(одной переменной). Существует достаточно общий прием решения таких задач, основанный на методах математического анализа. Интересно напомнить, что одна из причин возникновения математического анализа (особенно дифференциального исчисления) связана с необходимостью решения практических экстремальных задач.Из курса «Алгебра и начала анализа» для IX. класса известно, что для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х), дифференцируемой в [а;b], можно поступить следующим образом:
1) Найти все критические точки функции, принадлежащие [а; b], 2) Найти значения функции в этих точках и на концах промежутка. Наибольшее и наименьшее из этих чисел будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке. Задача.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х)= х3 - 3х2 +1 на [-1; 4]. Решение. Найдем производную функцииf(х): f´(х) = 3х2 - 6х Она существует во всех точках.. Решив уравнение Зх2 - 6х = 0, найдем критические точки: х1 = 0, х2= 2. Теперь составим таблицу значений функции в критических точках и на концах отрезка:
Из этой таблицы видно, что наименьшее значение равно (-3), а наибольшее (+17). Выпуклость множества допустимых решений Задачи и целевой функции.
Для решения задач математического программирования существенно важно знать:
1) Выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи; 2) Является ли целевая функция выпуклой или вогнутой или она не относится ни к тому, ни к другому классу.
Рис. 1.
На рис.2. изображены примеры невыпуклых множеств. В невыпуклом множестве можно указать хотя бы две точки, такие, что не все точки отрезка АВ принадлежат рассматриваемому множеству. Как пример невыпуклого множества в пространстве можно указать тор
Область являетсявыпуклой,если отрезок прямой, соединяющей любые две точки области, принадлежит этой области. Следовательно, если
Рис. 3. Функцию у = f (х)одной переменной будем называтьвыпуклой, если отрезок, соединяющий две любые точки её графика, принадлежит графику или расположен выше его (рис.4.). Функциявогнута, если отрезок, соединяющий две любые точки графика, принадлежит графику или расположен ниже его (рис.5.).
Рис. 3.
Рис.4.Рис.5. Аналогично можно сформулировать определения понятий вогнутой и выпуклой функций нескольких переменных. Мы говорим, что гиперповерхность Z=f (х1, х2, ..., хп) выпуклая, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности иливыше ее. Гиперповерхность Z=f (х1, х2, ..., хп) вогнута, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности или ниже ее. Локальный и глобальный минимум функция f(х).
Функция f(х)имеет локальный минимум в точке х0, если существует некоторая положительная величина δ, такая, что если |х - х0| <δ, то f(х)≥f(х0)т. е. если существует окрестность точки х0, такая, что для всех значений х в этой окрестности f(х) большеf(х0)Функцияf(х)имеет глобальный минимум в точке х*,если для всех х справедливо неравенствоf(х)≥f(х*).На рис.6. дано графическое представление функции f(х),которая имеет локальный минимум в точке х0и глобальныйминимум в точке х*.
Рис.6. Классический подход к задаче нахождения значений х0и х* состоит в поиске уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис. функция и ее производные непрерывны, и видно, что в точках х0и х* производная f''(х),(градиент функции) равна нулю. Следовательно, х0их* будут решениями уравненияf''(х) = 0.Точка хт,в которой достигается локальный максимум, и точка хc, в которой имеется точка горизонтального перегиба функции, также удовлетворяют уравнению f''(х) = 0.. Следовательно, уравнение f''(х) = 0является только необходимымусловием экстремума, но не является достаточным условием минимума.Заметим, однако, что в точках х0и х* производная f''(х) меняет знак с отрицательного на положительный. В точке хтзнак меняется с положительного на отрицательный, в то время как в точке хсон не меняется. Следовательно, производная в минимуме является возрастающей функцией, а поскольку степень возрастанияf''(х) измеряется второй производной, можно ожидать, что f'''(х0) > 0,f'''(х*) > 0, тогда какf'''(хт) < 0.Если, однако, вторая производная равна нулю, ситуация остается неопределенной.Полученные выше результаты могут найти надежное обоснование, если рассмотреть разложение функции f(х)в ряд Тейлора в окрестности точки х0(или х*, или хт), что, конечно, требует непрерывности функции f(х),и ее производных:
максимум. Для определения различия между локальным и глобальным минимумами необходимо сравнить значения функцийf(х0)иf(х*). Пример. Исследовать характер точек перегиба функции f (х) = х3 - 2х2+ х + 1: Решение. При х = 1/3 производная х = 1 - с отрицательного на положительный. Следовательно, в точке х = 1/3 достигается максимум, а в точке х = 1 - минимум.Этот пример может быть решен более простым способом, если вычислить вторую производнуюf'''= 6х — 4:f'''1/3) = -2, т. е. отрицательна, и при х = 1/3 достигается максимум;f''' (1) = 2, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум.Неоднозначность, возникающую при f''' (*) = 0, можно разрешить, увеличив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора :
При этом можно сформулировать следующее правило: Если функция f (х) и ее производные непрерывны, то точка х0 является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда, и только тогда, когда пчетное, где n— порядок первой необращающейся в нуль в точке х0производной. Если если
2).Функцияу =f (
Необходимое условие экстремума. Если х*( у =f (
или в векторной форме Достаточное условие экстремума. Если в стационарной точке х* функция f(x) дважды дифференцируема и матрица её вторых производных Н(х*) (матрица Гессе) положительно определена (то есть все её главные миноры Матрица Гессе имеет вид:
Пример. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Запишем необходимые условияэкстремума:
Проверим достаточные условия. Матрица Гессе имеет вид:
то есть Для того чтобы найти, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, можно воспользоваться теоремой, которая формулируется следующим образом.Для положительной определенности квадратичной формынеобходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра:
Случай двух переменных.Достаточным условием минимума является положительность главных миноров первого и второго порядков. Случай трех переменных.Достаточным условием минимума для функции трех переменных является положительность всех трех миноров
Достаточным условием максимума для функции трех переменных является положительность четных миноров и отрицательность нечетных миноров Аналогичным образом могут быть получены достаточныеусловия и при большем числе переменных.   ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Напомним необходимые определения. Говорят, что множество выпукло, если оно вместе с любыми своими точками А и В содержит и все точки отрезка АВ. На рис.1 представлены примеры выпуклых множеств точек плоскости. Примерами выпуклых множеств в пространстве могут служить сфера, пирамида, призма и т. д.
и х2 находятся в этой области, то любая точка вида (θ 
, где 0 < θ<1, находится в этой же области. На рис.3.аизображена выпуклая область, а на рис.3б — невыпуклая.
+ 
)+ 
(1.1)
делало бы правую часть отрицательной.Так как в следующем члене (1.1) всегда 
и f'''(хm) < 0,, то из аналогичных соображений в точке хmдостигается
Зх2-4х+1 = 0,тогда(Зх - 1)(х - 1) = 0, т. е. х = 1/3 или х= 1.
меняет знак с положительного на отрицательный, а при
) + 
< 0, то в точке х0достигается максимум,
> 0, то в точке х0достигается минимум.
) (нескольких переменных).
Точки, удовлетворяющие условию (2.1), называются стационарными.
), то есть 
и Н(х*)> 0, то х*- точка локального минимума.(Напомним, что для прямоугольной матрицы Аmnопределительквадратной матрицыК-го порядка называется минором К-го порядка матрицы Аmn )
.
,
Так как 
то H(x*)>0 и точка x*=(0,0) является точкой локального минимума.
