Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Методы исследования функций классического анализа





(Аналитические методы)

Методы исследования функцийклассического анализапредставляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. Дополнительные трудности при решении оптимальной задачи методами исследования функций классического анализа возникают вследствие того, что система уравнений, получаемая в результате их применения, обеспечивает лишьнеобходимые условияоптимальности. Поэтому все решения данной системы (а их может быть и несколько) должны быть проверены на достаточность.В результате такой проверки сначала отбрасывают решения, которые не определяют экстремальные значения критерия оптимальности, а затем среди остающихся экстремальных решений выбирают решение, удовлетворяющее условиям оптимальной задачи, т. е. наибольшему или наименьшему значению критерия оптимальности в зависимости от постановки задачи.

Методы исследования при наличии ограничений на область изменения независимых переменных можно использовать только для отыскания экстремальных значений внутри указанной области. В особенности это относится к задачам с большим числом независимых переменных (практически больше двух), в которых анализ значений критерия оптимальности на границе допустимой области изменения переменных становится весьма сложным.

Метод множителей Лагранжаприменяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений. В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений. Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных ураавнений. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи.

При наличии ограничений типа равенств, имеющих вид функ­ционалов, применяют множители Лагранжа, что дает возможность перейти от условной задачи к безусловной.Наиболее значитель­ные трудности при использовании вариационных методов возни­кают в случае решения задач с ограничениями типа неравенств. Заслуживают внимания прямые методы решения задач опти­мизации функционалов, обычно позволяю­щие свести исходную вариационную задачу к задаче нелиней­ного программирования, решить которую иногда проще, чем крае­вую задачу для уравненийЭйлера.

Методы вариационного исчисленияобычно ис­пользуют для решения задач, в которых критерии оптимальности представляются в виде функционалов и решениями которых служат неизвестные функции. Такие задачи возникают обычно при статической оптимизации процессов с распределенными парамет­рами или в задачах динамической оптимизации. Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным диф­ференциальным уравнением второго порядка с граничными усло­виями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неиз­вестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получае­мой системы. Уравнения Эйлера выводятся как необходимые условия экс­тремума функционала. Поэтому полученные интегрированием си­стемы дифференциальных уравнений функции должны быть про­верены на экстремум функционала.

 

Необходимые и достаточные условия безусловного экстремумафункции

1)Функцияу =f (х)(одной переменной).

Суще­ствует достаточно общий прием решения таких задач, основан­ный на методах математического анализа. Интересно напомнить, что одна из причин возникновения математического анализа (особенно дифференциального исчисления) связана с необходи­мостью решения практических экстремальных задач.Из курса «Алгебра и начала анализа» для IX. класса известно, что для нахождения наибольшего и наименьшего зна­чений функции у = f(х), дифференцируемой в [а;b], можно поступить следующим образом:

 

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие [а; b],

2) Найти значения функции в этих точках и на концах про­межутка. Наибольшее и наименьшее из этих чисел будут соот­ветственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

Задача.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х)= х3 - 3х2 +1

на [-1; 4].

Решение. Найдем производную функцииf(х): f´(х) = 3х2 - 6х Она существует во всех точках.. Решив уравнение Зх2 - 6х = 0, найдем критические точки:

х1 = 0, х2= 2. Теперь составим та­блицу значений функции в критических точках и на концах отрезка:

 

Х -1
f(х) -3 -3

 

Из этой таблицы видно, что наименьшее значение равно (-3), а наибольшее (+17).

Выпуклость множества допустимых решений

Задачи и целевой функции.

 

Для решения задач математического программирования существенно важно знать:

 

1) Выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи;

2) Яв­ляется ли целевая функция выпуклой или вогнутой или она не относится ни к тому, ни к другому классу.

Напомним необходимые определения. Говорят, что множество выпукло, если оно вместе с любыми своими точками А и В со­держит и все точки отрезка АВ. На рис.1 представлены примеры выпуклых множеств точек плоскости. Примерами выпуклых множеств в пространстве могут служить сфера, пира­мида, призма и т. д.

 

 

Рис. 1.

 

На рис.2. изображены примеры невыпуклых множеств. В невыпуклом множестве можно указать хотя бы две точки, такие, что не все точки отрезка АВ принадлежат рассматри­ваемому множеству. Как пример невыпуклого множества в про­странстве можно указать тор


Рис.2

Область являетсявыпуклой,если отрезок пря­мой, соединяющей любые две точки области, принадлежит этой области. Следовательно, если и х2 находятся в этой области, то любая точка вида (θ + (1 — θ) , где 0 < θ<1, находится в этой же области. На рис.3.аизображена выпуклая область, а на рис.3бневыпуклая.

 

Рис. 3.

Функцию у = f (х)одной переменной будем называтьвыпуклой, если отрезок, соединяющий две любые точки её графика, при­надлежит графику или расположен выше его (рис.4.).

Функциявогнута, если отрезок, соединяющий две любые точки графика, принадлежит графику или расположен ниже его (рис.5.).

 

Рис. 3.

 

Рис.4.Рис.5.

Аналогично можно сформулировать определения понятий вогнутой и выпуклой функций нескольких переменных. Мы го­ворим, что гиперповерхность Z=f1, х2, ..., хп) выпуклая, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности иливыше ее. Гиперповерхность Z=f1, х2, ..., хп) вогнута, если от­резок, соединяющий две ее любые точ­ки, лежит на поверхности или ниже ее.

Локальный и глобаль­ный минимум функция f(х).

 

Функция f(х)имеет локальный минимум в точке х0, если существует не­которая положительная величина δ, такая, что если |х - х0| <δ, то f(х)f(х0)т. е. если существует окрестность точки х0, такая, что для всех зна­чений х в этой окрестности f(х) большеf(х0)Функцияf(х)имеет глобаль­ный минимум в точке х*,если для всех х справедливо неравенствоf(х)f(х*).На рис.6. дано графическое представление функции f(х),которая имеет локальный минимум в точке х0и глобальныйминимум в точке х*.

 


y

 

Рис.6.

Классический подход к задаче нахождения значений х0и х* состоит в поис­ке уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис. функция и ее производные непрерывны, и видно, что в точках х0и х* производная f''(х),(градиент функции) равна нулю. Следовательно, х0их* будут решениями уравненияf''(х) = 0.Точка хт,в которой достигается локальный максимум, и точка хc, в ко­торой имеется точка горизонтального перегиба функции, также удовлетворя­ют уравнению f''(х) = 0.. Следовательно, уравнение f''(х) = 0является только необходимымусловием экстремума, но не является достаточным условием мини­мума.Заметим, однако, что в точках х0и х* производная f''(х) меняет знак с отрицательного на положительный. В точке хтзнак

меняется с положитель­ного на отрицательный, в то время как в точке хсон не меняется. Следова­тельно, производная в минимуме является возрастающей функцией, а по­скольку степень возрастанияf''(х) измеряется второй производной, можно ожидать, что f'''(х0) > 0,f'''(х*) > 0, тогда какf'''т) < 0.Если, однако, вторая производная равна нулю, ситуация остается неопре­деленной.Полученные выше результаты могут найти надежное обоснование, если рассмотреть разложение функции f(х)в ряд Тейлора в окрестности точки х0(или х*, или хт), что, конечно, требует непрерывности функции f(х),и ее производных:

+ )+ (1.1)
Если в точке х0достигается минимум, то левая часть (1.1) будет неотри­цательной для любого достаточно малого h(|h|<δ). Следовательно, первая производная f''(х0)должна быть равна нулю, и это является достаточным условием. Если бы она была положительной, то до­статочно малое отрицательное значение𝐡 делало бы правую часть (1.1) от­рицательной, а если бы она была отрицательной, то достаточно малое поло­жительное значение делало бы правую часть отрицательной.Так как в следующем члене (1.1) всегда 2>0, то, еслиf'''(х0) > 0,в точке х0достигается минимум.Если и f'''(хm) < 0,, то из ана­логичных соображений в точке хmдостигается

максимум. Для определения различия между локальным и глобальным минимумами необходимо срав­нить значения функцийf(х0)иf(х*).

Пример.

Исследовать характер точек перегиба функции f (х) = х3 - 2х2+ х + 1:

Решение. Зх2-4х+1 = 0,тогда(Зх - 1)(х - 1) = 0, т. е. х = 1/3 или х= 1.

При х = 1/3 производная меняет знак с положительного на отрицательный, а при

х = 1 - с отрицательного на положительный. Следовательно, в точке х = 1/3 дости­гается максимум, а в точке х = 1 - минимум.Этот пример может быть решен более простым способом, если вычислить вторую производнуюf'''= 6х — 4:f'''1/3) = -2, т. е. отрицательна, и при х = 1/3 достигается максимум;f''' (1) = 2, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум.Неоднозначность, возникающую при f''' (*) = 0, можно разрешить, увели­чив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора

:

+ ) +

 

При этом можно сформулировать следующее правило: Если функция f (х) и ее производные непрерывны, то точка х0 является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда, и только тогда, когда пчетное, где n— порядок первой необращающейся в нуль в точке х0производной.

Если < 0, то в точке х0достигается максимум,

если > 0, то в точке х0достигается минимум.

 

2).Функцияу =f ( ) (нескольких переменных).

 

Необходимое условие экстремума. Если х*( )- точка локального безусловного экстремума непрерывно дифференцируемой в точке х* функции

у =f ( ), то все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть

или в векторной форме Точки, удовлетворяющие условию (2.1), называются стационарными.

Достаточное условие экстремума. Если в стационарной точке х* функция f(x) дважды дифференцируема и матрица её вторых производных Н(х*) (матрица Гессе) положительно определена (то есть все её главные миноры ), то есть и Н(х*)> 0, то х*- точка локального минимума.(Напомним, что для прямоугольной матрицы Аmnопределительквадратной матрицыК-го порядка называется минором К-го порядка матрицы Аmn )

Матрица Гессе имеет вид:

Пример. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Запишем необходимые условияэкстремума:

 

Проверим достаточные условия. Матрица Гессе имеет вид:

 

,

 

то есть Так как то H(x*)>0 и точка x*=(0,0) является точкой локального минимума.

Для того чтобы найти, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, мож­но воспользоваться теоремой, которая формулируется следующим образом.Для положительной определенности квадратичной фор­мынеобходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра:

Случай двух переменных.Достаточным условием минимума является по­ложительность главных миноров первого и второго порядков.

Случай трех переменных.Достаточным условием минимума для функции трех переменных является положительность всех трех миноров

Достаточным условием максимума для функции трех переменных является положительность четных мино­ров и отрицательность нечетных миноров

Аналогичным образом могут быть получены достаточныеусловия и при большем числе переменных.







ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2023 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.