Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема об изменении кинетической энергии





Дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внутренних и внешних сил, действующих на систему

.

Проинтегрировав это соотношение, получим конечную формулировку данной теоремы

.

Её можно записать и в форме мощностей внешних и внутренних сил

.

Отличительной особенностью теоремы об изменении кинетической энергии системы состоит в том, что только в одной этой теореме из всех общих теорем динамики системы внутренние силы явным образом фигурируют в формулировке теоремы.

Закон сохранения механической энергии для точки и системы

Величина, равная сумме кинетической и потенциальной энергий (механической энергии), не меняется в процессе движения механической системы в потенциальном поле

.

Это соотношение является одним из первых интегралов движения — интеграл энергии. Из него следует, что увеличению кинетической энергии соответствует уменьшение потенциальной энергии и наоборот.

Механические системы, в которых выполняется этот закон, называются консервативными.

Принцип Даламбера

Если в произвольный момент времени к каждой из точек, входящих в систему, приложить кроме фактически действующих на неё внутренних и внешних сил силы инерции, то система будет находиться в состоянии покоя.

Главный вектор внешних сил уравновешивается главным вектором сил инерции

.

Главный момент внешних сил и главный момент сил инерции, вычисленные относительно произвольного центра , взаимно уравновешиваются

.

Принцип Лагранжа (принцип возможных перемещений)

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю



.

Простота выражения элементарной работы через обобщённые силы и независимость вариаций обобщённых координат друг от друга позволяет записать принцип Лагранжа в виде

, где .

Т.е. для равновесия механической системы с идеальными, удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы равнялись нулю.

Для консервативной механической системы условия равновесия примут вид

, где .

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики системы получается при последовательном применении к ней вначале принципа Даламбера, а затем принципа Лагранжа

или .

При любых движениях системы с идеальными связями в каждый момент времени выполняется условие равенства нулю суммы элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении.

Уравнения Лагранжа II рода

Уравнения Лагранжа II рода имеют вид

.

Число уравнений Лагранжа II рода равно числу степеней свободы голономной системы. Сами уравнения с точки зрения математика представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных обобщённых координат, рассматриваемых как функции времени.

Для консервативных голономных систем уравнения Лагранжа имеют вид

,

где — функция Лагранжа.


ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения различных типов движений твердого тела можно получить, применяя соответствующие теоремы динамики.

Поступательное движение

Из теоремы о движении центра масс получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твёрдого тела. Из кинематики известно, что при поступательном движении все точки имеют одинаковые характеристики (скорость, ускорение), следовательно, движение тела определяется движением одной точки, За такую точку целесообразно принять центр масс системы. Тогда на основании теоремы получим

,

где — масса твердого тела.

Проектируя на оси системы координат, получаем дифференциальные уравнения поступательного движения

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной точки.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.