Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема о движении центра масс





Пусть имеется система точек, на каждую из которых действуют внешние и внутренние силы. Обозначим равнодействующие этих сил, приложенных к точке с номером k, соответственно и . Запишем основное уравнение динамики для точки с номером k: . Записывая подобные уравнения для каждой точки системы, и суммируя их, получим

. (37)

По свойствам внутренних сил (32) . Кроме того, взяв вторую производную от равенства (33) , получим

 

.

С учетом этого формула (37) примет вид:

 

. (38)

Формула (38) выражает теорему о движении центра масс: центр масс системы двигается как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на ее точки.

 

Теорема об изменении количества движения системы

Определение: количеством движения системы точек называется вектор , равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы:

.

Запишем теорему об изменении количества движения для точки с номером k:

. Здесь, как и ранее, и – соответственно равнодействующие внешних и внутренних сил, приложенных к точке с номером k. Записывая подобные уравнения для каждой точки системы и, суммируя их, получим

 

.

учитывая, что , получим, поменяв местами, знаки суммирования и дифференцирования в левой части равенства:

 

(39)

Формула (39) выражает теорему об изменении количества движения системы точек в дифференциальной форме:производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на ее точки.

Умножив равенство (39) на dt и проинтегрировав, получим теорему об изменении количества движения системы точек в интегральной форме:

, (40)



где – импульс силы .

Изменение количества движения системы точек за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на её точки за тот же промежуток времени.

Теоремы (39) и (40) – векторные, их можно записать в проекции на оси координат. Закон сохранения количества движения системы вытекает из формул (39) и (40): если в течение некоторого промежутка времени, сумма внешних сил, действующих на точки системы, равна нулю, то ее количество движения все это время остается неизменным.

Связь между количеством движения системы, массой системы

И скоростью ее центра масс

взяв производную по времени от равенства (33) получим, учитывая, что : .

Но по определению , тогда

. (41)

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Применение теоремы об изменении количества движения системы

К сплошным средам

Рассмотрим стационарный поток жидкости, т.е. такой, у которого в каждой точке скорость, давление и плотность остаются неизменными с течением времени. В случае ламинарного течения (жидкость перемещается слоями, без перемешивания) траектории частиц жидкости являются линиями тока.

Выделим в потоке жидкости (рис. 24) объем, ограниченный линиями тока и двумя сечениями 1 и 2.

 

Пусть за малое время dt этот объем переместился из положения 1-2 в положение 3-4. Тогда изменение его количества движения: . Но .

С учетом этого

. (42)

Обозначим секундный массовый расход жидкости МС (масса жидкости, протекающая через сечение трубки тока за одну секунду), кг/м. Учитывая, что при ламинарном потоке ни одна частица жидкости не выходит за границы трубки тока, то по закону сохранения вещества расход жидкости в любом сечении трубки тока одинаков: , где

γ – объемная плотность жидкости, кг/м3; S и V – соответственно площадь произвольного сечения трубки тока и скорость жидкости в этом сечении.

тогда: и формула (42) принимает вид: . Подставив это выражение в теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме (39), получим

. (43)

Произведение - называют секундным количеством движения. Тогда разность секундных количеств движения жидкости в двух сечениях трубки тока равна сумме объемных и поверхностных сил, действующих на ее частицы, заключенные между этими сечениями.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.