Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Применение основных теорем динамики в решении задач





 

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из материальных точек , . Если на точки системы наложены связи, то ее уравнения динамики могут быть представлены в виде

, , (1)

где - массы точек, - ускорения точек относительно неподвижного начала отсчета, - равнодействующие активных сил, - равнодействующие сил реакций связей, приложенных к точкам. Для определения движения этой механической системы надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти . Это вызывает серьезные трудности, особенно если число уравнений (1) велико.

Однако при решении задач часто нет необходимости интегрировать уравнения (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей механической системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы. Если такая функция при движении механической системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений динамики (1). Использование первых интегралов позволяет существенно упростить решение задачи. Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на исследовании основных динамических величин системы: количества движения (импульса), кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величин во времени описывается основными теоремами динамики, являющихся следствиями уравнений (1). Утверждения, определяющие условия постоянства основных динамических величин, называются законами сохранения.

 

Теорема об изменении количества движения

 

· Производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.



 

(2)

В уравнении (2) - количество движения (импульс) механической системы, - главный вектор внешних сил. Так как , где M – масса всей механической системы, - скорость ее центра масс, то (2) можно записать в виде

. (3)

Уравнение (3) называют теоремой о движении центра масс.

Проинтегрировав по времени правую и левую части (2), получим теорему об изменении количества движения в интегральной форме

, (4)

где - импульс системы в момент времени t1, - импульс системы в последующий момент времени t2.

 

Задача

Поворотный подъемник для ремонта уличной электросети установлен на автомашине (рис. 15). Люлька подъемника, укрепленная на однородном стержне, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. В начальный момент времени подъемник находился в горизонтальном положении и автомашина покоилась. Определить перемещение незаторможенной машины, если подъемник повернулся на 600. Масса стержня m1 = 100 кг, люльки – m2 = 200 кг, автомашины - m3 = 1 т. Центр масс люльки отстоит от оси вращения на 3.5 м, длина стержня – 3 м. Сопротивлением движению пренебречь.

 
 

 

 


Решение

Пусть x – ось горизонтального перемещения автомашины. На рассматриваемую механическую систему действует сила, развиваемая гидравлическим приводом подъемника, силы тяжести автомашины, люльки и стержня, силы реакции горизонтальной поверхности, на которую опираются колеса. Проанализируем эти силы. Сила, развиваемая гидроцилиндром, является внутренней, так как действует между точками механической системы; силы тяжести и силы реакции являются внешними и действуют в вертикальном направлении. В горизонтальном направлении x на механическую систему не действуют никакие внешние силы, следовательно, в проекции на это направление уравнение (3) будет иметь вид

,

где - масса всей механической системы, – проекция скорости центра масс системы на горизонтальное направление. Поделив на M обе части равенства и проинтегрировав его по времени t, получим первый интеграл

,

т.е. горизонтальная скорость центра масс C системы в течение всего времени движения подъемника остается постоянной. Но так как в начальный момент времени система покоилась, то и, следовательно, в течение всего времени движения . Иначе говоря, горизонтальное положение центра масс механической системы не изменяется! Воспользуемся этим условием. Горизонтальное положение центра масс системы, в соответствии с п. 3.1., определяется равенством

,

x3 – горизонтальное положение центра масс автомашины. В начальный момент времени , ; в конечный - , ; из условия получим , м. Таким образом, незаторможенная автомашина откатится вправо на 32.7 см. При эксплуатации подобных технических средств, с целью исключения отката, следует обеспечить надежную фиксацию автомашины на специальных упорах.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.