Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве.

Для решения задачи следует использовать следующие сведения

1.) Каноническое уравнение прямой

L: (1)

M₀ (x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой L.

l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.

2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1,y1, z1) и M2 (x2,y2, z2),

(2)

где (x 1,y 1,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2,y2,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.

3.) Параметрическое уравнение прямой

(3)

M₀ (x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.

4.) Условие параллельности прямых

Рассмотрим две прямые

L₁:

L₂: ,если прямая L₁ параллельна L₂ , то выполняется условие:

(4)

5.) Условие перпендикулярности прямых

l ₁ l₂ + m₁ m ₂ +n₁ n₂ =0 (5)

6). Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D = 0, (6)

где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.

7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M₀ (x₀,y₀,z₀), M₁ (x₁,y₁,z₁), M₂ (x₂,y₂,z₂)

(7) или

(x-x₀) ((y₁-y₀)(z₂-z₀)-(y₂-y₀)(z₁-z₀)) – (y-y₀) ((x₁-x₀)(z₂-z₀)-(x₂-x₀)(z₁-z₀))+

+(z-z₀) ((x₁-x₀)(y₂-y₀)-(x₂-x₀)(y₁-y₀))=0

8). Условие параллельности плоскостей

Рассмотрим две плоскости

Р₁: A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁=0

Р₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если плоскость Р₁ параллельна Р₂, то выполняется условие:

(8)

9.) Условие перпендикулярности плоскостей

A₁ A₂ + B₁B ₂ + C₁ С₂ =0 (9)

10.а) угол между плоскостями

A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁=0 и A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂=0

(10.а)

10.б) угол между векторами

и

(10.б)

10.в) угол между прямой и плоскостью

прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0

(10.в)

11.) Расстояние между двумя точками

Даны точки А₁ (x₁,y₁,z₁) и А₂ (x₂,y₂,z₂), расстояние между ними:

(11)

12.) Расстояние от точки M₀ (x₀,y₀,z₀) до плоскости

A x+B y+C z+D=0:

(12)

13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей, если , , то

(13)

Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.

14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах

, ,

(14)

знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 3.

Даны точки А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2), А ₄ (0,1,1).

3.а.) Найти длину ребра А₁ А_2.

Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.

Длина ребра А₁ А₂ равна 3_.

3.б.) Составить уравнение ребра А₁ А_4.и грани А₁А₂А_{3 .}

Составим уравнение прямой проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2) и А ₄ (0,1,1), воспользуемся формулой(2)

;

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Воспользуемся формулой (7)

уравнение грани 6 x-8y+5z-4=0, ребра

3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки

А ₄ (0,1,1) на плоскость А₁А₂А_{3 .}

Высота проходит через точку А ₄ (0,1,1) иперпендикулярна плоскости 6 x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2), то уравнение искомой высоты.

или в параметрической форме (3)

x=6t, y=1-8t, z=1+5t

3.г.) Найти площадь треугольника А₁A₂A₃ с вершинами

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)

;

,

3.д) Найти объем треугольной пирамиды А₁A₂А₃A₄ с вершинами

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2), А ₄ (0,1,1).

Искомый объем равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах А₁A₂, А₁A₃, А₁A₄. Воспользуемся формулой (14)

, ,

Задача 4.

4.1-4.20. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

4.1. А = ; 4.2. А = ;

4. 3. А = ; 4.4. А = ;

4. 5. А = ; 4.6. А = ;

4.7. А = ; 4.8. А = ;

4.9. А = ; 4.10. А = ;

4. 11. А = ; 4.12. А = ;

4.13. А = ; 4.14. А = ;

4.15. А = ; 4.16. А = ;

4.17. А = ; 4.18. А = ;

4.19. А = ; 4.20. А = .

Указания к задаче 4: с обственные числа и собственные векторы

Число называется собственным числом квадратной матрицы А n -ого порядка, если существует такой ненулевой n -мерный вектор Х, что А Х = Х.

Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(А - Е) = 0.

Задача 4.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

А = .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А - Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.

А – Е = – = .

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть

Х = – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А - Е) = 0 выглядит так:

или

(1)

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

Аналогично при получаем систему

,

общее решение которой , где любое число.

Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

Ответ: , , ,

, , .

Задача 5

5.1- 5.20. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.20

Указания к задаче 5

Метод Жордана

Система линейных алгебраических уравнений называется системой с базисом, если в каждом ее уравнении имеется выделенное неизвестное, не входящее ни в одно из остальных уравнений и входящее в данное уравнение с коэффициентом, равным единице. При соответствующей нумерации неизвестных (в к -ом уравнении выделенной служит неизвестная хк) система с базисом имеет вид:

Выделенные неизвестные х1,х2,......,хm называют базисными, а остальные - свободными (небазисными).

Если члены, содержащие свободные неизвестные перенести в правую часть, то система с базисом запишется в следующем эквивалентном виде:

Решение системы (В) получается сразу: надо придать свободным неизвестным любые значения и определить из системы (В) отвечающие им значения базисных неизвестных. Ясно, что полученный таким образом набор значений х1,х2,....хm,хm+1,....xn будет решением системы (В) и, тем самым, решением исходной системы (А). Также ясно, что таким образом может быть получено любое решение исходной системы. Другими словами: соотношения (В) дают общий вид решения системы (А).

Пример. системе:

базисными неизвестными служат х2, х5, х6. Решая систему относительно этих неизвестных, получим:

Эти формулы дают общее решение исходной системы: при любых конкретных значениях свободных неизвестных х1, х3, х4 они дают решение системы, и любое решение может быть получено таким путем. Положив, например, х1 = х3 = х4 = 0, получим для базисных неизвестных х2 = 10,

х5 = 8, х6 = 15 и решение системы - вектор Х⁽⁰⁾ = (0;10;0;0,8;15). При х1 = 1, х3 = -1, х4 = 4 получим значения х2 = 10-3+2+2 = 11, х5 = 8-2-5-4=-3,

х6 = 15-4+3+10 = 24 и решение - вектор Х⁽¹⁾ = (1;11;-1;4;-3;24).

Заметим, что решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным. В нашем примере - это Х⁽⁰⁾.

Решение общей системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана заключается в планомерном преобразовании системы к эквивалентной ей системе с базисом.

Алгоритм метода опишем на конкретном примере системы:

Систему рассматриваем для двух возможных значений правой части b3 третьего уравнения b3 = 15 и b3= 10.

Отдельный шаг преобразования заключается в назначении в одном из уравнений неизвестной, которая должна быть в нем базисной, и исключении ее из остальных уравнений. Этот шаг повторятся до тех пор, пока это возможно (см. ниже).

Выделим в первом уравнении неизвестную х₂. Так как коэффициент при базисной неизвестной должен равняться единице, то делим обе части уравнения на коэффициент при х₂ (т.е. на -1). Получим:

-7x1 + x2 - 5x3 + x4 - 2x5 = - 12. (1')

Пользуясь уравнением (1'), исключим неизвестную х2 из остальных уравнений. Для этого умножаем (1') на -4 и складываем с уравнением (2). Затем умножаем (1') на 6 и складываем с уравнением (3). Затем умножаем (1') на -2 и складываем с уравнением (4).

31х1 + 19х3 + 2х4 + 5х5 = 57. (2')

-31х1 - 19х3 - 2х4 - 5х5 = -57 (-62). (3')

13x1 + 9x3 + 3x4 + 3x5 = 28. (4')

Базисная переменная в первом уравнении выделена. При этом получена эквивалентная система (1') - (4').

Аналогичным образом выбираем неизвестную х4 в уравнении (2') и превращаем ее в базисную и т.д. Весь алгоритм оформляется в виде последовательных преобразований (описанного выше типа) таблицы, в которой записана вся информация о системе, каждая строка таблицы дает запись одного уравнения. В первом столбце записаны правые части уравнений, в остальных - коэффициенты при неизвестных см. (Т1).

Каждый шаг (так называемая большая итерация) требует выполнения следующих действий:

1. Выбор главного (ключевого или ведущего) элемента

За главный элемент можно принять любой отличный от нуля коэффициент при одном из неизвестных. В каждой строке главный элемент может выбираться только один раз. Невозможность выбора главного элемента говорит об окончании вычислений. Выбранный элемент заключается в квадратик. Его строку и столбец будем называть ключевыми.

2. Преобразование ключевой строки

Все элементы ключевой строки делятся на главный элемент. На его месте возникает единица. Полезно ее подчеркнуть.

3. Назначение дополнительных множителей

Каждой не ключевой строке исходной таблицы соотносится множитель, равный взятому с обратным знаком ее элементу, стоящему в ключевом столбце. Эти множители приписаны справа от таблицы.

4. Преобразование не ключевых строк

Для преобразования не ключевой строки нужно каждый элемент преобразованной ключевой строки умножить на дополнительный множитель преобразуемой строки и добавить к соответствующему ее элементу.

5. Если в ходе вычислений появляется строка вида:

b	x1	x2	...........	xn
b 0			...........

т.е. строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то система не имеет решений.

Действительно, всякое решение системы должно удовлетворять уравнению, записанному в этой строке, которое имеет вид:

Поскольку его левая часть равна нулю для любых значений х1,х2,...хn, а правая часть отлична от нуля, то ему не может удовлетворять ни один такой набор.

6. Если в ходе вычислений появляется строка, состоящая из одних нулей, то ее можно удалить из таблицы, так как такая строка отвечает уравнению:

,

которому удовлетворяет любой набор значений х1, х2,...хn, и поэтому ее можно не учитывать.

Заметим, что появление строки из одних нулей свидетельствует о том, что записанное в ней уравнение является следствием других уравнений системы.

Если при применении алгоритма не возникает противоречивой ситуации описанной в п.5, то в каждой строке заключительной таблицы (т.е. в каждом уравнении) имеется базисная неизвестная и система оказывается приведенной к эквивалентной системе с базисом.

Применим описанный алгоритм к системе из примера.

В таб. Т.1 за главный элемент выбран коэффициент при х2 в 1-ом уравнении. В Т.2 соответствующая строка помечена звездочкой в знак того, что в ней выбирался главный элемент. Затем эта строка умножается на соответствующие множители и добавляется к строкам исходной таблицы.

Дальнейшие действия аналогичны и понятны из приведенных таблиц.

В таб. Т.3 появляется строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю.

Если в исходной таблице свободный член b3 = 10, то появилась противоречивая строка,

Следовательно, система не имеет решений.

Если же b3 = 15, то третья строка таблицы Т.3 состоит из одних нулей и удаляется из таблицы.

Дальнейшее решение (таб. Т.4) касается только этого случая.

В таб. Т.4 все строки помечены звездочками, т.е. главный элемент появлялся в каждой из них и выбор его более невозможен.

Работа алгоритма закончена. Таб. Т.4 дает запись системы с базисом, эквивалентной исходной:

Общее решение последней, а значит и исходной системы, дается формулами

Напримeр, при х1 = 1 и х3 = 1 получаем х2 = 1, x4 = 1, x5 = 1, т.е. получаем решение Х = (1;1;1;1). Положив х1 = х3 = 0, получаем базисное решение Х_баз. = (0;17;0;-31/9;115/9). В заключение этого пункта отметим, что метод Жордана позволяет полностью исследовать любую систему линейных алгебраических уравнений:

а) если в ходе вычислений появляется «противоречивая строка»

......

то система не имеет решений. Уравнение, отвечающее этой строке, противоречит уравнениям, строки которых помечены звездочками (т.е. в которых выделялся главный элемент);

б) если «противоречивая строка» в ходе вычислений не появлялась, то система имеет решение. Его общий вид получается из последней таблицы. Если есть свободные неизвестные, то система имеет бесконечно много решений. Если свободных переменных нет, то система имеет единственное решение;

с) появление нулевой строки показывает, что соответствующее ей уравнение является следствием уравнений, помеченных звездочками в данной таблице. Число независимых уравнений равно числу ненулевых строк последней таблицы (в случае разрешимости системы).

Требования к оформлению контрольной работы

1. Работа выполняется в тетради со свободными полями для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, шифр, номер специальности, срок обучения, название дисциплины.

3. Контрольная работа должна содержать все задачи своего варианта, расположенные в порядке, указанном в задании. Перед решением каждой задачи должны приводиться ее условия.

4. Решение следует излагать подробно и аккуратно, делая необходимые объяснения и иллюстрации.

5. В случае получения от рецензента незачтенной работы следует исправить все отмеченные ошибки, внести необходимые исправления и прислать работу для повторной проверки. Рекомендуется при выполнении работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для внесения возможных исправлений после ее рецензирования.

Список литературы

1. Колесников.А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: Инфра-М, 1997.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965–1975.

3. Брыжина Э.Ф., Линьков А.М., Митасов Е.В. Высшая матема­тика. Элементы линейной алгебры: Методические указания к контрольной работе №1 для студентов 1 курса заочного и вечернего отделений всех специальностей. /ЛИЭИ – Л.,1990.

4.Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /Под ред. В.И. Ермакова – М.: ИНФРА– М, 2003. – 575с. – (Серия «Высшее образование»).

5.Акимов А.В., Брыжина Э.Ф., Полозенко Н.А. Задачи и упражнения по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: СПбГИЭУ, 2002. – 72с.

6.Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М:Высшая школа, 1982.

Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для втузов.М.: Высшая школа, 1989.

Приложение 1.

Содержание дисциплины (выдержка из рабочей программы):

Тема 1. Матрицы

Матрицы и действия над ними.

Тема 2. Определители

Определители n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Обратная матрица и методы ее нахождения. Решение матричных уравнений.

Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений

Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса-Жордана. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений.

Тема 4. Линейные пространства и линейные операторы

Понятие линейного пространства. Пространство Rⁿ. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

Тема 5. Некоторые приложения в экономике

Линейная балансовая модель. Учет дополнительных затрат.

Тема 6. Элементы векторной алгебры

Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и выражение их через координаты. Векторное произведение прямой и плоскости. Бюджетная линия и многотоварное бюджетное уравнение.

Тема 7. Элементы аналитической геометрии

Уравнение прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Деление отрезка в заданном отношении. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Построение геометрических образов. Некоторые приложения в экономике.

Тема 8. Линии второго порядка.

Окружность, эллипс, гипербола и парабола, их свойства. Преобразование координат. Общая теория кривых второго порядка. Инварианты.

Приложение 2.

Приложение 2

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: