Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Построение интерполяционных многочленов





Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функцией в точках .

Решение. Пусть , поэтому имеем

.

Отсюда .

Поэтому при .

 

Многочлен Лагранжа

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках

.

Решение. Составим таблицу

х -2 -4/3   4/3  
у          

 

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

 

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Пример 1. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

 

х   0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
у   0,1002 0,2013 0,8045 0,4108 0,5211

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

х у
             
    0,1002        
0,1 0,1002   0,0009      
    0,1011   0,0012    
0,2 0,2013   0,0021   -0,0002  
    0,1032   0,0010   0,0001
0,3 0,3045   0,0031   -0,0001  
    0,1063   0,0009    
0,4 0,4108   0,0040      
    0,1103        
0,5 0,5211          

 

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример 2. Задана таблица. Найти .

 

х
0,2588      
    0,0832    
0,3420   -0,026  
    0,0806   0,0006
0,4226   -0,032  
    0,0774   0,0006
0,5   0,038  
    0,0736    
0,5736      

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

 

Приближенное дифференцирование

Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х у
  1,6990      
    0,0414    
  1,7404   -0,0036  
    0,0378   0,0005
  1,7782   -0,0031  
    0,0347    
  1,8129      

 

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

 

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

 

Метод Эйлера для решения задачи Коши

Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши: , . Возьмем шаг . Тогда .

Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:

 

, .

 

Решение представим в виде таблицы:

 

 

           
  0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1,0000 1,2000 1,3733 1,5294 1,6786 1,8237

Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .

 

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы:

           
  0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1,0000 1,1832 1,3416 1,4832 1,6124 1,7320

 

Из таблицы видно, что погрешность составляет

.

Модифицированные методы Эйлера

Пример 1. Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг . Тогда , и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид: , где

, ,

, .

Решение представим в виде таблицы.

      0,1 0,1 1,1 0,1836
  0,2 1,1836 0,0850 0,3 1,2682 0,1590
  0,4 1,3426 0,0747 0,5 1,4173 1,1424
  0,6 1,4850 0,0677 0,7 1,5527 0,1302
  0,8 1,6152 0,0625 0,9 1,6777 0,121
    1,7362        

 

Третий столбец таблицы содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице, видим, что погрешность составляет

.

Пример 2. Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примере 1. Так же, как и ранее, зададим шаг . Тогда

.

В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

,

где , , , , .

Решение представим в виде таблицы.

 

      0,1 0,2 1,2 0,867
  0,2 1,1867 0,0850 0,4 1,3566 0,767
  0,4 1,3484 0,0755 0,6 1,4993 0,699
  0,6 1,4938 0,0690 0,8 1,6180 0,651
  0,8 1,6272 0,0645   1,7569 0,618
    1,7542        

 

Таблица заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы содержит приближенное решение .

Сравним полученное приближенное решение с точным решением. Видим, что погрешность составляет .

 

Метод Рунге-Кутты для решения задачи Коши

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши .

Возьмем шаг . Тогда .

Расчетные формулы имеют вид:

, , ,

, , .

Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями .

Найденные приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице.

      0,6 1,43333
0,1 1,01005 10-9 0,7 1,63232
0,2 1,04081 0,8 1,89648
0,3 1,09417 0,9 2,2479
0,4 1,17351   2,71827
0,5 1,28403      

 

Решение краевой задачи методом прогонки

Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

           
  -0,498 -0,662 -0,878 -0,890 -0,900
  0,001 0,002 0,004 0,008 0,012
  0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
  -0,025 -0,049 -0,072 -0,078 -0,081
  -0,015 -0,029 -0,041 -0,050 -0,057

 

         
-0,908 -0,915 -0,921 -0,926  
0,16 0,022 0,028 0,035  
0,6 0,7 0,8 0,9  
-0,078 -0,070 -0,055 -0,032  
-0,058 -0,054 -0,044 -0,026  

 


ЛИТЕРАТУРА

 

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - 3-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 240 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996322664.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".

2. Численные методы [Электронный ресурс] / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996308026.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".

3. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Текст]: учеб. пособие по курсу "Математическое моделирование" для студ. всех спец. / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2011. - 64 с. – Экземпляров всего: 3. Имеется электронный аналог печатного издания.

4. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. – Электрон. текстовые дан. – Саратов: СГТУ, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: 128 МБ ОЗУ; 4х CD-ROM дисковод; Microsoft Office 2003 и выше; ПК Pentium III или выше. - Загл. с экрана. – б. ц.
Электронный аналог печатного издания. Диск помещен в контейнер 14х12 см. Режим доступа: http://lib.sstu.ru/books/zak 52_11.pdf.

5. Покровский В.В. Электромагнетизм. Методы решения задач [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Покровский В.В. – Электрон. текстовые данные. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 120 c. – Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996306411.html. – ЭБС «"Электронная библиотека технического ВУЗа»

6. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики [Электронный ресурс]/ Григорьев А.Д. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 432 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/33386. – ЭБС «IPRbooks».

 


Приложение 1

 






Приложение 2

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью .

 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .

 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .

 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

4. Решить систему методом простой итерации с точностью .

  С d   С d
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

5. Решить систему методом Зейделя с точностью .

 

  А b   A b
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

6. Решить систему методом простой итерации с точностью .

 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

7. Решить систему методом Ньютона с точностью .

 

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

 

 

8. По заданным значениям и найти прямую и параболу методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.







№15

N                  
X                  
Y                  

№16

N                    
X   0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 0,22 0,24 0,26 0,28
Y -1     1,1 1,3 -0,5 -0,3 0,5 0,7 1,5

№17

N                  
X                  
Y           2,5   3,3 2,8

№18

N                  
X                  
Y -5 -3,5 -5,3 -4 -6 -3,8 -4,3 -5,1 -4,8

№19

N                    
X                    
Y     -1   0,5 -0,15 -0,06 0,18 0,15 0,2

№20

N                  
X                  
Y                  

 


9. 1) Заданы значения функции в узлах , получающиеся делением отрезка на 5 частей. Найти значения функции при и с помощью интерполяционных формул Ньютона.

 

                                       
0,1 1,0 1,1 0,9 0,9 0,8 1,1 1,0 1,2 1,2 1,1 0,8 0,8 0,8 1,1 3,5 0,2 2,1 0,3 1,5 0,6
1,2 2,1 2,2 2,0 1,9 2,0 2,2 2,1 1,8 2,0 1,9 2,0 2,2 1,8 2,2 4,1 0,7 3,3 0,4 4,5 0,8
1,4 2,9 3,2 3,0 3,2 2,9 3,2 3,1 3,2 3,0 3,2 2,8 2,9 2,9 3,0 5,3 0,8 4,5 0,5 6,2 0,9
1,6 3,8 4,2 3,8 3,8 4,2 4,2 3,8 4,1 3,8 3,8 4,0 4,0 4,0 4,1 6,8 0,9 5,7 0,6 7,8 1,4
1,8 5,2 5,2 5,1 5,1 5,2 5,1 5,2 5,2 5,0 4,9 5,2 5,2 4,9 4,9 7,2 1,0 6,9 1,2 8,4 1,6
2,0 5,9 6,0 5,8 6,1 5,8 5,9 6,2 6,1 6,1 5,8 6,0 5,8 6,1 5,9 8,4 1,3 8,1 1,5 9,9 2,3

 

2) Заданы значения функции в точках . Найти значение функции при . Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.

 

             
            ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228467']=__lxGc__['s']['_228467']||{'b':{}})['b']['_699615']={'i':__lxGc__.b++};





Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.