|
|
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Основным вопросом функциональных рядов является вопрос о свойствах суммы 1) если члены ряда 2) если члены ряда интегрируемые (дифференцируемые) функции, то будет ли сумма ряда интегрируемой (дифференцируемой) функцией? Пример 18. Найдите сумму ряда Решение. Очевидно, что Сумма прогрессии равна Окончательно сумма ряда имеет вид:
Хотя все члены ряда являются непрерывными на отрезке Определение 8. Ряд На рисунке 1 приведена геометрическая иллюстрация равномерной сходимости функционального ряда:
Рис.1 Иллюстрация равномерной сходимости. Пример 18. Докажите равномерную сходимость функционального ряда Решение. Оценим остаток ряда: Выражение под знаком модуля при каждом фиксированном Лейбница и его сумма не превосходит первого члена:
Решая неравенство Таким образом, существует номер что Ответ: ряд сходится равномерно при Теорема 17. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если члены ряда Пример 19. Исследуйте на равномерную сходимость ряд Решение. При любых
Обобщённый гармонический ряд Ответ: ряд сходится равномерно при СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Теорема 18 (о непрерывности суммы ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд Тогда сумма ряда Теорема 19 (о почленном интегрировании ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд Тогда его можно почленно интегрировать на любом отрезке и справедлива формула Теорема 20 (о почленном дифференцировании ряда). Пусть в области 1) все члены ряда 2) ряд 3) ряд, составленный из производных Тогда в области его сумма ряд
Пример 20. Докажите равномерную сходимость функционального ряда Решение. Составим ряд из производных почленном дифференцировании исходный ряд Ответ: ряд сходится равномерно при СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Определение 9. Функциональные ряды вида Действительные числа Степенной ряд Так как заменой то в дальнейшем будем рассматриваются ряды вида Теорема 21 (Абеля). Пусть степенной ряд На рисунке 2 приведена геометрическая иллюстрация теоремы Абеля.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда Пример 21. Найдите область сходимости степенного ряда Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который в общем случае является знакочередующимся. Поэтому составим ряд из модулей и применим к нему признак Даламбера:
Ряд будет сходиться, если При При Ответ: областью сходимости степенного ряда Пример 22. Найдите область сходимости степенного ряда Решение. Зафиксируем x. Получим числовой ряд, который является знакоположительным для любых x. Применим признак Даламбера:
Ответ: областью сходимости степенного ряда Следствиями теоремы Абеля являются следующие теоремы. Теорема 22. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на любом отрезке из интервала сходимости. Теорема 23. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. При этом ряды, полученные почленным интегрированием или дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Пример 23. Найдите сумму ряда Решение. Интервалом сходимости данного степенного ряда является Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до x, где
Ответ:
  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
ряда в зависимости от свойств членов 
этого ряда. Возникают вопросы:
– непрерывные функции, то будет ли 
тоже непрерывной функцией?
, 
.
. Пусть 
. Ряд в этом случае представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
со знаменателем 
и сходится.
, 
.
.
функциями, сумма ряда 
оказалась разрывной функцией. Т.о. в общем случае сумма функционального рядя не всегда наследует свойства членов ряда.
называется равномерно сходящимся в области 
к сумме 
, если 
(номер, зависящий от 
и не зависящий от x), такой, что 
выполняется неравенство 
, 
(или 
).
на отрезке [0,1].
.
является знакочередующимся рядом, который сходится по признаку
.
, находим 
.
, не зависящий от x, такой
, 
, 
. Следовательно, по определению функциональный ряд 
сходится равномерно при 
.
.
, 
удовлетворяют неравенству 
, и числовой знакоположительный ряд 
сходится, то 
сходится равномерно в области 
.
.
выполняется неравенство:
.
сходится (
). Следовательно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд 
сходится равномерно при любом действительном 
.
.
являются непрерывными функциями;
сходится равномерно к сумме 
.
есть непрерывная функция в области 
.
являются непрерывными функциями,
сходится равномерно к сумме 
являются непрерывно-дифференцируемыми функциями;
сходится к сумме 
, сходится равномерно.
сходится равномерно,
можно почленно дифференцировать:
.
, 
.
и докажем его равномерную сходимость. Заметим, что 
. Обобщённый гармонический ряд 
сходится (
). Следовательно, по признаку Вейерштрасса функциональный ряд 
сходится равномерно при любом действительном 
. Тогда по теореме о
сходится равномерно при 
, причём 
.
или 
, составленные из степенных функций, называются степенными.
называются коэффициентами степенного ряда.
, а ряд 
.
ряд 
сходится в некоторой точке 
. Тогда он сходится абсолютно в любой точке 
, удовлетворяющей неравенству 
, и сходится равномерно в области 
. Пусть ряд расходится в некоторой точке 
. Тогда он расходится и во всех точках 
, таких, что 
.
или единственная точка 
.
.
.
, т.е. 
.
получим числовой знакоположительный ряд 
. Применим к нему предельный признак сравнения. Возьмём в качестве ряда сравнения 
который сходится как ряд Дирихле (
). Найдём предел 
. Следовательно, ряды 
и 
сходятся одновременно. Таким образом, ряд сходится на правом конце интервала сходимости 
получаем числовой знакочередующийся ряд 
, который сходится абсолютно, т.к. сходится ряд из модулей 
. На левом конце интервала сходимости 
является отрезок 
.
.
По признаку Даламбера степенной ряд будет сходиться, если 
, т.е. при 
. Подставляя 
и 
в исходный степенной ряд, получим расходящийся гармонический ряд 
. Таким образом, на концах интервала сходимости степенной ряд расходится.
.
.
. Составим ряд из производных: 
. Члены этого ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 
сумма прогрессии равна 
.
:
;
.
.