Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.





Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

Fгл = √[(ΣX)2 + (Y)2] (здесь и далее √ - знак корня),

а направляющий косинус – по формуле cos (Fгл, x) = FглХ / Fгл.

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

Мгл = m1 = m2 + m3 +....+ mn = MO(F1) + MO(F2) + MO(F3) +....+ MO(Fn), или

Мгл = ΣМO(Fi).

Эту пару с моментом Мгл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

***



 

 

Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:



1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда Fгл = 0, а Мгл ≠ 0), так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор Fгл и главный момент Мгл какой-либо плоской системы сил (рис.4а).
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент Мгл так, чтобы силы пары F и FΣ(рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору Fгл:

F = FΣ = Fгл; Мгл = М(F, FΣ),

причем сила F приложена в точке О противоположно Fгл.
Далее систему (Fгл, F), как взаимно уравновешенную, отбросим:

(Fглгл) = (Fгл,F,FΣ) ≡ FΣ.

В результате получим одну силу FΣ, эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем FΣ = Fгл.

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

FΣ = √[(ΣX)2 + (Y)2] = Fгл,

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

d = Мгл / Fгл.

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей FΣ относительно центра приведения О равен моменту Мгл пары (FΣ,F), т.е. главному моменту данной системы:

МО(FΣ) = М(FΣ,F) = Мгл.

Так как Мгл = ΣМО(Fi), а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

М(FΣ) = ΣМ(Fi).

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема:момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722), поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей FΣ плоской системы n параллельных сил:

(F1 + F2 + F3 +....+ Fn) ≡ FΣ.

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМO(Fi) = МO(FΣ) = FΣd, где: d – плечо равнодействующей FΣ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d:

d = ΣМO(Fi) / FΣ = ΣМO(Fi) / ΣFi, так как FΣ = ΣFi.

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d, следует учесть направление вектора FΣ и знак ΣМO(Fi).

***









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.