Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Модуль вещественного числа

Из элементарной математики известно, что действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать по величине. Перечислим основные свойства, которыми обладают эти операции. Множество всех действительных чисел будем обозначать через R, а его подмножества называть числовыми множествами.

I. Операция сложения. Для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число, называемое их суммой и обозначаемое а + b, так, что при этом выполняются следующие условия:

I.3. Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое О,

что для любого a

R выполняется условие а + 0 = а.

I.4. Для любого числа a

R существует число, называемое ему

противоположным и обозначаемое -а, для которого а + (-а) = 0.

Число а + (—b), а, b

R, называется разностью чисел а и b и обозначается а — b.

П. Операция умножения. Для любой пары действительных чисел а и b определено единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab (a • b), такое, что выполняются следующие условия:

II.3. Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что для любого а е R выполняется условие а • 1 = а.

II.4. Для любого числа

существует число, называемое ему обратным и обозначаемое a ^-1или

, для которого

= 1.

Число а

, называется частным от деления а на b и обозначается а: b или

или а/b.

для любых a,b,c

R выполняется условие (а + b)с = ac+bc

IV. Упорядоченность. Для действительных чисел определено отношение порядка. Оно состоит в следующем. Для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух

соотношений: либо а < b (читается "а меньше b"), или, что то же самое, b > а (читается "b больше а"), либо а > b, или, что то же самое, b < а. При этом предполагается, что выполняются следующие условия:

IV₂- Если а < b, то для любого числа с имеет место а + с < b + с.

Соотношения порядка называют также сравнением действительных чисел по величине или неравенствами. Запись а ≤ b, равносильная записи b ≥ а, означает, что либо а < b, либо а = b.

Из выполнения условий IV₂ и IV₃ вытекает одно важное свойство, называемое плотностью действительных чисел: для любых двух различных действительных чисел а и b, например, таких, что а < b, существует такое число с, что а < с < b. В самом деле, сложив каждое из равенств a = a, b = b c неравенством а < b, получим 2a<a + b<2b,

откуда а <

< b, т. е. в качестве числа с можно взять

Множество действительных чисел обладает еще свойством непрерывности.

V. Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств X и Y таких, что для каждой пары чисел х

X и у

Y выполняется неравенство x≤y, существует число а, удовлетворяющее условию x≤a≤y, х

X и у

Y (см рис.7.1.)

Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Поэтому можно дать аксиоматическое определение множества действительных чисел следующим образом.

Множество элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент — действительным числом.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет условиям I-V.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой (см.рис. 7.1.(2))

Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа — ее точками. В связи с этим иногда вместо а < b (соответственно вместо b > а) говорят, что точка а лежит левее точки b (точка b лежит правее точки а).

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через +∞ и — ∞ и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая при этом по определению, что для любого числа х

R. выполняется неравенство -∞< х < +∞.

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и —∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается

Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом ∞ (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность ∞ уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +∞, ∞и ∞ называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Сформулируем определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой R. Пусть a

, b

, а ≤b. Множество

— полуинтервалами, а все они — промежутками расширенной числовой оси. Точки а и b называются концами этих промежутков, а точки х такие, что а < х < b, — их внутренними точками. Если а и b — числа, а ≤b, то число b — а называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.

Модулем действительного числа х называется такое неотрицательное число, обозначающееся |x|, такое, что:

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |x| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета 0 до соответствующей точки А с абсциссой х: |x|=OA (см.рис. 4.2(1))

Наконец, модуль вещественного числа х можно определить следующим образом:

Если модуль числа х удовлетворяет неравенству

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: