Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Уравнения движения сплошной среды





В основу описания сплошной среды обычно кладутся определенные дифференциальные уравнения, связывающие ее характеристики, хотя в некоторых случаях, например, при описании разрывных течений, дифференциальные соотношения неприменимы. В этих случаях используют интегральные соотношения.

Основные дифференциальные уравнения, описывающие свойства сплошной среды, могут быть получены из интегральных балансных соотношений для физических величин, ее характеризующих. Применение балансных соотношений оказывается эффективным либо в тех случаях, когда известны локальные законы сохранения рассматриваемых величин, такие как закон сохранения массы или электрического заряда, либо в ситуациях, когда удается установить закон изменения рассматриваемой величины, как для импульса или кинетического момента системы.

Таким образом, рассматриваемые соотношения тесно связаны с законами сохранения или теоремами об изменении определенных механических, электрических или термодинамических величин и являются обобщением их на случай системы переменного числа частиц, возникающих при использовании переменных Эйлера.

Рассмотрим простейшие из них. Напомним, что при описании в переменных Эйлера, выделенный объем сплошной среды выбран всюду неподвижным по отношению к заданной системе отсчета.

Уравнение непрерывности

Рассмотрим изменение массы в некотором выделенном объеме сплошной среды , предполагая, что ее частицы могут свободно проникать сквозь поверхность , ограничивающую этот объем. Пусть - заданное поле плотности. Масса в выделенном объеме определяется интегралом

Изменение массы, в силу локального закона ее сохранения, могут быть вызваны только потоками массы через поверхность :

Балансные соотношения для массы приводят к уравнению:

,

которое в данном случае имеет вид:

.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, правую часть этого выражения можно преобразовать к интегралу по объему, так что выражение примет вид:

.

Поскольку полученное соотношение справедливо для любого объема сплошной среды, т. е. является тождеством относительно , то подынтегральное выражение в левой и правой частях этого равенства совпадает. Это приводит к уравнению непрерывности в дифференциальной форме:

.

Это соотношение можно записать в векторной форме:

.

Векторная величина называется плотностью потока массы.

Еще одна распространенная форма записи связана с введением субстанциальной производной . Понятие о субстанциальной производной связано с представлением о дифференцировании вдоль траектории движения частицы и фактически представляет собой переход от описания Эйлера к описанию Лагранжа. Мы будем рассматривать субстанциальную производную только как некоторый дифференциальный оператор, упрощающий форму записи уравнений.



Выполняя дифференцирование во втором слагаемом, получаем:

.

Вводя субстанциальную производную, получим:

.

В векторной форме это соотношение имеет вид:

.

Если рассматриваемая сплошная среда является несжимаемой, т.е. , то из уравнения непрерывности следует, что , т.е. вдоль любой линии тока плотность среды остается постоянной .

Уравнения Эйлера

Несколько сложнее получить дифференциальные уравнения, определяющие изменение импульса сплошной среды. Воспользуемся для этого теоремой об изменении импульса системы, учитывая, что число частиц в ней может изменяться.

Вновь рассмотрим мысленно выделенный объем , проницаемый для частиц сплошной среды, и определим импульс этого объема. Поскольку импульс элементарного объема определяется уравнением:

,

полный импульс выделенного объема определяется интегралом:

.

Изменение импульса в этом объеме вызвано двумя независимыми факторами. Частично изменение импульса в выделенном объеме обусловлено переносом его частицами, пересекающими границу объема. Поток импульса через границу определяется выражением:

.

Другая часть изменения импульса выделенного объема вызвана приложенными к нему внешними силами и определяется соответствующей теоремой динамики системы частиц. Это приводит к следующему уравнению, учитывающему действие как объемных, так и поверхностных сил:

.

Подставляя сюда выражение для потока импульса через границу, получим выражение для скорости изменения импульса рассматриваемого объема:

.

Переходя, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, от интегрирования по поверхности к интегрированию по объему, получим окончательно:

.

В силу произвольности объема интегрирования, можно перейти к дифференциальному уравнению, определяющему изменение импульса сплошной среды:

.

Для идеальной жидкости это уравнение принимает вид:

.

и называется уравнением Эйлера.

Использование субстанциальной производной позволяет записать уравнение в векторной форме

,

которую можно упростить, учитывая уравнение непрерывности

Вместе с уравнением непрерывности это уравнение составляет основу описания идеальной сплошной среды.

6. Элементы термодинамики

Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера позволяют определить поле скоростей и поле плотности для системы, в которой задано поле давлений и поле массовых сил. Однако в обычной постановке задач поле давлений не задано. Для формулировки задач о движении сплошной среды в этом случае необходимы дополнительные соотношения, связывающие давление, плотность и скорость. Такие соотношения могут быть получены в рамках термодинамики. Напомним основные свойства классических термодинамических систем (ТД систем).

Характеристики тела определяются совокупностью механических величин, таких как масса, плотность, объем, полная энергия, давление, а также специфических термодинамических величин, определяющих параметры теплового движения, таких как температура. Термодинамические характеристики могут быть использованы только для систем, находящихся в термодинамическом равновесии.

Состояние однородной системы при заданном числе частиц N = const определяется термодинамическими переменными – давлением, объемом и температурой - p, V, T . Связь между этими переменными определяется свойствами рассматриваемого вещества и задается термическим уравнением:

.

Для идеального газа термическим уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева:

.

Первое начало термодинамики

Одной из основных характеристик системы частиц является ее энергия. Полная энергия молекул, включающая энергию хаотического (теплового) движения молекул и энергию их взаимодействия в рассматриваемой системе отсчета, усредненная за время измерения, называется внутренней энергией. Внутренняя энергия термодинамической системы является функцией состояния. Напомним, что для идеального одноатомного газа внутренняя энергия определяется соотношением:

.

Воздействие на ТД систему внешних тел условно подразделяется на механическое, вызывающее деформации (изменение объема), и тепловое, которое может изменять состояние системы без деформаций.

При механическом воздействии изменение внутренней энергии системы определяется совершенной ею механической работой. Величина теплового воздействия определяется количеством энергии, передаваемой системе в процессе теплопередачи, и измеряется количеством теплоты. Суммарное изменение внутренней энергии во всех процессах

.

Количество теплоты и механическая работа, совершенная системой при переходе из начального состояния в конечное, зависят как от этих состояний, так и от характера перехода. То есть, они не являются функциями начального и конечного состояний рассматриваемой системы.

Теплопередача обычно сопровождается изменением температуры системы. Если изменение температуры при теплопередаче пропорционально количеству теплоты, полученной системой:

,

что обычно бывает в случае малых изменений в системе

,

то коэффициент пропорциональности, зависящий как от вещества, так и от характера рассматриваемого процесса, называется теплоемкостью:

.

Здесь индекс указывает характер процесса: изобарный, изохорный и т.д.

В общем случае теплоемкость процесса зависит от начального состояния системы. Если механическая работа системой не совершается, то количество теплоты, полученное системой, равно изменению ее внутренней энергии, которая является функцией ее термодинамических параметров, например, температуры и объема

.

Малое изменение внутренней энергии системы в этом случае приводит к малому изменению ее температуры. Коэффициент пропорциональности в этом случае называется теплоемкостью при постоянном объеме, т.к. , и зависит от температуры и объема. Задание называется калорическим уравнением:

Задание термического и калорического уравнений полностью определяет модель рассматриваемого вещества.

Идеальный газ

Одной из простейших содержательных моделей является модель идеального газа. Для массы m идеального одноатомного газа теплоемкость изохорного процесса

.

Теплоемкость изобарного процесса такого газа связана с изохорной теплоемкостью соотношением Майера:

.

Вводя отношение теплоемкостей , соотношение Майера можно записать в виде

.

Удобной моделью для быстро протекающих механических обратимых процессов, когда теплообменом можно пренебречь, является адиабатическое приближение. Теплоемкость системы в таком процессе равна нулю. Используя первое начало термодинамики в дифференциальной форме, получим уравнение, связывающее давление и объем в этом процессе – уравнение Пуассона.

При малых изменениях объема системы элементарная работа пропорциональна изменению объема, а коэффициент пропорциональности определяется термическим уравнением состояния , так что первое начало термодинамики может быть представлено в дифференциальной форме, причем все величины, входящие в правую часть уравнения являются функциями состояния:

.

Для идеального газа . С учетом термического уравнения первое начало термодинамики для адиабатических процессов приводит к уравнению

.

Если переход из начального состояния в конечное можно рассматривать как последовательность промежуточных квазиравновесных состояний, то дифференциальное соотношение допускает интегрирование:

.

Учитывая термическое уравнение, отсюда легко получить зависимость давления от объема системы – адиабату Пуассона, описывающую обратимые процессы без теплопередачи:

.

Здесь - параметры начального состояния системы.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.