Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Решение системы линейных уравнений





Системы уравнений в Excel с использованием встроенных функций для работы с матрицами решаются довольно просто.

Как известно, система линейных уравнений может быть представлена в виде где коэффициенты аij образуют матрицу А, коэффициенты в правой части уравнений bt формируют вектор В, и индекс i (как и индекс j)пробегает значения от 1 до N (т.е. матрица А является квадратной — будем рассматривать именно такие систе­мы), a N, в свою очередь, определяется числом неизвестных переменных хj, относительно, которых решается система. Эта же система может быть записана в матричном виде как АХ = В, где через X обозначен вектор неизвестных переменных.

 

До решения системы уравнений полезно разобраться в ее свойствах. Системы уравнений могут быть совместными и несовместными. Совместной называется система, если она имеет ровно одно решение. Условием совместности квадратной системы, т.е. когда число уравнений равно числу переменных, является неравенство нулю определителя системы. Система называется несовместной, когда она имеет бесчисленное множество решений; в этом случае определитель системы равен нулю.

Рассмотрим пример.

Решить систему уравнений:

 

 

Для решения этой системы в Excel в рабочую таблицу следует ввести все данные, относящиеся к этой задаче: матрицу коэффициентов системы (т.е. матрицу А), а также вектор со значениями правых частей уравнений (вектор В).

Общий вид:

 

Решение с.л.у. методом Крамера.

Если система уравнений имеет вид АХ = В, то значение переменной х. может быть найдено согласно соотношению xi = Di / D, где D есть определитель матрицы А, а Di тоже определитель, но только мат­рицы Аi, которая получается из матрицы А, если в ней заменить i-й столбец вектором коэффициентов В правых частей системы уравнений. Для вычисления определителей матриц используется функция МОПРЕД(диапазон).

Вид с включенными формулами:

 

Решение с.л.у. методом обратной матрицы

Решение такой системы, опять же в матричном виде, может быть представлено как X = А-1 В, и здесь через А-1 обозначена матрица, обратная к А. Другими словами, по определению матрица А-1 такая, что А-1 А = Е, а Е- единичная матрица (все диагональные элементы равны единицы, все прочие элементы — нулю). Поэтому формально процедура поиска решения системы линейных уравнений сводится к отысканию обратной матрицы и пере­множению матрицы и вектора.

Для вычисления обратной матрицы используется функция МОБР, для произведения матриц – МУМНОЖ. Не забывайте при работе с функциями массива выделять диапазон для результата и нажимать матричный аккорд!

Пример с включенными формулами:

Решение с.л.у. методом Поиск решения

Для того, чтобы использовать метод Поиск решения, надо подготовить целевую, изменяемые ячейки и ограничения. В целевую ячейку и ограничения записываются формулы для решения каждого уравнения, например: a11x1+a12x2+a13x3-b1.



Целевым может быть любое уравнение системы, тогда остальные уравнения станут ограничениями. Изменяемые ячейки – те, в которые будут подбираться корни. Изначально изменяемые ячейки заполняются нулями. После выполнения Поиска решения (Данные/Поиск решений) в изменяемые ячейки Excel сам подбирает корни системы уравнений.

Ограничения добавляются в Поиск решения с помощью кнопки Добавить. В левом поле выбирается адрес ячейки с ограничением, в среднем знак отношения (например =), в левом – значение (0). Затем надо нажать ОК.

Поиск решения

 

Добавление ограничений:

Если на вкладке Данные отсутствует инструмент Поиск решения, его необходимо туда добавить (Файл/Параметры Excel/Надстройки/Поиск решения/Перейти/ОК). Если же Поиск решения отсутствует в Надстройках, его необходимо установить с установочного диска.

Проверка в правильности нахождения корней уравнения заключается в том, что должны выполняться равенства:

А * А-1 = Е (единичная матрица)

А * Х = В.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.