|
|
Комплексный двухкартинный чертеж точки.Плоскости П1 и П2 принято называть горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственно горизонтальными и фронтальными проекциями.
Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x12, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции оси x, оси z2 - фронтальной проекции оси z, и оси y1 - горизонтальной проекции оси y. Оси z2 и y1 расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точки О. В ряде случаев оси z2 и y1 не обозначают (рис. 2.4).
Вместе с проекциями А1, А2 точки А и прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собой двухкартинный комплексный чертеж точки (эпюр точки). Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции. Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет. Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа. Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x12 эпюра. Действительно, порознь имеет место А1Аx1 Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А1 и А2, называется линией проекционной связи. Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.
Рассмотрим, каким образом необходимо преобразовать чертеж, чтобы заменить плоскость П2 на П4 , причем П4 При замене одной из плоскостей проекций, как видно из рис. 2.5, имеется два инварианта (величины, остающиеся постоянными при преобразованиях): 1) проекция точки на незаменённую плоскость проекций. В данном случае это точка А1; 2) расстояние точки до незаменённой плоскости проекций. В данном случае это zА. На рис. 2.6 показано построение проекции точки А4 по данным А1 и А2 и имеющемуся направлению новой оси проекции x14 при замене П2 на П4. На этом рисунке даны старая и новая оси проекций. Около каждой оси отмечены плоскости проекций, пересечением которых они являются. Из точки А1, которая является инвариантом при данном преобразовании, проводим линию связи перпендикулярно к оси x14. От точки пересечения линии связи А14 с осью x14 откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П1. Тогда А14А4 = zА = А12А2. На рис. 2.7 показано преобразование чертежа, при котором заменена плоскость П1 на П5. Здесь инвариантами являются проекция А2 и расстояние до незамененной плоскости П2. Построения понятны из чертежа. Очевидно, что А25А5 = yА = А1А12.
Если необходимо заменить обе плоскости проекций, то преобразование нужно выполнять последовательно: сначала заменить одну плоскость проекций, а потом вторую. На рис. 2.8 показано преобразование, в котором система П1 - П2 заменена на систему П5 - П6. Сначала заменена плоскость П1 на П5, а после этого П2 на П6.
2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки. Оси проекций z и y (рис. 2.1) образуют плоскость, перпендикулярную к оси x и к плоскостям П1 и П2. Обозначим эту плоскость П3 и назовем ее профильной плоскостью проекций.
В данном преобразовании старая система плоскостей проекций П1 - П2 заменяется на новую П2 - П3. Проекция А2 остается неизменной. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций, и вдоль нее от новой оси откладываем второй инвариант - расстояние точки А до плоскости П2, равное yА = А1А12. Новая ось проекций должна быть названа x23, но, учитывая традиции в изучении начертательной геометрии и то, что новая ось совпадает с осью z, мы вместо x23 напишем z23. На рис. 2.10 и рис. 2.11 показаны практические приемы построения профильной проекции точки. Из точки А2 в обоих случаях проводится линия связи, параллельная горизонтальной оси эпюра. Вдоль этой линии от точки А23 откладывается отрезок, равный yА = А1А12. На рис. 2.10 эта операция производится с помощью дуги окружности, на рис. 2.11 с помощью отражения от прямой, проведенной под углом 450 к горизонтальной оси чертежа. Порядок построения показан стрелками.
Параллелепипед координат. На рис. 2.12 показана пространственная модель плоскостей проекций и построены проекции точки А на горизонтальную - А1, фронтальную - А2 и профильную - А3 плоскости проекций. Если плоскости проекций продолжить во все стороны, то они разобьют пространство на 8 частей, называемых октантами. Ограничимся рассмотрением проекций фигур, находящихся в первом октанте, которому соответствуют положительные направления осей. При проецировании точки на плоскости проекций образуется параллелепипед, у которого три пространственных ребра АА1, АА2 и АА3 совпадают с проецирующими лучами. Шесть ребер параллелепипеда лежат на плоскостях проекций - по два ребра на каждой: А1А12 и А1А13 на П1; А2А12 и А2А23 на П2; А3А13 и А3А23 на П3. Эти ребра образуются пересечением плоскостей, заданных парами пересекающихся проецирующих лучей, с плоскостями проекций. Последние три ребра совпадают с осями проекций: А12О - с осью x12, А13О - с осью y13 и А23О - с осью z23. Так как данная система плоскостей проекций совпадает с прямоугольной системой координат, то полученный параллелепипед можно назвать параллелепипедом координат.
Совмещение плоскостей проекций осуществляем как и для случая построения комплексного двухкартинного чертежа точки. Плоскость П1 при этом вращается вокруг оси x12 до совмещения с плоскостью П2, и горизонтальная проекция оси у1 опускается вниз (рис. 2.13). Плоскость П3 вращается вокруг оси z23 вправо до совмещения с плоскостью П2. При этом оси х12 и z23 остаются на месте. Профильная проекция оси у3 поворачивается вместе с плоскостью П3 вправо и встает на одну линию с осью х12. На рис. 2.14 показан комплексный трехкартинный чертеж (эпюр) точки А. Также как и для комплексного двухкартинного чертежа точки в данном случае имеем:
1) горизонтальная и фронтальная проекции точки А лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси х12, т.е. А1А2 2) фронтальная и профильная проекции точки А лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси z23, т.е. А2А3 Проекции точек, лежащих на плоскостях проекций. Проекции точки, лежащей на плоскости, можно получить, приравнивая нулю соответствующую координату, так как координата – отрезок, выражающий расстояние от точки до плоскости проекции (рис.2.15).
Поэтому, если zА =0, то А Проекции точек, лежащих на осях проекций. На рис. 2.16 рассмотрены случаи, когда точка А лежит на осях проекций: А
Построение проекций точек по координатам. Последовательность построения проекций точки А (xA, yA, zA) следующая (рис. 2.17): 1) От точки О вдоль оси х12 откладываем отрезок длиной xA и отмечаем точку А12.
3) Вниз на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной yA и получаем горизонтальную проекцию А1. 4) Вверх на линии проекционной связи от точки А12 откладываем отрезок длиной zA и получаем фронтальную проекцию А2. 5) Строим профильную проекцию А3, для чего из точки А2 проводим линию проек-ионной связи перпендикулярно оси z23 и от полученной точки А23 откладываем отрезок длиной yA.
Проекции прямых линий
Положение прямой линии в пространстве вполне определяется двумя ее любыми точками. В общем случае проекцией прямой является прямая, в частном случае - точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций. Для построения проекций прямой достаточно иметь либо проекции двух ее точек, либо проекцию одной точки прямой и направление прямой в пространстве. По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие. 2.2.1. Прямые общего положения. Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций. Проекции А1В1, А2В2 и А3В3 отрезка АВ прямой АВ общего положения (рис. 2.18, а) наклонены под острыми углами к осям x12, y13 и z23. Длины проекций отрезков этой прямой всегда меньше самого отрезка. Трехкартинный комплексный чертеж отрезка прямой общего положения, построенный по двум точкам А и В, показан на рис.2.18, б.
1) горизонтальная уровня a (горизонталь), параллельная П1 (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а, б); 2) фронтальная уровня (фронталь), параллельная П2 (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а); 3) профильная уровня, параллельная П3 (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б). На рис. 2.20 наглядные изображения прямых b и c относительно плоскостей проекций не показаны.
Углы наклона прямых уровня a, b и c к плоскостям проекций П1, П2 и П3 принято обозначать соответственно α, β и γ (на рис. 2.19 углы α, β и γ не показаны). 2.2.3. Проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых: 1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П1 (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а); 2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П2 (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б); 3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П3 (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в). На рис. 2.21 в скобки заключены проекции невидимых точек. Вопрос определения видимости точек на проекциях подробнее будет рассмотрен ниже в п. «Скрещивающиеся прямые». У проецирующих прямых одноименные проекции представляют собой точки, что вытекает из существа проецирующей прямой, вдоль которой ведется проецирование. Каждая разноименная проекция проецирующей прямой перпендикулярна оси, отделяющей ее от одноименной проекции, а разноимённая проекция отрезка, расположенного на прямой уровня, является натуральной величиной этого отрезка.
2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения. Натуральную величину прямой частного положения можно сразу определить на комплексном чертеже этой прямой.
Дополнительная плоскость Π4 проведена параллельно AB (х14||A1B1). Прямая AB преобразована в положение фронтали, следовательно A4B4 – натуральная величина AB. Проведя дополнительную плоскость Π5||AB (х25||A2B2), также можно определить натуральную величину AB. A5B5 – натуральная величина AB. Прямая AB в системе Π2 - Π5 стала горизонталью.
2.2.5. Взаимное положение прямых. Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. Параллельные прямые. Из свойств параллельных проекций следует, что если прямые в пространстве параллельны, то все три пары их одноименных проекций параллельны. Очевидно и обратное положение: если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны. Для определения параллельности прямых в общем случае достаточно параллельности двух пар одноименных проекций. В случае, если определяется параллельность линий уровня, то одной из двух пар параллельных проекций должна быть проекция на одноименную плоскость.
Пересекающиеся прямые. Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Из свойств параллельных проекций известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на проекциях прямой. Если точка лежит и на той и на другой прямой, т. е. в точке пересечения прямых, то ее проекция должна лежать сразу на двух одноименных проекциях прямых, а следовательно, в точке пересечения проекций прямых. Так, если отрезки AB и CD двух прямых пересекаются в точке K, то проекции отрезков A1B1 и C1D1 пересекаются в точке K1, являющейся проекцией точки K (рис. 2.26, а). Поэтому, если одноименные проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекционной связи, то прямые в пространстве пересекаются (рис. 2.26, б).
Для определения того, пересекаются прямые или нет, достаточно, чтобы это условие выполнялось для двух каких-либо проекций. Исключение составляет случай, когда одна из пересекающихся прямых является профильной уровня. В этом случае для проверки пересечения прямых необходимо построение профильной проекции. Пусть через точку A необходимо провести горизонталь b, пересекающую прямую a (рис. 2.27, а). Для этого через точку A2 проводим b2║ x12 (этап 1) до пересечения с a2 в точке K2 (рис.2.27, б). Далее с помощью линии проекционной связи на a1 находим точку K1 (этап 2) и, соединяя точки A1 и K1 (этап 3), получаем b1.
Каждая такая точка пересечения является проекцией двух точек, принадлежащих прямым; эти две точки лежат на одном проецирующем луче и называются конкурирующими.
Точки K и L (рис. 2.28, а) лежат на одном горизонтально-проецирующем луче. Горизонтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения горизонтальных проекций a1 и b1 прямых. Точка K Точки M и N лежат на одном фронтально-проецирующем луче (рис. 2.28, б). Фронтальные проекции точек совпадают и находятся в точке пересечения фронтальных проекций прямых a2 и b2. Точка M Проекции кривых линий
Кривые линии могут быть плоскими и пространственными. Они могут быть заданы аналитически с помощью уравнений и графически с помощью чертежа. В начертательной геометрии кривые линии задают с помощью чертежа. Для построения проекций кривых линий необходимо знать приемы построения некоторых локальных характеристик: радиуса и центра кривизны, касательной, нормали и др. 2.3.1. Плоские кривые линии. Плоскими называются кривые линии, все точки которых принадлежат одной единственной плоскости. Искривленность кривой характеризуется радиусом кривизны или кривизной.
MM1. Пусть точка M1 двигается вдоль кривой по направлению к точке M. В момент совпадения точек M1 и M секущая становится касательной. Нормалью в данной точке M называется прямая, перпендикулярная к касательной. Центр кривизны (центр соприкасающейся окружности) всегда лежит на нормали. Касательная как с плоской, так и с пространственной кривой имеет одну точку соприкосновения. Следовательно, проекция касательной к пространственной кривой будет касательной к проекции кривой, так как будет иметь с проекцией кривой только одну точку соприкосновения. Рассмотрим практические способы построения касательных к плоским изображениям кривых, которые также могут быть проекциями пространственных кривых. Построение касательной с помощью зеркальца. К изображению кривой в данной точке ребром приставляют зеркальце. Ставят его поперек кривой и поворачивают его до тех пор, когда отражение кривой и сама кривая будут представлять собой плавную, без изломов линию. В этот момент ребро зеркальца направлено точно по нормали. Касательная будет к ней перпендикулярна. Построение касательной с помощью кривой ошибок. Кривой ошибок называется кривая линия, каждая точка которой строится по некоторому правилу. Только одна точка кривой ошибок отвечает необходимому условию. Все остальные точки являются ошибками.
1) Через точку K проводим несколько секущих AB (A1B1, A2B2 и A3B3) и каждую делим пополам, обозначив середины секущих буквой C (C1, C2 и C3). 2) Соединяем точки C1, C2 и C3 плавной кривой и получаем кривую ошибок m. Продолжаем m до пересечения с заданной кривой l в точке M. В точке касания длина секущей равна нулю и ее середина совпадает с точкой касания. Поэтому считаем, что точка M пересечения кривой ошибок m с заданной кривой l и есть точка касания. 3) Точку K соединяем с M и получаем касательную t. Пусть через точку M кривой l необходимо построить касательную t и нормаль n (рис. 2.32). Последовательность построений в этом случае будет следующая: 1) В произвольном месте чертежа проводим прямую i примерно перпендикулярно будущей касательной. 2) Через точку M проводим ряд секущих a, b, c с одной и d, e, f с другой стороны от точки M, продолжая их до пересечения с прямой i. 3) От точек A, B, C пересечения секущих a, b, c с прямой i вдоль их откладываем длины секущих MA1, MB1, и MC1 слева от прямой i и получаем точки A2, B2 и C2. Для секущих d, e, f длины MD1, ME1 и MF1 откладываем справа от прямой i и получаем точки D2, E2 и F2. 4) Точки A2, B2, C2, …, F2 соединяем плавной кривой и получаем кривую ошибок m, которая пересекается с прямой i в точке K. 5) Соединяем точку M с точкой K прямой t, которая является секущей нулевой длины, т. е. касательной к заданной кривой l в точке M. 6) Через точку M перпендикулярно касательной t проводим нормаль n.
2.3.2. Пространственные кривые линии. Пространственные кривые линии имеют двоякую кривизну. Все точки пространственной кривой не лежат в одной плоскости. Ознакомимся, в качестве примера, с цилиндрической винтовой линией, которая имеет большое применение в технике. Цилиндрическая винтовая линия располагается на поверхности прямого кругового цилиндра. Она образуется при сложном движении точки. Точка движется равномерно и прямолинейно вдоль образующей цилиндра и равномерно вращается вместе с образующей вокруг оси цилиндра. Винтовая линия называется правой, если при своем поступательном движении от наблюдателя точка вращается по ходу часовой стрелки, и левой, если против хода часовой стрелки. Построение проекций цилиндрической винтовой линии дано на рис. 2.33. Пусть имеется цилиндр диаметром d, с осью i. Наметим 12 образующих цилиндра, расположенных на равных расстояниях от друг друга. Будем считать, что образующая, переходя из одного положения в другое, равномерно вращается вокруг оси i. Вверх вдоль образующей движется точка. При повороте образующей на 1/12 оборота точка перемещается вверх на 1/12 шага h. Шагом винтовой линии называется величина перемещения точки параллельно оси при ее повороте на один полный оборот.
Соединяя последовательно фронтальные проекции полученных точек, строим фронтальную проекцию винтовой линии, которая представляет собой синусоиду. Горизонтальной проекцией винтовой линии является окружность. Если развернуть цилиндрическую поверхность вместе с нанесенной на нее винтовой линией, то вращательное движение образующей на развертке превращается в ее поступательное движение вдоль развернутой окружности основания цилиндра. В результате сложения двух равномерных поступательных движений вдоль развернутой окружности вправо и вдоль образующей вверх образуется прямая линия. Угол наклона развернутой винтовой линии к основанию: Ψ= arctg где h - шаг винтовой линии; d - диаметр образующего цилиндра. Угол Ψ называется углом наклона винтовой линии. Если навернуть винтовую линию обратно на цилиндр, то касательные в каждой точке винтовой линии наклонены к плоскости основания цилиндра под постоянным углом Ψ. Построим касательную к винтовой линии в точке M. Как было показано выше, проекция касательной к кривой линии касательна к проекции этой кривой. Возьмем некоторую точку M, принадлежащую винтовой линии и заданной проекциями M1 и M2, и проведем через нее касательную к винтовой линии. Горизонтальная проекция касательной к винтовой линии будет касательна к окружности, в которую она проецируется на П1, и перпендикулярна радиусу i1M1. При построении касательной к фронтальной проекции винтовой линии используем свойство одинакового наклона всех касательных. Отметим на развертке винтовой линии точку M1, соответствующую пространственной точке M, лежащей на винтовой линии. Из M1 опускаем перпендикуляр к развернутому основанию цилиндра и получаем точку M2. При этом отрезок основания O1M2 равен дуге окружности, на которую опирается часть винтовой линии от ее начала до точки M. Отрезок O1M2 называется подкасательной. Из горизонтальной проекции M1 проводим касательную к окружности и откладываем на ней отрезок, равный подкасательной O1M2, и получим точку A1 - основание касательной. Точка A1 лежит на плоскости П1, т. к. A Можно представить себе винтовую линию и на других поверхностях, например на конической поверхности, на сфере и т. д. Если вращать образующую конической поверхности и перемещать вдоль нее точку, то образуется коническая винтовая линия. Если вращать окружность вокруг своей оси и вдоль нее перемещать точку, то образуется сферическая винтовая линия. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже Поверхностью в геометрии называется граница, отделяющая геометрическое тело (цилиндр, конус, шар и т.д.) от внешнего пространства. На чертежах (эпюрах) изображают только точки и линии (прямые или кривые). Поэтому поверхность можно изобразить только тогда, когда она проецируется в линию или совокупность линий. Поверхность может быть задана с помощью модели (обувная колодка, манекен и др.), с помощью уравнения, кинематически – как след движущейся в пространстве линии, и др. В начертательной геометрии принят кинематический способ образования поверхности. Можно сказать, что поверхность – это непрерывная совокупность последовательных положений движущейся в пространстве прямой или кривой линии. Линия, которая при своем движении образует поверхность, называется образующей. 2.4.1. Задание поверхности с помощью определителя. Для того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещается в пространстве. Законы движения образующих могут задаваться различно: 1) Образующая движется, пересекая какую-либо неподвижную линию, которая называется направляющей. 2) Образующая движется, пересекая две или три направляющие линии. 3) Образующая движется параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизма и др. Образующая вместе с геометрическими фигурами, определяющими ее движение, а также закон ее движения составляют определитель поверхности. Можно сказать, что определитель поверхности представляет собой совокупность независимых параметров, однозначно задающих поверхность. Определитель состоит из двух частей: 1) Геометрическая часть – фигуры (точки, линии, поверхности) подвижные и неподвижные, с помощью которых образуется поверхность. 2) Алгоритмическая часть – правило движения (закон движения) образующей по отношению к неподвижным фигурам определителя. В ряде случаев образующая при своем движении может деформироваться, что тоже оговаривается в алгоритмической части определителя. Основанием к составлению определителя является анализ способа образования поверхности и ее основных свойств. Каждая поверхность может быть задана разными определителями. Для примера рассмотрим определитель произвольной цилиндрической поверхности (рис. 2.34). Запись определителя имеет вид:
Ф (l, a) - цилиндрическая поверхность (геометрическая часть) (алгоритмическая часть)
В записи алгоритми-ческой части дается название поверхности. Для поверх-ности с данным названием общеизвестно, какое движе-ние совершает l, образуя поверхность Ф. Но можно и подробно записать характер   Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциями А1 и А2 точки А (рис. 2.2) хотя и определяет положение точки А в пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру, совмещаем плоскости проекций. При этом плоскость П1, вращаясь вокруг оси x, опускается вниз до совмещения с плоскостью П2. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций
и проекции точек на них.
Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.
x1 и А2Аx2 
2.1.2. Замена плоскостей проекций. Плоскостей, перпендикулярных к плоскости П1, кроме плоскости П2, можно провести множество, и точно также к плоскости П2 можно провести множество перпендикулярных плоскостей.
Построение профильной проекции точки. Профильную проекцию А3 точки А на плоскость П3 найдем, заменив П1 на П3 (рис. 2.9).
П1 (рис. 2.15, а). При уА =0 А 
2) Через точку А12 проводим линию проекционной связи перпендикулярно оси х12.
2.2.2. Прямые уровня. Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций - П1, П2 или П3. Следовательно, имеем три вида прямых уровня:
Одноименные проекции отрезков прямых уровня проецируются в натуральную величину, а разноименные параллельны осям, отделяющим их от одноименных. При этом для горизонтали одноименная проекция - горизонтальная, а разноименные - фронтальная и профильная и т. п.
Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения можно применить рассмотренный ранее (см. п. 2.1.2) способ замены плоскостей проекций. На рис.2.22 показано определение натуральной величины (Н.В.) отрезка AB прямой общего положения и определение углов наклона его к Π1 (угол α) и к Π2 (угол β) этим способом.
На рис.2.23 показано определение натуральной величины AB методом треугольника. Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – алгебраическая разность расстояний его концов от плоскости Π1 (ΔZ).
На рис. 2.24 показаны проекции параллельных прямых a и b общего положения, где a1║ b1 и a2║ b2. На рис. 2.25 показаны две горизонтали c и d. У горизонталей фронтальные и профильные проекции всегда параллельны осям, отделяющих их от одноименных горизонтальных проекций, т. е. c2 ║ d2 ║ x12 и c3 ║ d3 ║ y3. Но горизонтальные их проекции не параллельны, т. е. c1 ╫ d1. Следовательно, прямые c и d не параллельны.
Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые a и b не лежат в одной плоскости и, следовательно, не параллельны и не имеют общих точек (рис.2.28, а). Поэтому, если прямые скрещивающиеся, то хотя бы одна пара их одноименных проекций не параллельна, и точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 2.28, б).
Окружность, соприкасающаяся с кривой а в данной точке M (рис. 2.29) проходит через точку M и бесконечно близкие от нее точки M1 и M2. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны, а центр ее - центром кривизны. Кривизной (К) называется величина, обратная радиусу, т. е. K= 1/ R.
Касательной в данной точке M к кривой a (рис. 2.30) называется предельное положение секущей прямой, проведенной через точку M, когда ее длина становится равной нулю. На рис. 2.30 проведена секущая
Пусть, например, через точку K требуется провести касательную t к кривой l (рис.2.31). Для этого выполняем следующие действия:
,
Эта запись дается совместно с чертежом. В записи геометрической части буквой Ф обозначается поверхность, буквой l – образующая, буквой а - направляющая. Форма и положение в пространстве образующей и направляющей определяются по чертежу.