|
Собственные частоты и формы колебаний системы с двумя степенями свободы. Главные координаты.
Системы с 2-мя степенями свободы:
Собственные колебяния(для первого рисунка): =>
-главные колебания ; Если положение системы, от которого отсчитываются перемещения является положением устойчивого равновесия, то все корни Ур-я действительны и положительны. Таким образом, система с 2 степенями свободы имеет 2 частоты собственных колебаний(). В общем случае все корни, а значит и все собственные частоты различные. Т2 >0; (d+a)/2=p>0; Q=d(a-b)=df>0 1-й тон колебаний 2-й тон колебаний Каждой собственной частоте соответствует определённая форма колебания, т.е. определённое соотношение между всеми амплитудными перемещениями Произвольно задав одно из амплитудных перемещений из уравнения можно найти второе. Собственные формы колебаний показывают отношение м/д максимальными амплитудами при главных колебаниях при заданной частоте.
Собствен. Форма- величина безразмерная А1 задаёт масштаб.
Главные нормальные координаты – координаты в которых кинемат. И потенц. Энергия представлены квадратичными формами в канонич.виде. Переход к главным нормальным координатам. Т.О главных формах колебаний. Переход к ГНК осуществляется заменой переменных:
Док-во: =>
Основной параметрический резонанс в уравнении Матье. Границы области неустойчивости, решение и с.д.у. для амплитуды и фазы решения в первом приближении. В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах возникают нарастающие колебания системы, имеет место параметрический резонанс. - основной параметрический резонанс. - резонанс второго порядка.. и т.д. - уравнение Матье. -Коэф при ; -при ; -всё остальное. ; ; найдём д.у и решения амплитуды и фазы. /2 Граница области неустойчивости =0; =0 => Замена Боголюбова => 1)
2) ;a(t)->∞ При t→∞ t пропорционально линейному закону, причина в том,что мы взяли только первое приближение. 3) Колебания систем с двумя степенями свободы. Случай нулевых и кратных собственных частот. Случай нулевых частот ; ; ; 1) ; ; ; 2) ; ; ; Наличие нулевой собственной частоты говорит о том, что система может двигаться как жесткое целое. Имеется КА состоящий из 2-х отсеков, соединенных фермой. ; ; ; ; ; Случай кратных частот 2 степени свободы. Возможны 2 независимых движения: по ОХ и по ОУ.
; ; ; ; ;
если bd=0 b=0 d=0 a=f Метод последовательных приближений. (1) малый параметр (2) – асимптотический ряд ; n – номер приближения невозмущенное движ-е Симпатические маятники ; i=1,2
;
(1) - (2): (1) + (2): ; ; ; пусть ; н.у. t=0 ; ; ; ; ; ; ; ;
Метод Пуанкаре на примере уравнения Матье в первом приближении. (метод исследования параметрических колебаний)
α – частотная расстройка Рассмотрим метод Пуанкаре на примере уравнения Матье:
Уравнение (*): Коэффициенты при резонансных слагаемых: При : При : Возведём в квадрат и сложим: Пусть , подставляем в ур-е (*). Все резонансные слагаемые обнуляются. В итоге получим: Тогда 17.Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы.Амплитудно-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика системы с двумя степенями свободы.
Метод Релея.Метод Ритца.На примере балки постоянного сечения. Метод Релея и метод Ритца относятся к приблежённым методам исследования колебания. Метод Релея:
, где - необходимо задать такую, чтоб она удовлетворяла кинематическим граничным условиям. Используем уравнение Лагранжа 2-го рода: В результате получаем: Теорема Релея: весгда больше чем первая собственная частота . . Пример:
Кинематические граничные условия:W(0)=0,W(l)=l.
Силовые граничные условия: Точное решение:
Метод_Ритца
, где - произвольная, удовлетворяющая кинематическим условиям функция.
Пример:
,
19. Резонанс в системе с двумя степенями свободы. Динамическое демпфирование. æ1=d/(d-ω21)>0;d> ω21; æ2=d/(d-ω22);d< ω22 Динамический демпфер 20. Определение крит. продольной нагрузки для стержня в случае шарнирного закрепления. ω2>0 – устойчивость ω2=0 – граница устойчивости ω2<0 – неустойчивость Пусть гр.у. – шарниры; E,J, ρ – const Граница устойчивости. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|