|
|
Спектральный метод интерполяцииПри дискретизации данных с равномерным шагом по аргументу наиболее точную интерполяцию финитных сигналов обеспечивает спектральный метод. При условии, естественно, что в спектре сигнала не содержится частотных составляющих, превышающих частоту Найквиста. Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг Dt = 1/F = q) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую (решетчатую) функцию Шq(t) = sq(t) = s(t) Шq(t) = s(t) С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции Шq(t) Û F×ШF(f) фурье-образ дискретной функции sq(t): SF(f) = S(f) ③ F×ШF(f). (14.4.2) ШF(f) = Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем: SF(f) = F×S(f) ③ Спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую с функцией F×S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -fN до fN, где fN = 1/2Dt = F/2 - частота Найквиста. Частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала (F = 1/Dt ³ 2fmax). Умножая функцию (14.4.2) на прямоугольную весовую функцию ПF(f), равную 1 в пределах главного частотного, получаем непрерывный спектр в бесконечных по частоте границах, равный спектру F×S(f) в пределах главного частотного диапазона: F×S(f) = F×[S(f) ③ ШF(f)] ПF(f). (14.4.5) Обратное преобразование Фурье этого спектра, с учетом коэффициента F, должно восстанавливать непрерывный сигнал, равный исходному аналоговому сигналу s(t). Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Произведем обратное преобразование обеих частей равенства (14.4.5). Умножение непрерывного и бесконечного спектра на П-импульс в пределах главного диапазона отобразится в динамической области сверткой двух функций: F×s(t) = F×sq(t) ③ sinc(pFt). s(t) = sinc(pFt) ③ Отсюда, с учетом равенства d(t-kDt) ③ sinc(pFt) = sinc[pF(t-kDt)], получаем: s(t) = Эта формула носит название интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона и, по существу, является разложением сигнала по системе ортогональных функций sinc(pF(t-kDt)) = sinc(p(t/Dt – k)). С другой стороны, эта формула представляет собой свертку дискретной функции данных s(kDt) с непрерывной функцией интегрального синуса. Для больших массивов дискретных данных точность восстановления сигнала обычно ограничивается интервалом задания функции интегрального синуса, по которому устанавливается интервал суммирования. Из совокупности выше приведенных формул следует, что если для частоты дискретизации сигнала справедливо неравенство F ³ 2fmax, где fmax - наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s(t), то функция s(t) может представляться в виде числовой последовательности дискретных значений s(kDt), k = 0,1,2,..., и однозначно по этой последовательности восстанавливаться, в пределе - без потери точности. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона.
Экстраполяция Экстраполяция, экстраполирование (от экстра… и лат. polio — приглаживаю, выправляю, изменяю) — в математике — особый тип аппроксимации (приближения), при котором функция аппроксимируется не между заданными значениями, а вне заданного интервала. Экстраполяция — приближённое определение значений функции f(x) в точкаx x, лежащиx вне отрезка [x0,xn], по её значениям в точкаx x0 < x1 <... < xn Наиболее распространённым методом экстраполяции является параболическая экстраполяция, при которой в качестве значения f(x) в точке x, берётся значение многочлена Pn(x) степени n, принимающего в n + 1 точке xn заданные значения yi = f(xi). Для параболической экстраполяции пользуются интерполяционными формулами. Общее значение — распространение выводов, полученныx из наблюдения над одной частью явления, на другую его часть.
Корректирующие
  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
d(t-kDt):
d(t-kDt) = 
d(f-nF). (14.4.3)
d(f-nF) = F 
s(kDt)d(t-kDt),
