Глава 5. Частотные характеристики САУ

Понятие частотных характеристик

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик системы.

Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим путем. При аналитическом определении исходным моментом является одна из передаточных функций САР (по управлению или по возмущению).

Возможно также определение частотных характеристик исходя из передаточных функций разомкнутой системы и передаточной функции по ошибке.

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

u(t)= U_m(cos t + j sin ωt),

где U_m – амплитуда колебаний, ω – частота колебаний, t – время, то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебания

y(t) =Y_me^{j( ωt+φ)} = Y_m e^{j ωt} e^{j φ}

с той же частотой ω, но иными амплитудой Y_m и фазой φ, зависящими от частоты ω возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(a_оpⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} +... + a_n)y = (b_оp^m + b₁p^m-1 +... + b_m)u.

Учтем, что

,

а значит pⁿu = pⁿU_me^jωt = U_m (jω)ⁿ e^jωt = (jω)ⁿu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(jω), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на jω в выражении W(p).

W(jω) есть комплексная функция, поэтому:

;

где P(ω) - вещественная ЧХ (ВЧХ);

Q(ω) - мнимая часть ЧХ (МЧХ);

А(ω) - амплитудная ЧХ (АЧХ);

φ (ω) - фазовая ЧХ (ФЧХ).

АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

Если W(jω) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении

и ω от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ω), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.5.1.). Ветвь АФЧХ при изменении ω от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

Рисунок 5.1 – Годограф вектора W(j ω) (АФЧХ).

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.5.2.): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L(ω) и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) φ(ω). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции.

По оси абсцисс откладывается частота ω в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение ω в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

Рисунок 5.2 – Логарифмические частотные характеристики.

Частотные характеристики типовых звеньев

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее jω вместо p, получим АФЧХ W(jω). Затем надо выразить из нее ВЧХ P(ω) и МЧХ Q(ω). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA(ω) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

Безынерционное звено

Передаточная функция:

W(p) = k.

АФЧХ: W(j ω ) = k.

ВЧХ: P( ω ) = k.

МЧХ: Q( ω ) = 0.

АЧХ: A( ω ) = k.

ФЧХ: φ( ω ) = 0.

ЛАЧХ: L( ω ) = 20lgk.

Рисунок 5.3 – АФЧХ и ЛФЧХ безынерционного звена.

Некоторые ЧХ показаны на рис.5.3. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

Интегрирующее звено

Передаточная функция: W(p) = k/p.

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть W(p) = 1/p.

АФЧХ: W(j ω) = .

ВЧХ: P(ω) = 0.

МЧХ: Q(ω) = - 1/ ω.

АЧХ: A(ω) = 1/ ω.

ФЧХ: φ(ω) = - π/2.

ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(1/ ω) = - 20lg(ω).

ЧХ показаны на рис.5.4. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на φ=90^о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты и уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие частоты).

ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L(ω) = 0 при ω = 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду).

Рисунок 5.4 – Частотные характеристики интегрирующего звена.

5.2.3. Апериодическое звено

Для апериодического звена при k = 1 получаем следующие выражения ЧХ.

Передаточная функция:

;

АФЧХ: ;

ВЧХ: ;

МЧХ: .

Рисунок 5.5 – Частотные характеристики для апериодического звена.

(ω) = φ₁ - φ₂ = - arctg(ω T);

;

L(ω) = 20lg(A(ω)) = - 10lg(1 + (ω T)²),

где: A₁ и A₂ - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ;

φ ₁ и φ ₂ - аргументы числителя и знаменателя.

Частотные характеристики показаны на рис.5.5. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2.

При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при ω < ω₁ = 1/T можно пренебречь компонентой (ω T)² в выражении для L(ω), то есть L(ω) - 10lg1 = 0. При ω > ω ₁ пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(ω) - 20lg(ω).

Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем - под наклоном - 20 дб/дек. Частота ω ₁ называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при ω = ω ₁.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении ω до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и k- /2 при возрастании ω до бесконечности. Перегиб в точке ω = ω ₁ при φ(ω) = - /4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

5.2.4. Правила построения ЧХ элементарных звеньев

При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “ правило зеркала ”: при k=1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так, на рис.5.6 изображены ЧХ идеального дифференцирующего (а) и идеального форсирующего звеньев (б).

Если k ≠ 1, то передаточную функцию звена можно рассматривать как произведение W = kW₁,

где W₁ - передаточная функция с k = 1.

При этом амплитуда вектора АФЧХ W(j ω) при всех значениях φ должна быть увеличена в k раз, то есть A(ω) = kA₁(ω).

Центр полуокружности АФЧХ апериодического звена будет находиться не в точке P = 1/2, а в точке k/2. ЛАЧХ также изменится: L(ω) = 20lgA(ω) = 20lgkA₁(ω) = 20lgk + 20lgA₁(ω).

При k ≠ 1 ЛАЧХ звена нужно поднять по оси ординат, не меняя ее формы, на 20lg k. На ЛФЧХ изменение k никак не отразится. Для примера на рис.5.7 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg 10 = 20.

Рисунок 5.6 – ЧХ идеального дифференцирующего (а) и идеального

форсирующего звеньев (б).

Рисунок 5.7 – Частотные характеристики апериодического звена

при k = 10 и T = 1c.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: