Анализ модели долгосрочного страхования

Рассмотрим модель финансовой деятельности компании, имеющей N страховых договоров t₀, и предположим, что в этот момент премии p по страховым договорам внесены полностью. Обозначим через T_k время выплаты пособия по k-му договору, а через b_k – величину этого пособия. В момент t₀+0 капитал компании равен:

,

где P_k – плата за k-й договор.

Проанализируем динамику компании U(t), расположим T_k в порядке возрастания и получим вариационный ряд: 0<T₍₁₎£T₍₂₎£…£T_(N). В промежутках (T_k, T_k+1) капитал возрастает по закону U(T_(k)+t)=U(T_(k))(1+i)^t, где i- ставка процента, не зависящая от времени.

В момент T_k+1 значение U(t) уменьшается на величину страховой выплаты:

.

Если окажется, что в некоторый момент времени T_(k) величина U(T_(k+1)–0) окажется меньше величины b_(k), то компания не сможет выплатить нужную сумму, что означает разорение. Рассмотрим изменение величины U(T), при котором компания не разоряется. В момент времени T₍₁₎ – 0 компания располагает капиталом

U₀(1+i)T₍₁₎.

При этом выполняется соотношение:

.

В момент времени T₍₁₎ + 0 компания имеет сумму

,

т. е. она делает страховую выплату.

В момент T₍₂₎-0 компания располагает капиталом

,

при этом условие «неразорения»

.

В момент времени T₍₂₎ + 0 капитал компании составит сумму

.

В момент времени T_(N-1) – 0 компания будет располагать средствами:

.

Условие «неразорения»:

.

И тогда в момент времени T_(N) – 0 капитал составит:

.

Условие «неразорения» на T_(N) – 0:

Капитал должен соответствовать системе уравнений:

k=1…0

Компания не разорится, если будет выполнено N неравенств.

Разделив правую и левую части на (1+i), получим:

,

k=1…N

- множитель дисконтирования

В таком виде все предыдущие неравенства будут справедливы, если будет выполнено неравенство при k=N, т. е.

- условие «неразоримости».

, тогда

,

Z_k – сумма выплаты по k-ому договору, приведённая к моменту Т=0. Таким образом «неразорение» компании выглядит следующим образом:

.

Вероятность разорения компании задаётся формулой:

.

Эта формула аналогична формуле для вероятности разорения компании при краткосрочном страховании.

Величина U₀ играет роль суммарного капитала, а величина Z_k - убытка по k-тому договору. Таким образом при расчёте вероятности разорения по долгосрочному страхованию всё происходит также как и при краткосрочном страховании с убытками Z_k при этом НСПО – премия для k-го договора будет выглядеть следующим образом:

(P_k)ⁿ=MZ_k.

А относительная страховая надбавка может быть определена формулой

.

Как было описано в вводном замечании актуарной математики, продолжительность жизни для цели страхования описывается функциями t_(t) и b_(t). Предположим, что

- приведённая стоимость страхового пособия на момент заключения страхового договора человеком в возрасте Х лет. Здесь s - интенсивность процентов. Чтобы подчеркнуть зависимость связи Z от процентной ставки, введём обозначения Z_ds:

A_ds=MZ_ds=Mb(T_x)V ^{t (T}_x⁾=Mb(T_x)e^{-s t (T}_x^{) -}

приведённая стоимость страховой выплаты, если интенсивность процентов =d. Предположим, что в нашей страховой модели функция b(Т) принимает значения «1» и «0». Это означает, что величина выплачиваемого пособия не зависит от момента выплаты. В этом случае:

, где j – степень величины будущей страховой выплаты, подсчитанной для интенсивности % s, совпадающая со страховой выплатой, рассчитанной для интенсивности % js. Для средних значений получим:

Обычно основная процентная ставка не фиксируется, и в этом случае величины А_ds=А, Z_ds=Z. А величина А_djs=^jA, в этом случае

DZ=²A-A².

Таким образом стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет может быть конкретизирована, и её расчёт может быть упрощён. В случае исключительно накопительного страхования

.

И тогда актуарная стоимость страхового пособия на момент заключения договора с человеком в возрасте Х лет задаётся по формуле

.

Вопросы и задачи

1.Дебитор заключил кредитный договор на 100 тыс. марок. Процентная ставка – 3%, ежегодный возврат кредита и процентов по нему – 6 тыс. марок. Через сколько лет клиент возвратит 40 % кредита?

2. Инвестор, имеющий 300 тыс. марок, может вложить свой капи­тал в акции А, В, С. Процентные ставки по акциям являются незави­симыми случайными величинами R_A, R_B и R_C. с математическими ожиданиями MR_A = 8%, MR_B = 10 %, MR_C = 12 % и стандартными отклонениями s_A = 1 %, s_B = 2 %, s_C = 4 %. Как нужно скомбиниро­вать покупку разных акций, чтобы за первый год получить в среднем 30 тыс. марок дивидендов при минимальной дисперсии?

3. Каковы условия равновесия на финансовом рынке?

4. Заключен кредитный договор на 200 тыс. марок. В конце каж­дого года клиент должен выплачивать постоянную сумму Е (возврат части кредита и процентов по нему). Найти Е, если процентная став­ка равна 2,5 % и к концу пятого года клиент должен возвратить 40 % кредита.

5. Инвестор хочет вложить свой капитал, составляющий 300 тыс. марок, в акции автомобильного концерна А и строительного пред­приятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобрете­но по крайней мере в два раза больше, чем акций В. Кроме того, ак­ций В можно приобрести на сумму, не превышающую 160 тыс. марок. Дивиденды по акциям А составляют 8%, по акциям В — 10 %. Какую максимальную прибыль может получить инвестор за первый год?

6. Что такое интенсивность смертности и как она связана с оста­точным временем жизни?

7. Как определяется нетто-премия в моделях краткосрочного и долгосрочного страхования жизни?

8. Как определяется страховая надбавка в моделях краткосрочно­го и долгосрочного страхования жизни?

9. В компании застраховано 4000 человек с вероятностью смерти в течение года q = 0,003. Компания выплачивает сумму b = 3000 руб. в случае смерти застрахованного лица в течение года и не платит ниче­го в противном случае. Определить величину капитала, достаточную для обеспечения вероятности разорения 0,005.

10. Продолжительность жизни описывается моделью Вейбулла со значениями параметров и = 1 и q = 6400. Эффективная годовая про­центная ставка — 20%. Найти актуарную современную стоимость страхового пособия в момент заключения договора с человеком в возрасте 50 лет при 10-летнем исключительно накопительном стра­ховании жизни.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Основные понятия математического программирования экономических процессов

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: