Моделирование термодинамических ансамблей. Виды ансамблей и способы их создания.

В статистической физике различаются 4 основных вида статистических ансамблей:

1. Микроканонический ансамбль, в котором сохраняющимися величинами являются число частиц N, объем V и внутренняя энергия E (или так называемая NVE -ансамбль).

2. Канонический ансамбль, в котором сохраняются число частиц N, объем V и температура T (NVT - ансамбль).

3. Изотермо-изобарический ансамбль с постоянными числом частиц N, давлением P и температурой T (NPT - ансамбль).

4. Большой канонический ансамбль с постоянным химическим потенциалом m, объемом V и температурой T (mPT - ансамбль).

Каждый ансамбль характеризуется набором заданных термодинамических величин; остальные величины определяются усреднением по ансамблю. Соответственно, для каждого микро-состояния мгновенные значения этих величин отличаются от средних, то есть, имеют место флуктуации этих величин.

Методы интегрирования уравнений движения, рассмотренные выше, обеспечивают сохранение энергии системы. Подразумевается, что объем и число частиц также постоянны. Таким образом, при обычных рассмотренных схемах МД моделируются микроканонические системы, поэтому средние по времени, полученные при таком моделировании, будут соответствовать средним по ансамблю для NVE -ансамблей. Вместе с тем, часто бывает более удобным и необходимым проводить моделирование в других ансамблях (чаще всего NVT и NPT). Для того чтобы при моделировании поддерживать постоянными температуру и/или давление, используются различные методы.

Имеются 4 основных способа поддержания постоянной термодинамической величины:

Дифференциальный, когда величина имеет строго фиксированное значение, и флуктуации около среднего отсутствуют.

Пропорциональный, когда величины, связанные с термодинамической величиной f, корректируются на каждом шаге интегрирования с использованием поправочного коэффициента, устанавливающего заданное значение f. Поправочный коэффициент определяет величину флуктуаций вокруг < f >.

Интегральный, когда гамильтониан системы расширяется путем включения новых независимых величин, которые отражают эффект внешней системы, фиксирующей состояние желаемого ансамбля. Эволюция во времени этих величин описывается уравнениями движения, полученными из расширенного гамильтониана.

Стохастически й, когда значения величин, связанных с термодинамической величиной f, присваиваются в соответствии с модифицированными уравнениями движения, в которых некоторые степени свободы дополнительно изменяются стохастически, чтобы придать желаемое среднее значение величине f.

Микроканонический ансамбль и способы его создания.

Микроканонический ансамбль — статистический ансамбль макроскопическойизолированной системы с постоянными значениями объёма V, числа частиц N и энергии E. Понятие микроканонического ансамбля является идеализацией, так как в действительности полностью изолированных систем не существует. В микроканоническомраспределении Гиббса все микроскопические состояния, отвечающие данной энергии, равновероятны согласно эргодической гипотезе. Теорема Гиббса, доказанная автором, утверждает, что малую часть микроканонического ансамбля можно рассматривать в качестве канонического ансамбля.

Классическая статистика

Если через H (q, p) обозначить функцию Гамильтона, то есть энергию системы в зависимости от координат q и импульсов p каждой частицы, то функция распределениячастиц по ним будет равномерной и отличной от нуля лишь на фазовой поверхности H (q, p)=E:

,

где δ — дельта-функция, а постоянная g — плотность состояний (то есть фазового объёма), определяемая условием нормировки функции распределения на единицу при интегрировании по всем различным микросостояниям:

dГ — элемент фазового объёма, который в классическом случае равен , а в квантовом случае в трёхмере , где h — постоянная Планка.

Интервал энергии

Если система имеет энергию Е с точностью ΔE, то состояния с энергиями в слое (E, E + ΔE) также предполагаются равновероятными:

Здесь нормировочным множителем

выступает статистический вес (то есть число состояний в слое, его фазовый объём), определяемый заданными параметрами макросостояния.

Квантовая статистика

В квантовых системах ΔE обусловлено соотношением неопределённостей в связи со временем наблюдения. При этом можно рассматривать ансамбль полностью изолированных систем, когда ΔE/E → 0. Равномерное распределение вероятностей квантовых состояний с энергиями в слое (E, E + ΔE) имеет аналогичный вышеописанному вид:

Нормировка при этом дискретна:

Термодинамика

Термодинамические потенциалы, а с ними и вся термодинамика микроканонического ансамбля строится из энтропии, напрямую связанной со статистическим весом формулойБольцмана:

, где k — постоянная Больцмана.

Микроканоническое распределение неудобно здесь для практического применения, так как для вычисления статистического веса необходимо вычислить все микросостояния системы.

Численное моделирование

Численное моделирование методом Монте-Карло микроканонического ансамбля также таит в себе затруднение — ведь энергия строго фиксирована, поэтому её случайное изменение не должно забываться, а отдаваться и забираться на каждом шаге через виртуальную подсистему («демона», аналога демона Максвелла), энергия которой не должна перескакивать нулевой порог (условие принятия конфигурации в шаге Монте-Карло).

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: