Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Колебания материальной точки





 

Общим признаком всех колебательных движений является их многократная повторяемость через определенные промежутки времени. Колебательное движение материальной точки происходит при условии наличия восстанавливающей силы.

Восстанавливающая сила – сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия.

Проекция восстанавливающей силы на ось Ox может быть найдена из выражения:

Fx = –c·x, (3.1)

 

где c – коэффициент пропорциональности.

Кроме восстанавливающей силы при колебаниях на точку может действовать также возмущающая сила, т. е. такая сила, которая зависит от времени. Обычно в качестве возмущающей силы рассматривают силу, проекция которой на ось Ox определяется следующим выражением:

 

, (3.2)

 

где H, p и δ – некоторые постоянные величины.

При колебаниях возникают силы сопротивления. Обычно эту силу рассматривают как функцию скорости движения точки и называют силой вязкого трения. При этом ее проекция на ось Ox определяется из выражения

 

, (3.3)

 

где b – коэффициент пропорциональности.

В зависимости от наличия восстанавливающей силы, возмущающей силы и силы сопротивления колебания материальной точки классифицируются следующим образом.

1) свободные колебания, при которых присутствует только восстанавливающая сила.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки имеет вид:

 

. (3.4)

 

где k – циклическая (круговая) частота колебаний (число колебаний за 2π секунд).

При колебании груза на пружине циклическая частота может быть определена:

. (3.5)

где с – жесткость пружины, m – масса груза

В случае свободных колебаний их период определится согласно выражению:

, (3.6)

2) Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие колебания) – это колебания при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления.

3) Вынужденные колебания возникают когда в колебательном процессе участвуют восстанавливающая и возмущающая силы.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Определить период свободных вертикальных колебаний груза массой m = 80 кг, который прикреплен к пружине с коэффициентом жесткости с = 2 кН/м.

Решение

Период колебаний определим по формуле: ,

где k – угловая частота свободных вертикальных колебаний:

с-1 с.

Ответ: с.

Задача 2

Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с1 = с2 = с3 = 300 Н/м.

Решение

Угловая частота свободных вертикальных колебаний: ,

где – эквивалентная жесткость системы пружин.

Так как система состоит из пружин соединенных и последовательно и параллельно, то определим вначале эквивалентную жесткость параллельно соединенных пружин с12: Н/м;

Далее определим последовательное соединение пружин:

; ; Н/м.

с-1.

Ответ: с-1.



Основное уравнение динамики относительного движения.

 

До сих пор изучалось движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е. системы отсчета, где справедливы законы Ньютона. Во многих случаях задачи динамики сводятся к исследованию движения в той или иной неинерциальной системе. Рассмотрим движение точки по отношению к подвижной системе отсчета

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки будет иметь вид

, (4.1)

 

где – ускорение точки относительно подвижной системы отсчета

Относительное движение материальной точки происходит под действием приложенных к точке сил, при условии, что к ним присоединены переносная и Кориолисова силы инерции.

При этом переносная и Кориолисова силы инерции – это векторы, численно равные произведению массы точки на ее переносное и Кориолисово ускорения. Направление сил инерции противоположно направлению одноименных им ускорений.

Условие относительного покоя можно получить из основного уравнения динамики относительного движения материальной точки путем подстановки в указанное уравнение нулевых значений и :

 

, (4.2)

Примеры решения задач

Задача 1

Шарик М массой m = 0.2 кг движется со скоростью V = 19.62 м/с относительно вертикальной трубки, которая на расстоянии l = 0.5 м прикреплена к вертикальному валу 1. Вал вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Определить переносную силу инерции шарика.

Решение

Переносная сила инерции может быть рассчитано согласно формулы: , Определим переносное ускорение точки.

Так как переносным движением является вращение трубки вокруг оси Z, то переностным движением точки является движение по окружности радиуса . При этом ускорение точки можно разложить на два ускорения ( и ), т.е.:

;

м/с2;

; м/с2.

м/с2; Н.

Ответ: .

Задача 2

Штатив с математическим маятником движется по наклонной плоскости вниз с ускорением . Определить угол в положении относительного покоя шарика, если угол .

Решение

Запишем основное уравнение динамики относительного покоя .

Спроецируем это уравнение на ось Х и Y, при этом учтем, что .

OX: (1)

OY: (2)

Из уравнения (2) выразим T и подставим в уравнение (1).

; , ; , ;

т.к. .

Ответ: .

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.