Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Смешанного умножения векторов





Г10. , , компланарны.

Пусть . Тогда .

Рис. 24
По определению векторного произведения и .

Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны.

Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны.

, Þ , а так как || , то Þ ,

т.е. .

Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая.

Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25).

. Пусть .

О
Рис. 25

 


Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.

О
h
n
 
n
h
О
а)
б)
Рис. 26

 

 


 

 

а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 900 Þ cos >0 Þ Þ Þ .

Итак, .

б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 900 Þ Þ Þ .

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что .

Алгебраические свойства

Смешанного умножения векторов

А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.

Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.

, V.

Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и , во втором – на векторах и ).

Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:

.

А20. V .

Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:

; ; .

Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

А30. ;

;

.

Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.

Замечание. Смешанное произведение .

, т.к. .

Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , , в базисе , , , то .

.

Применение смешанного произведения

Трех векторов

Смешанное произведение векторов применяется:



1. Для выяснения компланарности трех векторов:

векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда .

2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 27).

 

Рис. 27
Рис. 28
А1
D1
С1
В1
D
С
В
А
А1
В1
С1
А
В
С
Рис. 29
D
А
В
С

 

 


3. Для вычисления объема треугольной призмы:

(рис. 28).

4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):

(рис. 29).

Метод координат

На плоскости и в пространстве

Лекция 7

Аффинная и прямоугольная декартова

Системы координат

Понятие аффинной и прямоугольной декартовой

Систем координат

О
Рис. 30
О
х
у
z
Рис. 31
Четверка, состоящая из точки О и базиса , , в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается или (рис. 30).

Точка О называется началом координат, векторы , , - координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй,- третий.

Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:

- ось абсцисс;

- ось ординат;

- ось аппликат (рис. 31).

Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.

Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат иногда обозначают Oxyz.

Рис. 32
О
М
Пусть - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства. Вектор называется радиус-вектором точки М относительно точки О(рис. 32).

Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.

Координатами точки М в системе координатназываются координаты ее радиус-вектора в базисе , , .

Обозначение или просто М(х;у;z): х абсцисса точки М, уордината, z аппликата.

Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.

Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).

1) Если z=0, то М(х;у;0) Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0.

2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если , то у=0.

3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если , то х=0.

4) Если z=0 и у=0, то и Þ Þ . Верно и обратное: Þ z=0 и у=0.

Докажите самостоятельно, что:

5) Если х=0 и у=0, то и наоборот, если , то х=0 и у=0.

6) Если х=0 и z=0, то и наоборот, если , то х=0 и z=0.

7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в системе координат .

Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М1(х;0;0), затем точку М2(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 33. Ломаная ОМ1М2М называется координатной ломаной точки М.

М1
М
М2
О
Рис. 33
Система координат называется прямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат: или , где

, , и .

Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.

Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и (координатных векторов) (рис. 34). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 35.

О
О
Рис. 34
Рис. 35

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.