Моделирование линейных непрерывных систем

Общие сведения

При цифровом моделировании непрерывных систем необходимо обеспечить близость процессов в моделируемой непрерывной системе и в ее цифровой модели. Несовпадение этих процессов связано с двумя причинами: 1) заменой непрерывного входного процесса цифровым и 2) использованием численных методов анализа. Ошибки, связанные с заменой непрерывного процесса цифровым, были рассмотрены в предыдущей лабораторной работе. Остановимся на второй причине.

Математическая модель непрерывной системы представляет собой или нелинейное дифференциальное уравнение или совокупность соединенных между собой линейных и нелинейных блоков. В зависимости от принятой математической модели используются различные подходы к формированию цифровой модели.

Численное решение дифференциальных уравнений

Разработано большое количество методов численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как производится численное решение на примере нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

du / dt = f (u,x,t). (5.1)

Здесь x = x (t) – независимая функция (входной процесс), u = u (t) – решение уравнения (выходной процесс).

Численное решение находится для дискретных значений аргумента t, отличающихся на шаг интегрирования D t. В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения u _к = u (t _к) требуется информация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую известность получили методы Рунге-Кутта. В основу метода Рунге-Кутта первого порядка, называемого также явным или прямым методом Эйлера, положено разложение функции u (t) в ряд Тейлора в окрестности точки A (t _k-1,, u _k-1):

u (t) = S₀ + S₁ (t – t_{k - 1}) + S₂ (t – t_{k - 1})² + …, (5.2)

где S₀ = u (t_{k - 1}) = u_{k - 1},

S_i = (1/ i!) du (t)/ dt при t = t_{k – 1}.

В методах Эйлера (и Рунге-Кутта тоже) ограничиваются только двумя первыми членами разложения в ряд. Запишем значение u_k = u (t_k), приняв в выражении (5.2) t = t_k и ограничившись двумя первыми членами ряда:

u_k = u_{k - 1} + S₁ (t_k – t_{k - 1}) = u_{k - 1} + S₁ Δ t

Учитывая, что производная du (t)/ dt равна правой части дифференциального уравнения (5.1), имеем S₁ = f (u_{k – 1}, x_{k – 1}, t_{k – 1}) и окончательно получим:

u_k = u_{k - 1} + Δ t f (u_{k – 1}, x_{k – 1}, t_{k – 1}). (5.3)

Это выражение является приближенным решением дифференциального уравнения (5.1) прямым методом Эйлера. Оно рекуррентное и позволяет найти значение выходного процесса u_k по значениям выходного и входного процессов в предыдущем такте.

На рис. 5.1 а) проиллюстрировано решение прямым методом Эйлера.

а)	б)
Рис. 5.1

Видим, что при использовании этого метода используется линейная экстраполяция и тангенс угла наклона экстраполирующей прямой равен производной функции u (t) в точке А. Экстраполированное значение u_k отличается от точного на величину ошибки.

Неявный (обратный) метод Эйлера основан на разложении функции u (t) в ряд Тейлора в окрестности точки В (u _k,, t _k) (см. рис. 5.1 б):

u (t) = u_k + S₁ (t – t_k) + S₂ (t – t_k)² + …,

Приняв в этом выражении t = t_{k – 1} и ограничившись двумя первыми членами ряда, получим

u_{k – 1} = u_k – Δ t f (u_k, x_k, t_k).

Откуда

u_k = u_{k – 1} + Δ t f (u_k, x_k, t_k). (5.4)

Искомое значение процесса u_k входит и в левую, и в правую части уравнения, и если не удается найти u_k в явном виде, то приходится использовать приближенные методы решения этого уравнения.

Применим методы Эйлера для расчета переходной характеристики интегрирующей цепи. Передаточная функция интегрирующей цепи:

K (p) = 1/(1 + pT).

Отсюда дифференциальное уравнение в операторной форме:

(pT + 1) y = x

и в канонической форме:

Tdy / dt + y = x.

Перепишем его в виде (5.1):

dy / dt = (1/ T)(x – y).

Запишем рекуррентную формулу для прямого метода Эйлера в соответствии с (5.3)

y_k = y_{k – 1} + (Δ t / T)(x_{k – 1} – y_{k – 1}), (5. 5)

или

y_k = (1 – Δ t / T) y_{k – 1} + Δ t / T x_{k – 1}.

Формула для обратного метода Эйлера запишется в соответствии с (5,4)

y_k = y_{k – 1} + (Δ t / T)(x_k – y_k).

Так кА уравнение линейное, то значение y_k вычисляется в явной форме:

y_k = (y_{k – 1} + (Δ t / T) x_k)/(1 + Δ t / T). (5. 6)

Методы Эйлера обладают низкой точностью. В более точных методах используются различные способы определения угла наклона экстраполирующей прямой, чтобы она прошла ближе к точному решению. Хорошей точностью обладает метод Рунге-Кутта четвертого порядка, который обычно и используется. Программы для численного решения дифференциальных уравнений имеются практически в любом пакете прикладных программ, в том числе и в LabVIEW.

Для вычислений по формулам (5.5) и (5.6) используем структуру Formula Node. Внутри этой структуры запишем точное выражение для переходной характеристики:

z = 1 – e^{- i Δ t / T},

и выражения для переходной характеристики, полученные прямым методом Эйлера:

y = y ₁ + (Δ t / T)(1 – y ₁)

и обратным методом Эйлера:

v = (v ₁ + (Δ t / T))/(1 + Δ t / T)

при нулевых начальных условиях: y(0) = 0, v(0) = 0.

В этих выражениях использованы различные обозначения для выходных переменных и принято x = 1(t) = 1, так как t > 0.

На рис. 5.2 показана эта структура. В формулах Δ t обозначена как dt.

Рис. 5.2	Рис. 5.3

Напомним, что для образования входных и выходных терминалов нужно щелкнуть ПКМ на границе структуры в предполагаемом месте терминала и в раскрывшемся меню выбрать Add Input или Add Output.

Для формирования массивов выходных переменных структура Formula Node помещается внутрь структуры For Loop, при этом задержанные на интервал дискретизации отсчеты выходных переменных y ₁ и v ₁ получаются с помощью регистра сдвига (рис. 5.3).

Прямой метод Эйлера при большом интервале дискретизации может дать неустойчивое решение. Это случится, если отклонение решения от входного процесса x_{k – 1} – y_{k – 1} (см формулу (5.5)) даст такое значение y_k. что отклонение на следующем шаге x_k – y_k будет той же величины, что и предыдущее, но обратным по знаку. Решение будет колебательным незатухающим.

К графическому индикатору

Рис. 5.4

В предыдущих лабораторных работах развертка графического индикатора Graph осуществлялась автоматически в соответствии с типом данных, подаваемых на вход графического индикатора. В этой работе мы сформируем данные так, чтобы по горизонтальной оси откладывалось время. Для этого надо сформировать кластер, куда кроме массива данных будет входить информация о времени. Используем ВП Bundle (Объединить), который находится в подпалитре Cluster (Кластер). На его входы element подаются (см. рис. 5.4): на верхний – время начала развертки – 0; на средний – интервал дискретизации – Δt; на нижний – массив данных

Замена непрерывной передаточной функции дискретной

Если математическая модель системы представляется в виде соединения линейных и нелинейных блоков, то для описания линейных блоков чаще всего используется передаточная функция K (p). В этом случае цифровую модель непрерывного линейного блока можно получить, заменив непрерывную передаточную функцию K (p) дискретной K (z).

Для этого можно использовать связь между непрерывными и дискретными изображениями, устанавливаемую дискретным преобразованием Лапласа (Z -преобразованием). В таблице 5.1 приведена эта связь для передаточных функций, используемых в данной лабораторной работе.

Таблица 5.1

K (p)	1 p	p 2	(1 + pT)
K (z)	Δ t z (z – 1)	(Δ t)2 z (z – 1)2	(Δ t / T) z (z – e- Δ t / T )

Заметим, что здесь комплексная переменная z определяется как z = e^{p Δ t} и является оператором опережения на интервал дискретизации. Соответственно z ^-1 – это оператор задержки на интервал дискретизации.

Другой путь предусматривает непосредственный переход от комплексной переменной p к комплексной переменной z заменой операции аналогового интегрирования 1/ p операцией дискретного интегрирования. При дискретном описании аналогового интегрирования можно оперировать только с значениями входного и выходного процессов в моменты дискретизации. На рис. 5.5 показано, как это можно сделать, используя численное интегрирование по методу прямоугольников и по методу трапеций.

Значение выходного процесса y_k интегратора в момент времени t = k Δ t отличается от предыдущего значения y_{k -1} на величину площади S под кривой x (t) (заштрихованная фигура на рис. 5.5 а).

yk = yk- 1 + S	yk = yk- 1 + Δ t xk- 1	yk = yk- 1 + Δ t xk	yk = yk- 1 + +Δ t (xk + xk- 1)/2
а)	б)	в)	г)
Рис. 5.5

По методу прямоугольников площадь можно определить по разному в зависимости от того, какую величину принять за высоту прямоугольника: x_{k- 1} или x_k (рис. 5.5 б и рис. 5.5 в). На рис. 5.5 г) показано, как вычисляется эта площадь по методу трапеций. Рекуррентные формулы для интегрирования приведены под рисунками.

По этим формулам можно записать дискретные передаточные функции. Поясним это на примере интегрирования по методу трапеций:

y_k = y_{k- 1} + Δ t (x_k + x_{k- 1})/2.

Перенесем y_{k- 1} в левую часть и возьмем от полученного выражения Z -преобразование. Учитывая, что запаздывание на интервал дискретизации в области оригиналов соответствует умножению на z ^-1 в области изображений, получим:

Y (z) – z^{- 1} Y (z) = (Δ t /2)(X (z) + z^{- 1} X (z)).

Дискретная передаточная функция – это отношение Z -изображений выходной и входной переменных, поэтому

K (z) = Y (z)/ X (z) = (Δ t /2)(1 + z ^-1)/(1 – z ^-1) = (Δ t /2)(z + 1)/(z – 1).

В таблице 5.2 приведены выражения дискретных передаточных функций для различных методов численного интегрирования для одного и двух интеграторов.

Таблица 5.2

K (p)	K (z)
Метод прямоугольников (1)	Метод прямоугольников (2)	Метод трапеций
p	Δ t z – 1	Δ t z z – 1	Δ t (z + 1) 2 (z – 1)
p 2	(Δ t)2 (z +1) 2(z – 1)2	(Δ t)2 z (z – 1)2	(Δ t)2 (z 2 + 4 z + 1) 6(z – 1)2

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 5.1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р) = 1/(1 + рТ)), полученной применением Z -преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p) = 1/(1 + pT) вместо р нужно подставить (z – 1)/Δ t. Тогда получим

K (z) = 1/(1 + (z – 1) T /Δ t) =.

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 5.3. Принято обозначение Δ t / T = α

Таблица 5.3

Метод	K (z)
Z -преобразование	α z z – e -α
Метод прямоугольников (1)	α z – (1 – α)
Метод прямоугольников (2)	(α/(1 + α)) z z – 1/(1 + α)
Метод трапеций	(α /(2 + α))(z + 1) z – (2 – α)/(2 + α)

Этим передаточным функциям соответствуют следующие рекуррентные формулы.

Для Z -преобразования

y_k = e^{- α} y_{k – 1} + α x_k. (5.7)

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (1)

y_k = (1 – α) y_{k – 1} + α x_{k - 1}.

Полученная формула совпадает с формулой для прямого метода Эйлера

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (2)

y_k = (1/(1 + α)) y_{k – 1} + (α/(1 + α)) x_k. (5.8)

и по методу трапеций

y_k = ((2 – α)/(2 + α)) y_{k – 1} + (α/(2 + α))(x_k + x_{k – 1}). (5.9)

В лабораторной работе производится оценка ошибок цифрового моделирования для каждого из этих методов.

Моделирование линейных замкнутых систем

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса. В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы. Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δ f _0,1Δ t = 5 – 10, где Δ f _0,1 – полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.

К_р (р) =. (5.10)

Такая модель часто используется при анализе ошибок в следящей системе.

К_р (р) =.

Используя соотношения, приведенные в таблице (5.2), получим:

К_р (z) = =, (5.11)

где b ₁ = K (Δ t)²/(T + Δ t), a ₁ = - (2 T + Δ t)/(T + Δ t), a ₂ = T /(T + Δ t).

Для моделирования устройства с передаточной функцией (5.11) используется БИХ-фильтр, коэффициенты числителя которого (Forward Coefficients) представляются массивом из двух элементов (0, b ₁), а коэффициенты знаменателя – массивом из трех элементов (1, a ₁, a ₂). Специфика использования БИХ-фильтра заключается в том, что неизвестен целиком входной массив Х, а известен только текущий элемент, а следующий элемент рассчитывается с учетом значения текущего элемента выходного массива фильтра. В LabVIEW существует такой фильтр – IIR Filter PtByPt (IIR Filter Point By Point – БИХ-фильтр точка за точкой).

Рис. 5.6

Вычисления БИХ-фильтром IIR Filter PtByPt производятся в цикле For Loop (рис. 5.6). В этом же цикле генерируется единичное входное воздействие. Автоматическое появление в цепи обратной связи регистра сдвига обусловлено тем, что рассчитанное значение выходного процесса используется для сравнения с входным только в следующем интервале дискретизации, то есть с запаздыванием на интервал дискретизации. В результате вычислений формируется массив переходной характеристики.

Для точного расчета переходной характеристики воспользуемся ВП ODE Linear nth Order Numeric – “Решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка в численном виде” (рис.5.7).

Рис. 5.7

ВП находит решение в виде суммы экспонент и вычисляет его для заданных точек. Поэтому решение точное.

Вход А представляет собой массив коэффициентов дифференциального уравнения в порядке увеличения степени производной. Коэффициент при производной самой высокой степени считается равным 1 и не требует ввода.

На вход Х0 подается массив начальных условий – начальные значения решения и его n – 1 -й производных.

Вход “число точек” задает число равноудаленных по времени точек между начальным и конечным временем

Выход Х содержит массив значений решения в равномерно расположенных по оси времени точках. Значение времени в этих точках выводится в массиве Times.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы запишем по передаточной функции замкнутой системы:

К_з (р) = =, (5.12)

Дифференциальное уравнение замкнутой системы

Td ² y / dt ² + dy / dt + Ky = Kx

Запишем однородное дифференциальное уравнение, учитывая, что коэффициент при высшей производной должен быть равен 1

d ² y / dt ² + (1/ Т) dy / dt + (K / Т) y = 0

Для компьютерного решения этого уравнения нужно задать массив А = (К / Т, 1/ Т). Чтобы получить переходную характеристику, нужно задать массив Х = (- 1, 0) и к решению прибавить 1.

Полностью блок-схема программы моделирования замкнутой системы приведена на рис. 5.8.

k K T k dt

Рис. 5.8

Контрольные вопросы

1. В каком виде записывается нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для численного решения?

2. Как записывается разложение функции в ряд Тейлора?

3. Поясните графически решение дифференциального уравнения прямым методом Эйлера.

4. Как записывается рекуррентная формула для численного решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка прямым методом Эйлера?

5. Поясните графически решение дифференциального уравнения обратным методом Эйлера.

6. Как записывается рекуррентная формула для численного решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка обратным методом Эйлера?

7. Запишите дифференциальное уравнение интегрирующей цепи в форме, удобной для решения методом Эйлера.

8. Запишите рекуррентную формулу для численного решения дифференциального уравнения интегрирующей цепи прямым методом Эйлера.

9. Запишите рекуррентную формулу для численного решения дифференциального уравнения интегрирующей цепи обратным методом Эйлера.

10. Какие два пути используются при замене непрерывной передаточной функции дискретной передаточной функцией?

11. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу прямоугольников (1).

12. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу прямоугольников (2).

13. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу трапеций.

14. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу прямоугольников (1).

15. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу прямоугольников (2).

16. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу трапеций.

17. Почему одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями?

18. Какая структура используется для вычислений по рекуррентным формулам?

19. Откуда при моделировании берется значение y_{k – 1}, необходимое для расчета y_k?

20. Как образовать терминалы для ввода и вывода переменных в структуре Formula Node?

21. Почему при моделировании замкнутой системы используется ВП IIR Filter PtByPt, а не ВП IIR Filter?

22. Почему при соединении выхода БИХ-фильтра с его входом в цепи обратной связи автоматически появляется регистр сдвига?

23. Для чего используется ВП ODE Linear nth Order Numeric?

24. Для чего используется ВП Bundle (Объединить)?

Программа работы

1.Вызвать пакет LabVIEW. Открыть New VI.

2. Численное решение дифференциального уравнения интегрирующей цепи методами Эйлера.

2.1. Сформировать лицевую панель создаваемого ВП. На лицевую панель вывести цифровые элементы управления “Постоянная времени Т”, “Интервал дискретизации dt”, “Множитель развертки k”. Поместить на лицевую панель графический индикатор Graph. Разместить под графическим индикатором палитру элементов управления графиком (Graph Palette) и панель редактирования курсора (вывести два курсора разного цвета).

2.2. В окно BD поместить структуру Formula Node. Поместить внутри нее программу расчета переходной характеристики интегрирующей цепи по точной формуле и по формулам для прямого и обратного методов Эйлера (рис. 5.2). На границе структуры поместить терминалы для всех входных и выходных величин. Размер структуры взять таким, чтобы в ней можно было разместить еще четыре строчки.

2.3. Поместить структуру Formula Node внутрь структуры For Loop. Задать число итераций равным (T*k/dt). На границах структуры For Loop поместить терминалы регистров сдвига для переменных y и v, чтобы получить задержанные значения y1 и v1. Установить нулевые начальные условия (рис. 5.3).

2.4. Подсоединить к терминалам dt и Т структуры Formula Node выходы соответствующих элементов управления.

2.5. Одномерные массивы выходных величин z, y и v объединить в многомерный массив, используя функцию Build Array.

2.6. Сформировать кластер, используя функцию Bundle (рис.5.4). К верхнему входу element подсоединить 0, к среднему – dt, к нижнему массив с выхода ВП Build Array. Убедиться в отсутствии ошибок в собранной блок-диаграмме.

2.7. Задать постоянную времени в соответствии с выполняемым вариантом.

Интервал дискретизации dt взять в 20 раз меньше постоянной времени Множитель развертки – 5 – 10. Запустить моделирование. Убедиться в близости всех решений.

2.8 Исследовать влияние интервала дискретизации на ошибку решения дифференциального уравнения методами Эйлера. Вывести вертикальную линию курсора на время, равное 2Т. Закрепить один курсор на точном решении (белый график): щелчок ЛКМ на кнопке в панели редактирования курсоров. В раскрывшемся меню выбрать Plot 0. Второй курсор поочередно закреплять на Plot 1 и Plot 2. Проделать замеры ошибок для прямого и обратного методов Эйлера для интервалов дискретизации равных 0,05Т; 0,1Т; 0,2Т; 0,5Т; Т; 2Т. При каком интервале дискретизации решение прямым методом Эйлера становится неустойчивым? Объясните, почему.

3. Моделирование интегрирующей цепи заменой непрерывной передаточной функции дискретной передаточной функцией

3.1. Поместить Разработанную блок-диаграмму в структуру Case Structure так, чтобы вся блок-диаграмма кроме элементов управления и графического индикатора с формирователем кластера оказалась внутри структуры. Напомним работу с этой структурой. Переключение вариантов произведем с помощью строковой переменной. Активизировать FP. Поместить на лицевую панель переключатель вариантов: Controls → All Controls → Ring & Enum → Enum. Озаглавить его “Варианты”. Активизировать BD. Подсоединить выход узла “Варианты” к терминалу селектора вариантов . В переключателе вариантов (на верхней границе структуры) вместо True и False появятся цифры 1 и 0. Заметим, что собранный в п.2 генератор соответствует цифре 1. Назвать варианты: щелкнуть ПКМ на узле Enum; в появившемся меню выбрать опцию Properties. В раскрывшемся окне Enum Properties открыть закладку Edit Items. В области Items набрать названия вариантов: “Передаточные функции” (ему присваивается символ 0) и “Дифференциальное уравнение” (символ 1). Подтвердить установку – ОК.

3.2. Скопировать всю схему варианта “Дифференциальное уравнение” и вставить ее в вариант “Передаточные функции”. Восстановить все нарушенные соединения.

3.3. Моделирование будем проводить по рекуррентным формулам (5.7) – (5.9). Перепишем их, обозначив переменные другими буквами.

y_k = e^{- α} y_{k – 1} + α x_k,

v_k = (1/(1 + α)) v_{k – 1} + (α/(1 + α)) x_k,

w_k = ((2 – α)/(2 + α)) w_{k – 1} + (α/(2 + α))(x_k + x_{k – 1})

Напомним, что α = dt/T.

Внести изменения в записи внутри структуры Formula Node в соответствии с рис. 5.9.

Рис. 5.9

Поместить терминалы на границе структуры для вновь введенных переменных. Ввести для новых переменных регистры сдвига в структуре For Loop.

Четыре выходных массива z, y, v и w объединить функцией Build Array. Убедиться в отсутствии ошибок.

3.4. Замерить ошибки для этих трех методов, используя курсоры для того же значения постоянной времени Т, что и в п.2 для значений интервала дискретизации dt, равного 0,1Т и 0,5Т для того же момента времени 2Т.

3.5. Сравнить исследованные в п.2 и п.3 методы по точности, приведя необходимые графики.

4. Моделирование замкнутой системы.

4.1. Добавить в переключатель вариантов “Варианты” к имеющимся двум еще один, назвав его “Замкнутая система”. Для этого щелкнуть ПКМ по узлу Варианты (Enum), в раскрывшемся меню выбрать Properties, в окне Enum Properties открыть закладку Edit Items. В области Items набрать указанное название варианта. Ему автоматически присвоится цифра 2. Щелкнуть ПКМ по границе структуры Case. В раскрывшемся меню выбрать Add Case for Every Value (Добавить варианты для каждого значения).

4.2. На лицевой панели поместить цифровой элемент управления, назвав его “Коэффициент передачи”

4.3. Собрать блок-схему программы по рис. 5.8. Количество итераций N такое же, как и в предыдущих вариантах.

4.6. Убедиться в отсутствии ошибок. Задать значения К и Т в соответствии с выполняемым вариантом

4.7. Исследовать влияние интервала дискретизации на ошибку моделирования приняв за показатель точности величину первого выброса в переходной характеристике h_m, а отношение D h_m / h_m – за относительную ошибку моделирования. Здесь D h_m – разность между h_m при выбранном шаге моделирования и точном значении h_m. За точное значение h_m принять его значение при Δ t = 0,0001

Результаты измерений свести в таблицу:

Рассчитать полосу пропускания замкнутой системы по уровню 0,1, пользуясь выражением (5.12) и построить зависимость D h_m / h_{m точн} от произведения интервала дискретизации на полосу пропускания.

5.. Сохранить в своей папке материалы, необходимые для отчета.

Лабораторная работа №6

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: