ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

До сих пор мы рассматривали статические модели работы конструкции с помощью случайных величин, которые в резуль- тате опыта принимают некоторое заранее неизвестное единст- венное значение. Такие модели соответствуют случаю одно- кратного приложения нагрузки при неизменяющихся предель- ных характеристиках материала. Однако такой элементарный подход к изучению случайных явлений в ряде практических за- дач является явно недостаточным.

На практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. На- грузки и прочностные характеристики меняются во времени, на- пример нагрузки на самолет в полете или нагрузки на подвеску автомобиля, вызванные неровностями дороги. Прочностные ха- рактеристики меняются вследствие старения или накопления по- вреждений. Определение подобных величин составляет особый класс задач. К нему относятся также задачи исследования коле- баний упругих систем, находящихся под действием случайных сил, например пульсаций акустического давления вблизи рабо- тающего двигателя, расчеты высотных сооружений, находящихся под действием ветра, судовых и ограждающих конструкций, на- ходящихся под действием нерегулярного волнового давления и т.д. Все эти и подобные им вопросы относятся к широкому классу задач статистической динамики, в которых случайный элемент вносится разбросом геометрических и физических свойств самой конструкции (а не только случайным характером внешних воздействий) [6]. При постановке и решении подобных задач случайность проявляется в форме процесса, описание кото- рого ведется с помощью теории случайных функций.

В настоящее время аппарат теории случайных функций стал неотъемлемой частью основ анализа механических конст- рукций. Использование теории случайных функций при расче-

тах механических систем является необходимым условием для создания обоснованных методов проектирования долговечных и рациональных конструкций.

Случайными функциями называются случайные величины, зависящие от непрерывно изменяющихся неслучайных аргумен- тов, например от времени или координат. Другими словами, слу- чайной называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, заранее неизвестный. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если провес- ти группу опытов, то получим группу или семейство реализаций этой функции. От опыта к опыту вид реализаций меняется.

Чаще всего аргументом случайной функции является время, поэтому будем в дальнейшем обозначать случайные функции

большими буквами X (t). Если проведено n независимых опытов,

в результате которых получено n реализаций, то будем их обозна-

чать соответственно номеру опыта x 1 (t), x 2 (t),..., xn (t) (рис. 2.1).

При изучении случайных процессов исследуются не свойства отдельных функций xj (t), а свойства всего множе-

ства функций в целом. Это по- зволяет при анализе движения, например, механической сис- темы, на которую действуют случайные возмущения, иссле-

довать ее поведение не по отношению к какому-либо одному воздействию, а по отношению к целой совокупности возможных случайных воздействий.

Отличие детерминированного динамического процесса от случайного состоит в том, что реакция детерминированной сис- темы на внешнее детерминированное воздействие всегда может

быть определена, т.е. поведение системы в будущем можно точ- но предсказать, зная ее поведение в прошлом. В случайных же

процессах предсказать, как будет изменяться функция X (t),

нельзя, пока не будет проведен опыт. Кроме того, если в резуль- тате проведения опыта мы зафиксировали, как менялась эта функция во времени от нуля до t ₁, то предсказать поведение ее во времени t > t 1 затруднительно. Таким образом, каждая реали- зация, характеризующая процесс, зависит от двух аргументов – дискретного номера реализации и непрерывного времени.

Для вероятностного описания случайных процессов можно использовать метод сечений. Для этого зафиксируем некоторый момент времени t ₁, тогда в сечении получим набор случайных чисел х_j (t ₁) (j = 1,2, …, n), полной вероятностной характеристи- кой которых будет закон распределения. Этот закон распреде- ления называют одномерным законом распределения случайной

x (t 1) º x 1, и он может быть задан одномерной плотно-

ной характеристикой случайной функции X (t), ибо не позволяет ответить на вопрос о зависимости случайных величин X (t) для любых t. Более полной характеристикой является двумерный

пределение системы двух случайных функций x (t ₁) и x (t ₂) для двух произвольных сечений. Но и эту характеристику нельзя назвать исчерпывающей, так как более полным будет трехмер- ный закон распределения. Теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать более подробную ин- формацию о случайной функции с помощью n -мерной плотно- сти распределения. Однако использовать на практике столь гро- моздкие характеристики практически невозможно.

Для случайных функций можно ввести характеристики, аналогичные числовым характеристикам для случайных вели- чин, только это будут уже не числа, а функции. Для их введения рассмотрим сечение случайной функции Х (t) при фиксирован-

ном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину, с математическим ожиданием m (t). Но t может быть любым, следовательно, математическим ожиданием случайной функции Х (t) называется неслучайная функция m_x (t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соот- ветствующего сечения случайной функции и вблизи которой группируются все реализации случайного процесса:

Аналогично определяется дисперсия случайной функции. Математическое ожидание является частным случаем ха-

рактеристик случайного процесса, получивших название мо- ментных функций, которые получаются в результате произведе- ния значений функций X (t) при различных t и операции осред- нения по множеству реализаций. Последовательность момент- ных функций можно представить в виде:

Число сомножителей в произведении называют порядком моментной функции. Моментная функция первого порядка есть математическое ожидание случайной функции. Для задания случайного процесса необходимо знать полную систему мо- ментных функций, включая функцию сколь угодно высокого порядка при любых комбинациях значений t 1, t 2,..., tm Î T.

Если функции центрированные, т.е. X (t 1) = X (t 1) - mx (t 1),

то центральная моментная функция второго порядка, характери- зующая взаимосвязь между значениями случайной функции Х (t ₁) и Х (t ₂), называется корреляционной функцией:

Таким образом, корреляционной функцией случайной

функции X (t) называется неслучайная функция двух аргумен-

корреляционному моменту соответствующих сечений случай- ной функции.

На рис. 2.2 приведены две случайные функции, которые имеют совершенно различные корреляционные функции.

На рис. 2.2, а корреляционная функция медленно убывает по мере увеличения промежутка (t ₁, t ₂), а корреляционная функ- ция случайного процесса на рис. 2.2, б быстро убывает с увели- чением этого промежутка.

гументов равна дисперсии случайной функции:

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основ- ных характеристик случайной функции достаточно рассматри- вать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Поскольку корреляционный момент двух случайных вели- чин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция вещественной случайной функции симметрична относительно своих аргумен- тов, т.е.

сматривать нормированную корреляционную функцию

Отметим некоторые полезные свойства корреляционных функций:

1. Добавление к случайной функции неслучайной величины или неслучайной функции не изменяет значения корреляцион- ной функции. Действительно, пусть

– случайная функция, имеющая корреляционную

функцию Kx (t 1, t 2), а j(t) – неслучайная функция. Тогда

От прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция не меняется:

2. При умножении случайной функции ную функцию j(t) получим:

Пользуясь указанными свойствами случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функ- цию или дисперсию, можно заранее перейти от нее к центрирован- ной функции. Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает

с корреляционной функцией случайной функции X (t).

Рассмотрим теперь систему двух случайных функций X (t) и Y (t), характеризующих различные случайные процессы. Вто- рой смешанный момент от центрированных случайных функций

X и Y для различных моментов времени является взаимной

Таким образом, взаимной корреляционной функцией двух случайных функций называется неслучайная функция двух ар- гументов t ₁ и t ₂, которая при каждой паре значений t ₁, t ₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случай-

ной функции X (t) и случайной функции Y (t). Эта функция не

удовлетворяет условию симметрии относительно своих аргу- ментов, т.е. Kxy (t 1, t 2) ¹ K yx (t 1, t 2), но Kxy (t 1, t 2) = Kyx (t 2, t 1).

В прикладных задачах часто используют нормированную корреляционную функцию

Можно выделить два класса случайных функций, которые с точки зрения оценки напряженного состояния конструкций представляют значительный интерес. Это стационарные функ- ции и функции, имеющие нормальный закон распределения ор- динат, для которых исчерпывающей характеристикой является их математическое ожидание и корреляционная функция.

Случайная функция X (t) называется стационарной, если ее

математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляци- онная функция зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции:

Учитывая свойство симметрии корреляционной функции, имеем:

т.е. корреляционная функция стационарного процесса является четной функцией аргумента.

т.е. для вещественной случайной функции начальная ордината корреляционной функции имеет наибольшее значение.

На практике наиболее распространенными являются корре- ляционные функции стационарных процессов, показанные на рис. 2.3.

Пример 2.1. Определить корреляционную функцию слу-

где А и В – случайные величины, для которых известны

т.е. при независимых значениях амплитуд X (t) – стационарная

функция (корреляционная функция зависит только от разности

Большинство стационарных случайных функций обладают свойством эргодичности, которое состоит в том, что совокуп- ность значений одной и той же реализации данной функции, соответствующих различным значениям ее аргумента, по своим статистическим свойствам эквивалентна совокупности значений разных реализаций той же функции, взятых при одном и том же значении аргумента. Другими словами, если стационарная функция эргодична, то ее среднее значение по времени (на дос- таточно большом интервале наблюдений) приближенно равно среднему значению по множеству наблюдений, т.е.

– среднее значение по множеству реализаций; ò X (t) dt –

среднее значение по времени для одной реализации. Достаточным условием эргодичности функции является стремление ее корреля- ционной функции к нулю при безграничном увеличении аргумента

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: