|
Каноническое разложение случайной функцииНепосредственное использование связей (2.8) часто встре- чает значительные вычислительные трудности. Двойное преоб- разование корреляционной функции в ряде случаев (корреляци- онная функция из опыта не имеет аналитического выражения и задана таблично, или интеграл не выражается через известные функции и т.д.) приводит к чрезвычайно сложным и громоздким операциям, что затрудняет практическое применение этих опе- раций. Поэтому на практике часто используют другие методы, например метод канонических разложений. Идея метода состоит в том, что случайная функция, над ко- торой нужно произвести те или иные преобразования, предвари- тельно представляется в виде так называемых элементарных слу- чайных функций. Элементарной же называется функция вида X (t) = V j(t), (2.14) где V – обычная случайная величина; j(t) – обычная (неслучай- ная) функция. Тогда L (X (t)) = VL (j(t)). Таким образом, задача преобразования случайной функции сводится к простой задаче преобразования неслучайной функ- ции j(t). Допустим, что удалось (точно или приближенно) предста- вить случайную функцию в виде
X (t) = mx (t) + å Vi j i (t), i =1
(2.15) где Vi – случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю; j i (t) – неслучайная функция; mx (t) – математи- ческое ожидание функции X (t). Такое представление случайной функции (в форме (2.15)) называют каноническим разложением: случайные величины V 1, V 2,..., Vm – коэффициенты разложения, а функции j1 (t), j2 (t),..., j m (t) – координатные функции. В случае линейного преобразования функции (2.15) будем иметь:
L (X (t)) = L (mx (t)) + å ViL (j i (t)). i =1
(2.16) Это означает, что в данном случае (в отличие от (2.8)) пре- образуется только один раз каждая из неслучайных функций j i (t). Корреляционный момент центрированной функции (2.15) Kx (t 1, t 2) = å M (ViVj)j i (t 1)j j (t 2). i, j Если i = j, то M (ViVi) = Kii = Di, а если i ¹ j, то M (ViVj) = Kij, следовательно,
Kx (t 1, t 2) = åj i (t 1)j i (t 2) Di + åj i (t 1)j j (t 2) Kij, (2.17) i =1 i ¹ j где Di – дисперсия случайной величины Vi; Kij – корреляци- онный момент случайных величин Vi, Vj. Если Vi (t) – некоррелированные случайные величины, то каноническое разложение корреляционной функции
Kx (t 1, t 2) = åj i (t 1)j i (t 2) Di. i =1
Полагая t 1 = t 2, получим дисперсию случайной функции:
i =1
(2.18) Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции X (t), можно сразу найти каноническое разложение ее корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положе- ние тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разло- жение корреляционной функции (2.16), то для случайной функции X (t) справедливо каноническое разложение вида (2.14) с коорди- натными функциями j i (t) и коэффициентами Vi с дисперсиями Di. Мы примем это положение без специального доказательства.
Пример 2.5. Балка произ- вольного поперечного сече- ния, имеющая постоянную изгибную жесткость, нагру- жена случайной нагрузкой q (рис. 2.5). Определить вероят- ностные характеристики на- пряженного состояния балки.
Рис. 2.5 Решение. Представим случайную нагрузку на отрезке 0 £ x £ l / 2 в виде элементарной функции вида (2.14): q (x) = V j(x) = 2 q 0 x / l, где V = q 0 – случайная величина; j(x) – неслучайная функция, j(x) = 2 x / l. Тогда для решения можно использовать квазистатический подход. Приведем решение задачи методами сопротивления ма- териалов в детерминированной постановке. Сама конструкция и ее нагружение и закрепление симметричны, поэтому доста- точно рассмотреть отрезок 0 £ x £ l / 2. Изгибающий момент и напряжение найдем по формулам: æ l x 3ö q æ l x 3ö M (x) = q ç x - ÷; s(x) = 0 ç x - ÷.
0 è4 3 l ø Wx è4 3 l ø Используя каноническое представление случайной функ- ции s(x), можно определить ее математическое ожидание:
mq æ l x 3 ö m s(x) = 0 ç x - ÷,
Wx è4 3 l ø – известное (заданное) значение случайной величины. Корреляционная функция напряжения
K (x, x) = 1 æ l
x 3 öæ l - 1 ÷ç x x 3 ö 2 ÷ D. s 1 2 W 2 è4 1 3 l øè4 2 3 l ø q 0 Находим математическое ожидание и дисперсию макси- мального напряжения: m l 2 æ l 2 ö2
max = q 0; 12 W D
=ç12 W ÷ D 0.
Число членов канонического разложения случайной функ- ции может быть не только конечным, но и бесконечным. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом. Канонические разложения применяются не только для дей- ствительных, но и для комплексных случайных функций. Рас- смотрим обобщение понятия канонического разложения на слу- чай комплексной случайной функции. Элементарной комплексной случайной функцией называет- ся функция вида: X (t) = V j(t), где случайная величина V и функция j(t) комплексные. (2.19) Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (2.19). Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем: K (t, t) = M éë V j(t) V j(t)ùû= j(t)j(t) M é V 2ù,
(2.20) x 1 2 1 2 1 2 ë û где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина. Но M é V 2 ù есть не что иное, как дисперсия комплексной ë û случайной величины V, следовательно, Kx (t 1, t 2) = j(t 1)j(t 2) D.
(2.21) Каноническим разложением комплексной случайной функ- ции называется ее представление в виде:
X (t) = mx (t) + å Vi j i (t), i =1
(2.22) где V 1, V 2,..., Vm – некоррелированные комплексные случайные ве- личины с математическими ожиданиями, равными нулю; j1 (t), j2 (t),..., j m (t) – комплексные неслучайные функции. mx (t), Если комплексная случайная функция представлена кано- ническим разложением (2.22), то ее корреляционная функция выражается формулой
где
m
i =1
D – дисперсия величины V, D = M é V 2 ù.
(2.23) i i i ë i û Выражение (2.23) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции. Полагая в (2.23) t 1 = t 2, получим выражение для дисперсии ком- плексной случайной функции, заданной разложением (2.22):
(2.24) x i i i =1
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|