А.А. Лежнева, И.В. Домбровский

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

Пермского национального исследовательского политехнического университета

д-р физ.-мат. наук, профессор А.А. Адамов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

д-р физ.-мат. наук, профессор В.И. Яковлев (Пермский государственный национальный исследовательский университет)

Л40 Вероятностные методы расчета конструкций: учеб.- метод. пособие / А.А. Лежнева, И.В. Домбровский. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2016. – 224 с.

Рассмотрено применение различных вероятностных моде- лей при анализе напряженно-деформированного состояния эле- ментов конструкций при статических и динамических нагрузках. Приведены задачи для самостоятельной работы и примеры их решения.

Предназначено для студентов, обучающихся по направле- нию «Прикладная механика» (профиль «Динамика и прочность машин»).

Введение.................................................................................... 5

1. Квазистатический вероятностный расчет элементов конструкций (в рамках случайных величин) 15

1.1. Случайные величины и их характеристики................ 15

1.2. Системы случайных величин...................................... 21

1.3. Определение вероятностных характеристик

2. Вероятностный анализ динамических систем 39

2.2. Линейные преобразования случайных функций......... 48

2.3. Каноническое разложение случайной функции......... 55

3.1. Свободные случайные линейные колебания систем 76

на стадии проектирования.................................................... 110

надежности конструкций............................................ 110

4.2. Надежность систем при одноразовом нагружении

(в рамках случайных величин)................................... 115

параметрах конструкций.................................. 115

конструкций при заданной надежности........... 121

4.3. Надежность систем при динамическом нагружении 136

5. Оценка надежности на стадии эксплуатации изделий

(статистические методы)...................................................... 156

5.1. Отказы и распределения их вероятностей................ 157

5.2. Надежность невосстанавливаемых объектов........... 161

5.3. Надежность восстанавливаемых объектов............... 171

6. Оптимизация надежности элементов и систем 188

6.1. Оптимизация виброзащитной системы..................... 190

6.2. Оптимизация при вероятностных прочностных

расчетах элементов конструкций.............................. 200

Приложение 1. Законы распределения случайных величин 218

Приложение 2. Наиболее распространенные случайные функции, их корреляционные и спектральные функции............................................................................ 220

Приложение 3. Аналитические выражения, используемые для описания корреляционных функций

и соответствующих им спектральных плотностей......... 221

Приложение 4. Значение функции нормированного

нормального распределения............................................ 222

Расчет любой конструкции основан на выборе определен- ной модели или расчетной схемы. При этом выделяют сущест- венные факторы и отбрасывают несущественные, второстепен- ные. При оценке напряженного состояния конструкции возмож- ны два подхода к анализу: детерминированный и вероятност- ный. При детерминированном подходе все факторы, влияющие на поведение модели, считают вполне определенными.

Использование детерминированных математических моде- лей оправдывает себя при решении многих задач механики де- формируемого твердого тела. Однако эти модели не способны описать все многообразие реальных задач. Дело в том, что во всякой реальной системе существуют случайные флуктуации различного характера (внешних силовых и кинематических па- раметров, внутренних параметров и др.). Случайный разброс начальных положений и скоростей может возникать из-за не- точности измерений, ошибок изготовления и других причин. Эти флуктуации могут быть в том или ином смысле малыми по сравнению с неслучайными факторами, но оказывать опреде- ленное отрицательное воздействие на работу системы. Поэтому задачи вероятностного исследования систем относятся к числу важнейших как в теоретическом, так и в практическом плане.

Необходимость решения подобного класса задач актуальна при изучении различных явлений: анализе движения транспорт- ных средств по неровной дороге, оценке перемещений и напря- жений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воз- действиях, расчете летательных аппаратов под действием атмо- сферной турбулентности и т.д. Поведение строительных и маши- ностроительных конструкций в эксплуатации также описывается факторами случайной природы. Статистической изменчивостью обладают свойства конструкционных материалов (прокат, бетон, стальная арматура). Действующие нагрузки представляют собой

случайные процессы, развертывающиеся во времени. Таким об- разом, возникают новые задачи, аналогичные задачам строитель- ной механики, теории упругости, теории пластичности и других разделов механики твердого тела. Это задачи о нахождении веро- ятностных характеристик поведения конструкций по заданным вероятностным характеристикам случайных внешних сил и слу- чайных параметров конструкции. Именно решением этих вопро- сов и занимается статистическая механика.

В развитии классической техники был период, когда случай- ность рассматривалась как досадная помеха, от которой, в прин- ципе, можно избавиться, если более аккуратно поставить опыт. Считалось, что разбросы начальных данных и разбросы сил принципиального значения не имеют и их можно сделать сколь угодно малыми, воспользовавшись более точными средствами измерения. Если случайность и допускалась, то только в микро- мире, а в макромире случайность рассматривалась как следствие нашего не очень глубокого понимания законов природы.

Многие физики и механики считали, что учет случайности является временным отступлением от классической теории, что по мере накопления знаний роль случая будет сведена к нулю. Познавая в будущем более глубокий уровень физических про- цессов, можно будет объяснить явления, ныне для нас случай- ные, как проявление полностью детерминированных процессов, которые в настоящее время скрыты от нашего взора.

Сторонники противоположной точки зрения на случай- ность считают, что только вероятностные методы анализа про- цессов могут дать правильный ответ. По мнению сторонников вероятностной трактовки законов природы, классическая меха- ника является частным случаем статистической механики, так как абсолютно точное знание начальных условий и сил принци- пиально невозможно не только в микромире, но и в макромире. По мнению этих ученых, детерминизм есть математическая ус- ловность, позволяющая упрощать исследования многих слож- ных процессов, в которых можно ограничиться изучением од- них лишь средних значений.

Во многих прикладных задачах пренебрежение случайны- ми возмущениями, особенно когда они действительно являются малыми, вполне допустимо, и решение таких задач не требует привлечения статистической механики. Если же случайные воз- мущения соизмеримы (по вероятностным характеристикам) с известными силами и, особенно, если на систему действуют только случайные возмущения, то классические методы расчета становятся неприемлемыми и для получения численных резуль- татов надо использовать вероятностные методы.

Например, защита от вибраций и ударов была и остается одной из наиболее плодотворных приложений механики. Вместе с развитием техники эта область выдвигает перед наукой все новые проблемы. Раньше круг ее проблем устойчиво был огра- ничен задачей определения собственных частот упругих конст- рукций, оценкой расположения «критических» зон, вычислени- ем реакций линейных систем на периодические или типовые импульсные возмущения, т.е. задачами, которые ставились перед механикой ведущей отраслью техники того времени – энергетическим машиностроением. Однако с развитием автомо- билестроения, авиации, ракетно-космической техники периоди- ческие воздействия перестали быть основными. Воздействие вибраций ракетных двигателей, акустических возмущений, воз- действие профиля дорог и других факторов заставили ученых и инженеров искать новую математическую модель для описа- ния внешних возмущений, действующих на конструкции и обо- рудование. Такая модель была построена в рамках теории слу- чайных процессов.

В качестве дополнительных примеров можно указать зада- чу о влиянии случайного микрорельефа и случайных включений на концентрацию напряжений, задачу о деформировании конст- рукций, лежащих на упругом основании со случайными свойст- вами, и др. К тому же классу принадлежат в сущности и про- блемы микронеоднородных сред: поликристаллов, стохастиче- ски армированных материалов и т.д. Назначение этой теории – предсказание поведения микронеоднородных сред на основании

известных свойств композитов из известных законов их вероят- ностного распределения. Эта теория является составной частью теории упругости и пластичности.

Внедрение вероятностных методов исследования, как наи- более прогрессивных и современных, в практику инженерных расчетов является очень важным делом, так как эти методы по- зволяют правильно определять действующие нагрузки и оце- нить прочность и долговечность конструкций.

При изучении механических и других подобных систем при случайных внешних воздействиях и (или) случайном изменении свойств системы на первый план выходят такие вопросы, как формулировка основных задач и методы их решения.

Рассмотрим [6] некоторую систему, находящуюся во взаи- модействии с окружающей средой. Для простоты вначале пред- положим, что как свойства системы, так и ее взаимодействие со средой являются чисто детерминированными. Пусть внешнее воздействие характеризуется элементами q из пространства Q, а поведение системы – элементами u из пространства U. Мате- матическая природа элементов обоих пространств, вообще го- воря, произвольна. Это могут быть числа, векторы, тензоры, функции одной или нескольких переменных и т.д. Структура и свойства системы характеризуются оператором Н, посредст- вом которого каждой реализации внешнего воздействия q Î Q

приводится в соответствие реализация поведения u Î U, т.е.

Примером такой системы может быть, например, любая упругая система, нагруженная внешними силами q. Параметра- ми поведения системы могут быть перемещения, напряжения, деформации. Оператор Н задается уравнениями сопротивления материалов, теории упругости, пластичности или теории коле- баний. При этом известны начальные и граничные условия.

В статистической механике внешние воздействия часто на- зывают входными параметрами, а параметры поведения систе-

мы – выходными параметрами. Указанную связь можно проил- люстрировать простейшей блок-схемой (рис. В.1).

Выбор пространств Q и U и, следовательно, оператора Н может быть разным, ибо понятия системы и окружающей среды являются в значительной степени условными в силу неодно- значности выбора схематизации системы. Кроме того, одни и те же внешние факторы могут быть отнесены как к самой системе, так и к окружающей среде. Естественно, что и выходные пара- метры также можно выбирать различными способами. Все эти факторы будут изменять форму оператора Н.

Если пространство U является исчерпывающим, т.е. при помощи его элементов можно описать любое возможное пове- дение системы, то в этом случае существует обратный оператор L, такой, что

Именно в такой форме обычно формулируются задачи оп- ределения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций.

Введенные выше понятия о пространствах входных и вы- ходных параметров и об операторном задании системы полно- стью сохраняют смысл и при рассмотрении вероятностных за- дач. Однако изменяется способ описания указанных параметров, а в случае стохастических систем – и способ описания системы.

Пусть входной параметр q является случайным, т.е. пред- ставляет собой случайное число, случайную функцию и т.д. То-

рая вероятностная мера. Например, если входной параметр есть

случайное число, то оно характеризуется функцией распределе- ния (плотностью распределения). Если входной параметр – слу- чайный вектор, то он задается многомерным совместным рас- пределением для компонент. Случайная функция времени мо- жет быть задана, например, через полную систему совместных функций распределения ее значений в произвольно выбираемые моменты времени. Вместо полного описания нередко использу- ется частичное описание. При этом широко используются инте- гралы по вероятностной мере: математические ожидания, дис- персии, моментные и корреляционные функции от случайных процессов.

Соотношения (В.1) и (В.2) устанавливают связь между реа- лизациями входных и выходных параметров детерминирован- ной системы. Если входные и (или) выходные параметры систе- мы являются случайными, то возникает вопрос о связи между соответствующими вероятностными мерами или некоторыми характеристиками параметров. Установление этой связи при заданной связи между реализациями и является предметом ста- тистической механики. В зависимости от того, какие параметры являются заданными, а какие – искомыми, различают четыре типа задач [6].

Первая, основная, задача состоит в нахождении характери- стик выходных параметров при известных характеристиках входных параметров и параметров системы. В теории упругости этой задаче соответствует прямая задача определения напря- женно-деформированного состояния при заданных условиях нагружения и известных свойствах самой системы.

Вторая задача является обратной по отношению к первой. Она состоит в нахождении характеристик входных параметров по характеристикам выходных параметров. Свойства системы при этом также предполагаются известными. Решение подобных задач требуется, например, при определении характеристик внешних сил по известным статистическим данным, относящимся к перемеще- ниям, напряжениям и другим параметрам поведения конструкции.

Решение обратной задачи может существенно осложниться, если имеется несколько входных воздействий (рис. В.2) и если требует- ся по поведению системы установить вероятностные характери- стики каждого воздействия в отдельности.

Третья задача заключается в определении свойств стохас- тической системы по известным характеристикам на входе и выходе системы. В самом общем случае может оказаться не- известной сама структура системы. Изучение свойств неизвест- ной системы путем сопоставления ее реакций с входным воз- действием составляет так называемую проблему черного ящика. Однако так задача ставится весьма редко. Обычно же структура известна и даже известны некоторые сведения о ее свойствах, но в детерминированном виде. Тогда целью исследования является получение информации о стохастических свойствах системы. Сложности возникают, если внешнее воздействие сопровожда- ется случайными помехами с неизвестными свойствами. Тогда, по существу, необходимо объединение второй и третьей задач.

Четвертая задача состоит в отыскании системы, которая при заданных внешних воздействиях обладает заданными свой- ствами. Примером может служить задача о синтезе оптимальной системы, т.е. системы, которая обладает наилучшими в некото- ром смысле свойствами. В этом случае критерий оптимальности формулируется в виде условий максимума (или минимума) не- которого функционала от свойств системы и ее реакции на внешнее воздействие при дополнительных ограничениях, на- кладываемых на другие функционалы или параметры системы. Необходимую информацию для решения четвертой задачи дает решение основной задачи.

Выбор метода для решения статистической задачи зависит от характера системы. Поэтому приведем классификацию сис- тем, используя различные признаки.

В зависимости от того, как ведет себя система при одно- временном приложении двух или нескольких воздействий, раз- личают линейную и нелинейную системы. Система, описывае- мая операторным уравнением (В.1), называется линейной, если оператор Н удовлетворяет условиям:

где α – произвольное число; q 1, q 2 – внешние воздействия.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Необходимо отметить, что из линейного характера дифференци- ального уравнения относительно выходного параметра еще не следует линейность оператора Н. В частности, если воздействие на систему является параметрическим, то такую систему трак- туют как нелинейную [6].

Другой признак классификации получим, если будем рас- сматривать поведение системы во времени. По этому признаку системы бывают стационарные и нестационарные. Система на- зывается стационарной, если ее свойства неизменны во времени. В этом случае оператор Н инвариантен относительно смещения начального момента времени. Оператор Н нелинейной системы этим свойством не обладает.

Можно провести классификацию систем, основываясь на аналитических свойствах оператора Н. Эти свойства могут быть связаны со структурой пространств входных и выходных пара- метров, но могут быть и не связаны. Различают вырожденные и невырожденные операторы. Например, оператор является вы- рожденным, если внешнее воздействие и поведение системы описываются конечным числом параметров, причем связь меж- ду этими параметрами выражается формулами, не содержащими ни дифференциальных, ни интегральных операций.

Наконец, еще одним признаком классификации является число измерений системы. Различают системы с конечным чис- лом степеней свободы и системы с распределенными параметра-

ми. Последние подразделяются на системы одномерные, двух- мерные и т.д. Поведение невырожденных дискретных систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а поведение распределенных систем может описываться как обыкновенными дифференциальными уравнениями (в случае квазистатического воздействия на одномерные системы), так и уравнениями в частных производных. Существенным момен- том в последнем случае является постановка краевых условий. Для распределенных систем обычно употребляют термин «сто- хастическая краевая задача».

В настоящее время разработано большое число методов решения линейных задач статистической механики [9, 14]. Это квазистатические, корреляционные и родственные им методы, а также методы, основанные на использовании кинетических уравнений. Каждый метод имеет свои достоинства и недостатки, свою область применения. Эти области могут перекрываться.

Методы первой группы (квазистатические методы) основа- ны на применении хорошо известных формул теории вероятно- сти. Эти методы с успехом могут быть применены к тем зада- чам, в которых случайные факторы описываются при помощи конечного количества случайных величин. Для того чтобы ис- пользовать квазистатические методы, необходимо располагать решениями соответствующих детерминистических задач для всей области изменения случайных параметров. Дальнейшие операции сводятся к преобразованию распределения вероятно- стей этих параметров. Область применения квазистатических методов не ограничивается теми задачами, где нагрузки изме- няются весьма медленно. Если случайные динамические нагруз- ки могут быть представлены в виде детерминистических функ- ций времени, зависящих от конечного числа случайных вели- чин, то квазистатические методы и здесь могут оказаться весьма эффективными.

Методы второй группы – корреляционные методы – осно- ваны на использовании связи между корреляционными функ- циями входных (например, нагрузок) и выходных (прогибов,

В третьей группе методов используются дифференциаль- ные и интегродифференциальные уравнения, описывающие эволюцию функций распределения случайных параметров во времени. Эти методы хорошо разработаны применительно к процессам без последействия (марковским процессам). Поэто- му область эффективного применения этих методов – задачи, в которых выходные величины можно трактовать как компонен- ты марковского процесса.

Первоначально рассмотрим наиболее простой случай – сис- тему двух случайных величин Х, Y. Совместной функцией рас- пределения двух случайных величин Х и Y называют вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y, т.е.:

Двумерную плотность вероятности можно ввести по анало- гии с одномерной, а именно:

Случайные величины Х и Y называются зависимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, зависимы друг от друга хотя бы при одной паре значе- ний х и у. В этом случае плотности совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин выражаются через одномерные и условные плотности следующим образом:

Случайные величины Х и Y называются независимыми, ес- ли события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, независимы при любых значениях х и у. Для независи- мых случайных величин Х, Y совместная функция распределе- ния (на основании правила умножения вероятностей независи- мых событий)

Пусть теперь одна случайная величина Y функционально связана с другой случайной величиной Х, т.е.

Относительно аргумента полагаем, что известна плотность

Например, решая задачу определения напряженно-дефор- мированного состояния конструкции в линейной постановке, мы имеем линейную зависимость между параметрами состояния (напряжениями или перемещениями) и нагрузкой. Тогда, зная вероятностные характеристики нагрузки, можно найти вероят- ностные характеристики параметров состояния.

Пример 1.2. Параметр состояния u связан с параметром на- грузки q линейно:

Считая известной плотность распределения нагрузки, опре- делить плотность распределения параметра состояния.

Решение. Решая уравнение (1.13) относительно q, получим:

Если распределение нагрузки можно описать, например, однопараметрическим распределением Рэлея (а – параметр рас- пределения):

то распределение параметра состояния в случае линейной связи с параметром нагрузки примет вид:

Аналогично получаются выражения при описании других плотностей распределения при линейной связи случайных величин.

аргументов х и у. Тогда интегральная функция распределения

где f (x, y) – плотность совместного распределения вероятностей

системы случайных величин х и у; D – область плоскости (х, у).

Рассмотрим частный случай: ласть реализации, получим:

Плотность распределения вероятности величины z

Пусть, например, случайные величины х и у можно описать нормальным законом распределения и они независимы, т.е.

Преобразуя выражение под интегралом, получим:

Воспользовавшись табличными значениями для определен- ных интегралов и преобразуя полученное соотношение, получим:

Таким образом, если случайные величины x и y можно опи- сать нормальным законом распределения, то и случайная вели-

чина z = x - у также распределена по нормальному закону.

Рассмотрим пример расчета конструкции, случайные ха- рактеристики которой описываются разными законами распре- деления.

Пример 1.3. Консольная балка длиной l (рис. 1.4) изгибается под действием сосредоточенной на- грузки q, которая является случай- ной и характеризуется нормальным законом распределения:

Место приложения нагрузки также случайно и определяет- ся равномерным законом:

Определить закон распределения изгибного момента в за- делке, если нагрузка и координата ее приложения независимы.

Решение. Изгибной момент в заделке M = qx, следователь- но, совместный закон распределения f (q, x) = f (q) f (x). Для опре- деления закона распределения момента нужно учесть его об- ласть реализации. Для этого запишем функцию распределения момента и учтем для определения области интегрирования, что q = M / x. Тогда

С учетом этого при интегрировании по верхнему пределу получим:

Для дальнейшего интегрирования снова сделаем замену: